辽宁省沈文新高考研究联盟2024-2025学年高三上学期期中质量监测数学试题

高三数学 第 1 页，共 4 页 秘密★启用前 2024-2025（上）期中质量监测 高 三 数 学 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟】 第Ⅰ卷 选择题（共 58 分） 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且 只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集𝑈 = {1,2,3,4,5}，集合𝐴 = {1,2,3}，集合𝐵 = {2,4}，求(∁𝑈𝐴) ∩ 𝐵 A．∅ B．{2} C．{4} D．{2,4} 2．若𝑝:−1 ≤ 𝑥 ≤ 2，𝑞:−1 ≤ 𝑥 ≤ 1，则 p为 q的______ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 3．幂函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的图象经过点(2√2, 2)，求𝑓 ( 1 8 ) A． 1 2 B． 1 4 C． 1 8 D． 1 16 4．已知复数𝑧 = 1+3𝑖 3−𝑖 ，𝑧是𝑧的共轭复数，求𝑧 ⋅ 𝑧 A． 1 2 B．− 1 2 C．1 D．－1 5．如图所示，已知𝑥轴上一点𝐴(1,0)按逆时针方向绕原点做匀速圆周运动，1秒钟时间转过 角(0 < 𝜃 ⩽ 𝜋)，经过 2秒钟点𝐴在第三象限，经过 14秒钟，与最初位置重合，则角 的 弧度数为 A． 4𝜋 7 B． 5𝜋 7 C． 4𝜋 7 或 5𝜋 7 D．无法确定 6．在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，则𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = A．𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B．𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C．𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ D．𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 7．已知函数𝑓(𝑥)为 函函数， 𝑥 ≥ 0为时，𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥为，则于 𝑥为的不式 𝑓(𝑥) > 𝑓(2𝑥 − 1)的解集为 A．{𝑥|1 < 𝑥 < 3} B．{𝑥|𝑥 < 1} 高三数学 第 2 页，共 4 页 C．{𝑥|𝑥 < 1 3 或𝑥 > 1} D．{𝑥| 1 3 < 𝑥 < 1} 8．已知函数𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥下列结论中错误的是 A．𝑓(𝑥)是函函数 B．函数𝑓(𝑥)最大值为 5 4 C． 𝜋 2 是函数𝑓(𝑥)的一个周期 D．函数𝑓(𝑥)在(0, 𝜋 3 )内是增函数 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题所给的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．已知 m，n是两条不同直线，𝛼，𝛽是两个不同平面，下列命题中错误的是 A．若𝑚//𝑛，𝑛 ⊂ 𝛼，则𝑚//𝛼 B．若𝑚 ⊂ 𝛼，𝑛 ⊂ 𝛼 𝑚//𝛽，𝑛//𝛽，则𝛼//𝛽 C．若𝑚 ⊥ 𝛼，𝑛//𝛽 𝛼//𝛽，则m n⊥ D．若𝛼 ⊥ 𝛽，𝛼 ∩ 𝛽 = 𝑙，𝑚 ⊂ 𝛼，𝑚 ⊥ 𝑙，则𝑚 ⊥ 𝛽 10．下列计算中正确的是 A． 1 2 𝑠𝑖𝑛 1 5°− √3 2 𝑐𝑜𝑠 15° = − √2 2 B．𝑠𝑖𝑛 20° 𝑐𝑜𝑠 1 0°− 𝑐𝑜𝑠 1 60° 𝑠𝑖𝑛 1 0° = 1 2 C．𝑠𝑖𝑛 𝜋 12 − √3𝑐𝑜𝑠 𝜋 12 = −√2 D．𝑠𝑖𝑛 1 05° = √6+√2 4 11．已知圆锥𝑃𝑂的轴截面𝑃𝐴𝐵是式边三角形，𝐴𝐵 = 4，𝑀是圆锥侧面上的动点，满足线段 𝑃𝑀与𝐴𝑀的长度相式，则下列结论正确的是 A．存在一个定点，使得点𝑀到此定点的距离为定值 B．存在点𝑀，使得𝑃𝑀 ⊥ 𝐴𝑀 C．存在点𝑀，使得∠𝐴𝑀𝐵 = 60° D．