北京市大峪中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

第 1 页 共 4页 大峪中学 2024—2025 第一学期高一年级数学学科期中考试试卷 （满分：150 分；时间：120 分钟；命题人:高一集备组；审核人：宋扬） 一、选择题（本大题共 10小题，每题 4分，共 40分） 1．若 A={(1,-2),(0,0)},则集合 A中的元素个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．命题“ 0x  ，都有 2 0x x ≤ ”的否定是（ ） A. 0x  ，使得 2 0x x ≤ B. 0x  ， 使得 2 0x x  C. 0x  ，都有 2 0x x  D. 0x ≤ ，都有 2 0x x  3．已知四个实数 2 2, 2 , , 2a a a a ．当 0 1a  时，这四个实数中的最大者是（ ） A. a B. 22a C. 2a D. 2a 4．“ 2x  ”是“ 2x  ”的（ ）. A. 充分不必要条件B. 既不充分也不必要条件 C. 充要条件 D. 必要不充分条件 5．已知定义在 R上的函数 )(xf 的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 判断函数的零点个数至少有 （ ） A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个 6.已知函数        ,5 ,1 ,0 )( 2x xxf 2 21 1    x x x ,若 1)( af ，则 a （ ） A．1 B．3 C．4 D．2 7．若函数 ))(( Rxxfy  是偶函数，且 )3()2( ff  ，则必有 （ ） A. )2()3(  ff B. )2()3( ff  C. )2()3(  ff D. )3()3( ff  8．函数 ( )f x 是 ),0[  上是减函数，那么下述式子中正确的是（ ） A. )22()1( 2  aaff B. )22()1( 2  aaff C. )22()1( 2  aaff D.以上关系均不确定 x 1 2 3 4 5 6 )(xf 136.1 15.6 -3.9 10.9 -52.5 -232.1 第 2 页 共 4页 9．如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量 一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间 t之 间的函数关系，大致是（ ） A B C D 10．对 x R， [ ]x 表示不超过 x的最大整数．十八世纪， [ ]y x 被“数学王子”高斯采用， 因此得名为高斯取整函数，则下列命题中的假命题是（ ） A． , [ ] 1x R x x    B．函数 [ ]( )y x x x  R 的值域为[0,1] C． , ,[ ] [ ] [ ]x y x y x y    R D．若 t R，使得 3 4 51, 2, 3, , 2nt t t t n                   同时成立，则正整数n的最 大值是 5 二、填空题（本大题共 5 小题，每题 5分，共 25 分） 11.已知函数�(�)的定义域为{1，2，3，4}，且自变量�与函数值的关系对应如表： x 1 2 3 4 �(�) 3 2 1 2 （1）�(2)＝ ；（2）不等式�(�) ≥ 2的解集为 ． 12.已知函数   2 2 1, 0 1, 0 x x f x x x       ，�(1)＝ ；   1f f   ______. 13．方程 2 4 1 0x x   的两根为 1x ， 2x ，则 1 2 1 1 x x   ________． 14．函数� � = �2 + �� − 1在[2，3]上不单调，则实数�的取值范围为 ． 15． x 表示不超过 x的最大整数，定义函数    f x x x  ，则下列结论中：①函数的值 域为 0, 1 ；②方程   1 2 f x  有无数个解；③函数的图象是一条直线；④函数是R上的 增函数；正确的有______.（只填序号） 第 3 页 共 4页 三、解答题（本大题共 6小题，共 85 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（15分）求下列不等式的解集. (1) 2623 2  xx ; (2) 0723  x . (3) 3 12 25    x x 17.（13分）已知集合 2{ | 3 7}, { | 12 20 0}      A x x B x x x ， { | }C x x a  . （1）求 ;A B ( )RC A B ;（2）若 A C ，求 a的取值范围. 18．（14分）已知 ( )y f x 是定义在 R上的偶函数，当 0x  时， 2( ) 2f x x x  （1）求 (1), ( 2)f f  的值； （2）求 ( )f x 的解析式； （3）画出 ( )y f x 简图；写出 ( )y f x 的单调递增区间，并写出 ( )f x > 0的解集。(只 需写出结果，不要证明单调性). 第 4 页 共 4页 19.（14分）经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即 某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时 开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许 缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T （元）关于每次订货 x（单位）的函数关 系 ( ) 2 Bx ACT x x   ，其中 A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费. 某 化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为 6000吨，每吨存储费为 120元/年，每次订货费 为 2500元. （1）若该化工厂每次订购 300吨甲醇，求年存储成本费； （2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？ 20.（14分）已知函数    2 1f x x a x a    . (1)当 2a  时，求关于 x的不等式   0f x  的解集； (2)求关于 x的不等式   0f x  的解集； (3)若   2 0f x x  在区间  1, 上恒成立，求实数 a的范围. 第 5 页 共 4页 21．（15分）已知集合A为非空数集，定义：    , , , , ,S x x a b a b A T x x a b a b A        ， (1)若集合  1,3A  ，直接写出集合 S T、 （无需写计算过程）； (2)若集合  1 2 3 4 1 2 3 4, , , ,A x x x x x x x x    ，且T A ，求证： 1 4 2 3x x x x   (3)若集合  0 2023, N ,A x x x S T       ，记 A 为集合A中的元素个数，求 A 的最大值． 