精品解析：河南省信阳市光山县第六初级中学2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题

河南省信阳市光山县第六初级中学2024—2025学年九年级上学期10月期中数学 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】解：， ， ． 故选B． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行求解，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合. 【详解】第1个和第4个图既是轴对称图形又是中心对称图形，中间两个只是轴对称图形，不是中心对称图形. 故选C. 3. 如图所示，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，使得点，，在同一直线上，则三角板旋转的度数是（ 　）． A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解． 【详解】解： 旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°． 故选D． 【点睛】考点：旋转的性质． 4. 点关于轴的对称点的坐标为，那么点关于原点的对称点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征；已知点关于轴的对称点的坐标，即可得出点坐标，再根据点的对称性，即可得出点关于原点的对称点的坐标． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是， 点坐标为 ， 点关于原点的对称点的坐标是为， 故选：D． 5. 抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 【答案】B 【解析】 【详解】解：将的图象向左平移2个单位后得函数的函数图象， 将的图象向下平移3个单位得到的函数图象， ∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位． 故选：B． 6. 已知m，n是方程x2﹣2018x+2019＝0的两个根，则（m2﹣2019m+2018）（n2﹣2019n+2018）的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 4037 D. 4038 【答案】D 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出m+n=2018，mn=2019，根据一元二次方程解的定义得出m2-2018m+2019=0，n2-2018n+2019=0，求出m2-2019m+2018=-m-1，n2-2019n=-n-1，代入求出即可． 【详解】∵m，n是方程x2-2018x+2019=0的两个根， ∴m+n=2018，mn=2019，m2-2018m+2019=0，n2-2018n+2019=0， ∴m2-2019m+2018=-m-1，n2-2019n=-n-1， ∴（m2-2019m+2018）（n2-2019n+2018） =（-m-1）（-n-1） =mn+m+n+1 =2019+2018+1 =4038， 故选D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元一次方程解的定义，能根据题意求出m+n=2018、mn=2019、m2-2018m+2019=0、n2-2018n+2019=0是解此题的关键． 7. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，3为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段长即可． 【详解】解：连接AM，如图所示： ∵点B和M关于AP对称， ∴AB＝AM＝3， ∴M在以A圆心，3为半径的圆上， ∴当A，M，C三点共线时，CM最短， ∵在矩形ABCD中，AC＝， AM＝AB＝3， ∴CM＝5﹣3＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹． 8. 如图,函数和(是常数,且 )在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误； B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确； C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误； D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 9. 如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（　　） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【详解】∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8， ∴AC=BC=AB=4． 设OA=r，则OC=r﹣2， 在Rt△AOC中， ∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5， ∴AE=10， ∴BE= ， ∴△BCE的面积=BC•BE=×4×6=12． 故选A． 10. 已知抛物线与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程无实数根；③；④；其中，正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式等知识点． 根据 ，即可判断①；由抛物线与轴最多有一个交点得到 则关于的方程中，即可判断②；抛物线与轴最多有一个交点，抛物线开口向上，该抛物线的对称轴在轴左侧，得到，即可判断③；当时， 得到由即可判断④． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线的对称轴， ∴该抛物线的对称轴在轴左侧，故①正确； ∵抛物线与轴最多有一个交点， ∴ ∴关于的方程中， ∴关于的方程无实数根，故②正确； ∵抛物线与轴最多有一个交点，抛物线开口向上，该抛物线的对称轴在轴左侧， ∴， ∴ ， 故③错误； 当时， ∴ ∴ ， 故④正确 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用．熟练掌握一元二次方程根的情况和根判别式的关系，是解决问题的关键．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根；一元二次方程有两个相等的实数根；一元二次方程没有实数根． 由关于的一元二次方程有实数根，可得，且，再解不等式可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴． 解得：． 又∵， ∴ ． ∴且 ． 故答案为：且 ． 12. 某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______． 【答案】20% 【解析】 【分析】根据降价前后的价格，列式计算即可. 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x， 根据题意得25×（1-x）（1-x）=16， 整理得， 解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）； 即该药品平均每次降价的百分率是20%， 故答案为：20%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用.根据题意正确列出方程是解题的关键. 13. 已知：如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，掌握垂径定理是解题的关键． 