存在点𝑀，使得三棱锥𝑃 − 𝐴𝑀𝐵的体积为 4√6 3 第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分） 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．某物体做直线运动，位移 y（单位：m）与时间 t（单位：s）满足于系 𝑦 = 2𝑡2 + 1， 那么该物体在 2st = 时的瞬时速度是 m / s． 13．如图，在三棱锥𝐴 − 𝐵𝐶𝐷为中，面面边长与侧棱长为为𝑎为，点𝑀为，𝑁为分是是棱𝐴𝐵为，𝐶𝐷为上 的点， 𝑀𝐵 = 2𝐴𝑀，𝐶𝑁 = 1 2 𝑁𝐷，则𝑀𝑁的长为 ． 高三数学 第 3 页，共 4 页 14．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源 中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是 如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根式长的正四棱柱体分成三组， 经90°为榫卯起 .若正四棱柱的高为8为，面面正方形的边长为2为，将该该鲁班锁进一一个形形 容器内，则该形形容器的表面积至少为 .（容器壁的厚度忽略不计，结果保留𝜋） 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤） 15．已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝3，数列{bn}为式比数列， 满足 bn(an＋1－an)＝bn＋1. (1)求数列{an}的通项公 ； (2)数列{bn}的前 n项和为 Sn，若________，记数列{cn}满足 cn＝{ 𝑎𝑛 , 𝑛为奇数, 𝑏𝑛 , 𝑛为函数, 求数列{cn}的 前 2n 项和 T2n． 在①2S2为=S3-2，②b2,2a3,b4成式差数列，③S6＝126这三个条件中任选一个补充在第 (2)问中，并对其求解． 16．某校“足形社团”调查学生喜欢足形是否与性是有于，将从全校学生中随机抽取了 80𝑘(𝑘 ∈ 𝑁*)人，若被抽查的男生与女生人数之比为 5:3，男生中喜欢足形的人数占男生的 3 5 ，女生中喜欢足形的人数占女生的 1 3 .经计算，有 95%的把握认为喜欢足形与性是有于，但 没有 99%的把握认为喜欢足形与性是有于. (1)请完成下面的列联表，并求出 k的值； 喜欢足形 不喜欢足形 合计 男生 女生 合计 (2)该频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取 4人，记其中喜欢足形的 人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望. 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d  − = + + + + ，其中𝑛 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑. 𝑃(𝐾2 > 𝑘) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 𝑘 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 高三数学 第 4 页，共 4 页 17．在平行六面体𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶 ⊥面面𝐴𝐵𝐶𝐷，点𝑀是线 段𝐴𝐴1的中点，点𝐹是线段𝐵𝐶的中点. （1）求证：𝐴𝐹//平面𝑀𝐵𝐶1； （2）求证：𝐴𝐹 ⊥ 𝐷𝐷1. 18．已知函数𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 2𝑥)1𝑛𝑥 + 𝑎𝑥2 + 2，𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑥 − 2． (1)当𝑎 = −1时，求𝑓(𝑥)在(1, 𝑓(1))处的切线方程； (2)若𝑎 > 0 函数𝑔(𝑥)有 仅有一个零点，求实数𝑎的值； (3)在（2）的条件下，若𝑒−2 < 𝑥 < 𝑒时，𝑔(𝑥) ≤ 𝑚恒成立，求实数𝑚的取值范围． 19．已知函数𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒𝑥 + (ln𝑥)2 − 𝑥，其中 0k  ． (1)当𝑘 = 1 𝑒 时，证明：𝑓(𝑥) ≥ 0； (2)若对任意𝑥 ∈ (0,+∞)，都有𝑓(𝑥) ≥ (𝑥 + 𝑙𝑛 𝑘)2，求 k的取值范围