22.附加题（10分） 已知 *,, Ncba  ,函数 cbxaxxf  2)( 在区间 )0,1( 上有两个不同零点，求 )1(f 的最小 值. 第 6 页 共 4页 大峪中学 2024—2025 第一学期高一年级 数学学科期中考试试卷答案 1.B 2.B 3.C 4.D 5.C 6.D 7.A 8.A 9.B 10.B 11 .2， 1,2, 4 ； 12. 3,1 13. 4 14.−6< � <− 4 15. ①② 16.(1) ), 3 4[]2,(  （2） ]5,2[ （3） ), 2 1[]5,(  17.（1）因为集合 2{ | 3 7}, { | 12 20 0} { | 2 10}A x x B x x x x x          ， 所以 { | 2 10}A B x x    ，  | 3RC A x x  或 7x  ， ( ) { | 2 3RC A B x x   或7 10}x  ; （2）因为 A C ，且 { | }C x x a  ，所以 a>3，所以 a的取值范围是  3, . 18. 解：（1）当 x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，f（﹣x）＝f（x）， ∴f（1）＝﹣1，f（﹣2）＝f（2）＝0； （2）∵y＝f（x）是定义在 R上的偶函数， 当 x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，当 x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x， ∴f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，∴f（x） 2 2 2 0 2 0 x x x x x x       ， ， ＜ ． （2）∵f（x） 2 2 2 0 2 0 x x x x x x       ， ， ＜ ， ∴当 x≥0时，y＝x2﹣2x，抛物线开口向上，对称轴方程为 x＝1，顶点坐标（1，﹣1）， 当 y＝0时，x1＝0，x2＝2；当 x＝0时，y＝0． 当 x＜0时，y＝x2+2x，抛物线开口向上，对称轴方程为 x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，﹣1）， 当 y＝0时，x＝﹣2．由此能作出函数 f（x）的图象如下： 结合图象，知 f（x）的增区间是（﹣1，0），（1，+∞）．     ，， 22--  第 7 页 共 4页 19. （1） 15000000( ) 60T x x x   ， (300) 68000T  ； （2） 500x  ， min 60000T  20．已知函数    2 1f x x a x a    . (1)当 2a  时，求关于 x的不等式   0f x  的解集； (2)求关于 x的不等式   0f x  的解集； (3)若   2 0f x x  在区间  1, 上恒成立，求实数 a的范围. 【答案】(1)    1 2, ∪ ,  ；(2)答案见解析；(3)  2 3,2    . 【分析】（1）把 2a  代入可构造不等式 2 3 2 0x x   ，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于 看两边”得到原不等式的解集. （2）根据函数        2 1 0 1 0f x x a x a x a x         ，分类讨论可得不等式的解 集. （3）若   2 0f x x  在区间  1, 上恒成立，即 2 1 x xa x    在区间  1, 上恒成立，利用换元法， 结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数 a的范围. 【详解】（1）当 2a  时，则   2 3 2f x x x   ， 由   0f x  ，得   2 3 2 0 2 1 0x x x x       ， 原不等式的解集为    1 2, ∪ ,  ； （2）由      0 1 0f x x a x     ， 当 1a  时，原不等式的解集为  1,a ； 当 1a  时，原不等式的解集为； 当 1a  时，原不等式的解集为  ,1a . （3）由   2 0f x x  即  2 1 0x x x a    在  1, 上恒成立，得 2 1 x xa x    . 令 1t x   0t  ，则   2 2 1 1 2 3 3 2 2 1 t tx x t x t t           ， 当且仅当 2t  ，即 2 1x   时取等号.则 2 2 3a   ，.故实数 a的范围是  2 3,2    第 8 页 共 4页 21. 【答案】(1) {2,4,6}S  ， {0 2}T  ， (2)见解析 (3)1349 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合 S，T即可; （2）根据集合相等的概念，能证明 1 4 2 3x x x x   ； （3）通过假设集合 { , , , , , }1 2 3 2023A m m m m     ( N)m ，求出对应的集合 S，T，通过 S T   ， 建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）  1,3A  ，    , , , , ,S x x a b a b A T x x a b a b A        ， 集合 {2,4,6}S  ，集合 {0 2}T  ， . （2）  1 2 3 4, , ,A x x x x ， 1 2 3 4x x x x   ，且T A ， T中也只包含 4个元素，即 2 1 3 1 4 1, ,{0 }T x x x x x x   ， ， 剩下的元素满足 2 1 3 2 4 3x x x x x x     ， 1 4 2 3x x x x    ； （3）设集合  1 2, , , kA a a a  满足题意，其中 1 2 ka a a   ， 则 1 1 2 1 3 1 2 3 12 2k k k k k ka a a a a a a a a a a a a a                | | 2 1S k  ， 1 1 2 1 3 1 1ka a a a a a a a         ， | |T k  S T   ，由容斥原理， | | | | | | 3 1S T S T k    ， S T 的最小元素为 0，最大元素为 2 ka ， | | 2 1kS T a   ，  *3 1 2 1 4047 Nkk a k      解得 1349k  实际上 {675 676 2023}, , ,A   时满足题意，证明如下： 设 { , , , , , }1 2 3 2023A m m m m     ( N)m ， 则 {2 2 1 2 2 4046}, {0 1 2 2023 }, , , , , , , ,S m m m T m      ， 题意有 2023 2m m  ，即 1674 3 m  ， m的最小值为 675，当 m= 675时，集合 A中元素最多， 即 {675 676 2023}, , ,A   时满足题意 综上， | |A 的最大值为 1349.