4.2.1 两角和与差的余弦公式及其应用同步练习-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 A组 1.若sin α=,α∈,则cos(α-)等于(　　). A.- B. C.- D. 2.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若a=(cos A,sin A),b=(cos B,sin B),且a·b=1,则△ABC一定是(　　). A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 3.若x∈[0,π],sinsin=coscos,则x的值是(　　). A. B. C. D. 4.如图,在平面直角坐标系中,锐角α,β的终边分别与单位圆交于A,B两点,如果点A的纵坐标为,点B的横坐标为,则cos(α-β)=(　　). A. B.- C. D.- 5.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β的值为(　　). A.0 B. C. D. 6.若cos(α-β)=,cos 2α=,α,β均为锐角,且α<β,则α+β的值为(　　). A. B. C. D. 7.已知tan α=2,tan β=3,则的值为　　　　　.  8.若sin=-,sin,其中<α<<β<,则α+β的值为　　　　　.  9.设cos=-,sin,其中α∈,β∈,求cos . B组 1.等于(　　). A.- B. C.- D. 2.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos的值为(　　). A. B.- C. D.- 3.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若1-cos C=2cos Acos B,则△ABC一定为(　　). A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 4. (多选题)下列化简结果正确的是(　　). A.cos 22°sin 52°-sin 22°cos 52°= B.sin 15°sin 30°sin 75°= C.cos 15°-sin 15°= D. 5.已知α∈,β∈,若sin(α-)=-,cos=-,则cos(α-β)=　　　　　.  6.已知sin,则cos α+sin α=　　　　　.  7.已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈,α+β∈,求角β的大小. 8.已知向量a=(sin θ,-2)与b=(1,cos θ)互相垂直,其中θ∈. (1)求sin θ和cos θ的值; (2)若5cos(θ-φ)=3cos φ,0<φ<,求cos φ的值. 答案 A组 1.C　由sin α=,α∈,得cos α=. 又cos=-cos=-coscos α-sin αsin=-(cos α+sin α)=-=-. 2.B　因为a·b=cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B)=1,且A,B,C是三角形的内角,所以A=B,即△ABC一定是等腰三角形. 3.D　∵coscos-sinsin=0, ∴cos=0,即cos x=0. ∵x∈[0,π],∴x=. 4.C　易知sin α=,cos β=,∵α,β均为锐角, ∴cos α=,sin β=,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=. 5.A　∵cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=, cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-, ∴2cos αcos β=0.于是cos αcos β=0. 6.C　∵0<α<β<,∴-<α-β<0,0<2α<π. 由cos(α-β)=,得sin(α-β)=-. 由cos 2α=,得sin 2α=. ∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)==-. 又∵α+β∈(0,π),∴α+β=. 7.-=-. 8.　∵<α<,∴--α<0, ∴cos. ∵<β<,∴+β<, ∴cos=-. ∴cos(α+β)=cos[]=cos(+β)cos+sinsin=-.又<α+β<π,∴α+β=. 9.解 因为α∈,β∈, 所以α--β∈. 因为cos=-,sin, 所以sin, cos. 所以cos =cos=coscos+sinsin=-. B组 1.B　. 2.C　∵0<α<,-<β<0, ∴<α+. 又∵cos,cos, ∴sin,sin, ∴cos=cos=coscos+sinsin()=. 故选C. 3.B　在△ABC中,∵C=π-(A+B),∴cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B. 又1-cos C=2cos Acos B, ∴cos Acos B+sin Asin B=1,即cos(A-B)=1. 又0<A<π,0<B<π,∴-π<A-B<π,∴A-B=0,即A=B.故△ABC为等腰三角形. 4.ACD　对于A,cos 22°sin 52°-sin 22°cos 52°=sin(52°-22°)=sin 30°=,故A正确. 对于B,sin 15°sin 30°sin 75°=cos 15°sin 15°sin 30°=sin 30°sin 30°=,故B不正确. 对于C,cos 15°-sin 15°=sin(45°-15°)=sin 30°=,故C正确. 对于D,=tan(24°+36°)=tan 60°=,故D正确.故选ACD. 5.-　∵α∈,β∈, ∴-<α-<-,--β<-. 又sin=-,cos=-<0, ∴cos, sin=-=-, ∴cos(α-β)=cos[]=cos(α-)cos(-β)-sin(α-)sin(-β)==-. 6.　sin=cos=cos(-α)=coscos α+sinsin α=cos α+sin α=(cos α+sin α)=,∴cos α+sin α=. 7.解 由α-β∈,且cos(α-β)=-, 得sin(α-β)=. 由α+β∈,且cos(α+β)=, 得sin(α+β)=-, ∴cos 2β=cos [(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)·cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)==-1. 又∵α-β∈,α+β∈, ∴2β∈,∴2β=π,于是β=. 8.解 (1)因为a⊥b,所以a·b=sin θ-2cos θ=0, 即sin θ=2cos θ. 又因为sin2θ+cos2θ=1,所以4cos2θ+cos2θ=1, 即cos2θ=,所以sin2θ=. 又θ∈,所以sin θ=,cos θ=. (2)因为5cos(θ-φ)=5(cos θcos φ+sin θsin φ)=cos φ+2sin φ=3cos φ, 所以cos φ=sin φ, 所以cos2φ=sin2φ=1-cos2φ,即cos2φ=. 因为0<φ<,所以cos φ=. 学科网（北京）股份有限公司 $$