先求得，如图：过O作于F，连接，则、 ，即可求出，求出 ，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出 ，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴， 如图：过O作于F，连接，则， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 已知函数y＝|x2－4|的大致图象如图所示，如果方程|x2－4|＝m(m为实数)有4个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数与y轴的交点，再根据函数图象的特点即可求解． 【详解】方程|x2－4|＝m(m为实数)有4个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2－4|的图象与直线y＝m有四个交点， 令x=0，y=4 ∴函数y＝|x2－4|与y轴的交点为(0，4)， 观察图象可知，两个函数图象有四个交点时，0＜m＜4. 故答案为0＜m＜4． 【点睛】此题主要考查函数图象的应用，解题的关键是求出函数与y轴的交点． 15. 如图，在正方形内作，交于点交于点，连接，过点作 ，垂足为，将绕点顺时针旋转得到 ，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质及正方形的性质可知，再根据全等三角形的性质可知，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设正方形的边长为，则，， ∴在中，， ∴， 解得：，（舍去）， 即， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握正方形的性质及旋转的性质是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）先将方程变为一般形式，然后因式分解，最后求出方程的解即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴ ，， 解得：， ； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴，， 解得：， ． 17. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 【答案】m＝5，x1=x2=2． 【解析】 【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根． 【详解】由题意可知△＝0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）＝0，解得：m＝5． 当m＝5时，原方程化为x2﹣4x+4＝0．解得：x1＝x2＝2． 所以原方程的根为x1＝x2＝2． 【点睛】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 18. 如图，在平面直角坐标系中的三个顶点都在格点上，点的坐标为 ，请解答下列问题： （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转，后得到的，并写出点的坐标； （3）关于原点成中心对称的，直接写出的坐标． 【答案】（1）画图见解析， （2）画图见解析， （3）画图见解析， 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形，画轴对称图形，旋转对称图形，中心对称的含义，熟练的作图是解本题的关键； （1）分别确定的顶点关于轴对称的，，，再顺次连接即可，根据的位置可得其坐标； （2）分别确定的顶点绕点逆时针旋转的对称点，，，再顺次连接即可，根据的位置可得其坐标； （3）分别确定的顶点关于原点成中心对称的，，，再顺次连接即可，根据的位置可得其坐标； 【小问1详解】 解：如图，为所求作的三角形，； 【小问2详解】 如图，为所求作的三角形，； 【小问3详解】 如图，为所求作的三角形，． ． 19. 如图，已知二次函数 的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）将点A及点B的坐标代入即可得出b、c的值，继而可得出二次函数解析式； （2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC的长度，根据 可得出答案． 【小问1详解】 解：（1）将点A（2，0）、B（0，−6）代入 得： ， 解得：， 故这个二次函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵二次函数的解析式为：， ∴二次函数的对称轴为x＝4， ∴（4，0），B（0，−6） ∴OC＝4， ， ∵点A（2，0）， ∴AC＝2， 故． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，要注意掌握点的坐标与线段长度之间的转换． 20. 某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元/件） 60 65 70 销售量（件） 1400 1300 1200 （1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围） （2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？ （3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）与之间的函数表达式为；（2）这种衬衫定价为每件70元；（3）价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式； （2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可； （3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0）， 把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得， ， 解得，， ∴与之间的函数表达式为； （2）设该种衬衫售价为x元，根据题意得， （x-50）(-20x+2600)=24000 解得，，， ∵批发商场想尽量给客户实惠， ∴， 故这种衬衫定价为每件70元； （3）设售价定为x元，则有： = ∵ ∴ ∵k=-20＜0， ∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）． 所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答． 21. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当 时，函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）若点，均在该抛物线上，且，求点横坐标的取值范围． 【答案】（1）； （2）当 时，函数的最大值为4，最小值为0； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）配方成顶点式，即可求得； （2）根据抛物线开口方向及顶点坐标可得当时y取最小值，时y取最大值； （3）求得点关于直线对称的点的横坐标是1，数形结合可求解． 【小问1详解】 解：， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：顶点坐标为， 当时，． ，函数图象开口向下，当时，随着的增大而增大， 当时，， 当 时，函数的最大值为4，最小值为0； 【小问3详解】 解：因为对称轴为直线， 点关于直线对称的点的横坐标是1，且， ，函数图象开口向下， 所以或． 22. 如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为 ，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试求： （1）拱桥所在的圆的半径； （2）通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【答案】（1） （2）不需要，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用以及勾股定理的应用，利用勾股定理求得圆弧所在的半径是解题的关键，注意方程思想的应用． （1）由垂径定理可知 、，再在中，由勾股定理得出方程，即可求出半径； （2）求出，再由勾股定理可得，则，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设圆弧所在圆的圆心为，连接、，则O、P、M三点共线， 设半径为 ， 则， 由垂径定理可知 ，， ， ， 在中，， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， 即拱桥所在的圆的半径为； 【小问2详解】 解：， ， 在中，由勾股定理可得， ， 不需要采取紧急措施． 23. 【猜想】　如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG.试猜想线段BG和AE的数量关系是 ； 【探究】　如图2，正方形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°）．试判断你猜想的结论是否仍然成立，请利用图2证明你的结论； 【应用】　在图2中，BC＝DE＝4.当AE取最大值时，AF的值为多少？ 【答案】【猜想】　BG＝AE； 【探究】成立，BG＝AE.理由如下： 如图2，连接AD. ∵在Rt△BAC中，D为斜边BC的中点， ∴AD＝BD，AD⊥BC. ∴∠ADG＋∠GDB＝90°. ∵四边形EFGD为正方形， ∴DE＝DG，且∠GDE＝90°. ∴∠ADG＋∠ADE＝90°. ∴∠BDG＝∠ADE. 在△BDG和△ADE中， ∴△BDG≌△ADE（SAS）． ∴BG＝AE. 【应用】　2. 【解析】 【猜想】：由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论； 【探究】如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论； 【应用】可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论． 【详解】解：【猜想】　如图1， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC，BD=CD=AD， ∴∠ADB=∠ADC=90°． ∵四边形DEFG是正方形， ∴DE=DG． 在△BDG和△ADE中， , ∴△ADE≌△BDG（SAS）， ∴BG=AE． 故答案为：BG=AE； 【探究】略 【应用】∵BG＝AE， ∴当BG取得最大值时，AE取得最大值． 如图3，当旋转角为270°时，BG＝AE. ∵BC＝DE＝4， ∴BG＝2＋4＝6. ∴AE＝6. 在Rt△AEF中，由勾股定理，得 AF＝＝＝2. 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳市光山县第六初级中学2024—2025学年九年级上学期10月期中数学 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 如图所示，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，使得点 ， ，在同一直线上，则三角板旋转的度数是（ 　）． A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 4. 点关于轴的对称点的坐标为，那么点关于原点的对称点的坐标是( ) A. B. C. D. 5. 抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 6. 已知m，n是方程x2﹣2018x+2019＝0的两个根，则（m2﹣2019m+2018）（n2﹣2019n+2018）的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 4037 D. 4038 7. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 8. 如图,函数和(是常数,且 )在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（　　） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 10. 已知抛物线与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程无实数根；③；④；其中，正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_____． 12. 某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______． 13. 已知：如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为____． 14. 已知函数y＝|x2－4|的大致图象如图所示，如果方程|x2－4|＝m(m为实数)有4个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 15. 如图，在正方形内作，交于点交于点 ，连接，过点 作 ，垂足为 ，将绕点 顺时针旋转得到 ，若，，则的长为______． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 18. 如图，在平面直角坐标系中的三个顶点都在格点上，点 的坐标为 ，请解答下列问题： （1）画出 关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出 绕点 逆时针旋转，后得到的，并写出点的坐标； （3）关于原点成中心对称的，直接写出的坐标． 19. 如图，已知二次函数 的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． 20. 某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元/件） 60 65 70 销售量（件） 1400 1300 1200 （1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围） （2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？ （3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 21. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当 时，函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）若点，均在该抛物线上，且，求点 横坐标的取值范围． 22. 如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为 ，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试求： （1）拱桥所在的圆的半径； （2）通过计算说明是否需要采取紧急措施． 23. 【猜想】　如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG.试猜想线段BG和AE的数量关系是 ； 【探究】　如图2，正方形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°）．试判断你猜想的结论是否仍然成立，请利用图2证明你的结论； 【应用】　在图2中，BC＝DE＝4.当AE取最大值时，AF的值为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $