精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题

2024年10月数学月考试题 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 关于三个不同平面与直线，下列命题中的假命题是（　　） A. 若，则α内一定存在直线平行于β B. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β C. 若，则 D. 若，则α内所有直线垂直于β 4. 已知奇函数在R上可导，，若在是增函数，在是减函数，则（ ） A. 在是增函数，在是减函数 B. 在是减函数，在是增函数 C. 在，都是增函数 D. 在，都是减函数 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，记，则（ ） A. B. C. D. 6. 如今我们在测量视力的时候，常用对数视力表（如图），视力值从4.0到5.3，每行相差0.1，这种计算视力的方法称为五分记录法，“对数视力表”和“五分记录法”是由我国著名眼科专家缪天荣（1914—2005）在1959年研制发明的，这种独创的视力表的核心在于：将视力和视角设定为对数关系，因此被认为是一种最符合视力生理的，而又便于统计和计算的视力检测系统，这使中国的眼科研究一下子站到了世界的巅峰，1986年，《对数视力表》在第25届国际眼科大会（罗马）宣读，引起轰动，1990年《标准对数视力表》被制定为国家标准（GB11533—89），并在全国实施.已知在五分记录法中，规定视力值，其中为人眼的视角，单位为分（1度＝60分），视角的大小，决定了人眼能看到的最小物体的长度，这个长度约等于以眼球为圆心（眼球大小忽略不计），视角为圆心角，眼球与物体之间的距离为半径的扇形的弧长.如果某人的一只眼睛的视力值为4.7，那么这只眼睛能看到距离5米外的最小物体的长度约为（参考数据：，）（ ） A. 1.5毫米 B. 2.9毫米 C. 4.4毫米 D. 5.8毫米 7. 已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|PA|+|PM|的最小值是（　　） A. 5 B. C. 4 D. 8. 已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 且 B. 的最小值是 C. 的最小值是4 D. 的最小值是 10. 如图，在直三棱柱中，，分别是棱的中点，在线段上，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 存在点，满足 D. 的最小值为 11. 下列不等关系中，正确的是（是自然对数的底数）（ ） A. B. C. D. 12. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若有两个不相等的实根，则 D. 若均为正数，则 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13. 已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为 ____.（结果用坐标表示） 14. 已知和是方程的两根，则_________. 15. 的展开式中，x的系数为______． 16. 定义在上的函数满足，当时，，已知方程有4个不相等的实数根，，，，且，则的取值范围是_________. 四．解答题（共6小题，满分70分） 17. 已知函数. （1）求函数的值域； （2）求不等式的解集. 18. 已知函数的图像如下图所示. （1）求的解析式； （2）在锐角△中，内角，，所对的边分别为，，，若角满足，求的取值范围. 19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知___________. （1）求角C； （2）若，，内角C的平分线CE交边AB于点E，求CE的长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”.某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛. （1）赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下表数据： x(天) 1 2 3 4 5 6 7 y(秒) 990 990 450 320 300 240 210 经研究发现，可用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y约为多少秒？ （2）小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率． 参考数据：(其中) 1845 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 21. 已知函数，，. （1）当时， （i）证明：，； （ii）是否存在点，使得和在处的切线相同？如果存在，直接写出点坐标和切线方程；如果不存在，请说明理由. （2）讨论函数在的零点的个数. 22. 已知为自然对数的底数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个不同零点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年10月数学月考试题 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合，由此对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】，解得或， 所以. 所以，AB选项错误. 反之不成立，故C选项正确，D选项错误. 故选：C 2. 已知复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘方和除法运算法则化简复数，进而得到其共轭复数，从而确定其在复平面内的点，确定所在象限. 【详解】由题意得， 所以，在复平面中对应的点为，在第一象限. 故选：A. 3. 关于三个不同平面与直线，下列命题中的假命题是（　　） A. 若，则α内一定存在直线平行于β B. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β C. 若，则 D. 若，则α内所有直线垂直于β 【答案】D 【解析】 【分析】A由线面平行判定定理可判断选项正误； B利用平面与平面垂直判定定理可判断选项正误； C利用平面与平面垂直性质定理可判断选项正误； D由平面与平面垂直定义可判断选项正误. 【详解】A选项，因，则存在.取α内任意与不同且与平行的直线n， 因，则，故A为真命题； B选项，因平面与平面垂直的判定定理：若在α内存在直线垂直于β，则α与β垂直为真命题， 则其逆否命题：若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β为真命题，故B为真命题； C选项，因，设，取γ内不在m，n上的任意一点G， 过G作m，n的垂线.因，，，则. 同理可得，又，则，结合，， 则，故C为真命题； D选项，若，设，则在α内存在直线与不垂直， 则在α内存在直线与β不垂直，故D为假命题. 故选：D 4. 已知奇函数在R上可导，，若在是增函数，在是减函数，则（ ） A. 在是增函数，在是减函数 B. 在是减函数，在是增函数 C. 在，都是增函数 D. 在，都是减函数 【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数的导函数是偶函数得出是偶函数，再根据对称性质得单调性． 【详解】因为是奇函数，所以在关于原点的对称区间上的单调性相同，即，，所以为偶函数，可得在关于原点对称区间上的单调性相反. 故选：A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题图，结合终边上的点坐标及即可求值. 【详解】由题图知：，则，而在上， 所以. 故选：D 6. 如今我们在测量视力的时候，常用对数视力表（如图），视力值从4.0到5.3，每行相差0.1，这种计算视力的方法称为五分记录法，“对数视力表”和“五分记录法”是由我国著名眼科专家缪天荣（1914—2005）在1959年研制发明的，这种独创的视力表的核心在于：将视力和视角设定为对数关系，因此被认为是一种最符合视力生理的，而又便于统计和计算的视力检测系统，这使中国的眼科研究一下子站到了世界的巅峰，1986年，《对数视力表》在第25届国际眼科大会（罗马）宣读，引起轰动，1990年《标准对数视力表》被制定为国家标准（GB11533—89），并在全国实施.已知在五分记录法中，规定视力值，其中为人眼的视角，单位为分（1度＝60分），视角的大小，决定了人眼能看到的最小物体的长度，这个长度约等于以眼球为圆心（眼球大小忽略不计），视角为圆心角，眼球与物体之间的距离为半径的扇形的弧长.如果某人的一只眼睛的视力值为4.7，那么这只眼睛能看到距离5米外的最小物体的长度约为（参考数据：，）（ ） A. 1.5毫米 B. 2.9毫米 C. 4.4毫米 D. 5.8毫米 【答案】B 【解析】 【分析】由视力值求出视角，再由计算出弧长即得． 【详解】由题意得，解得分，则圆心角为2分，半径为5米的扇形的弧长等于米＝2.9毫米. 故选：B． 7. 已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|PA|+|PM|的最小值是（　　） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM交准线于H点推断出|PA|＝|PH|，进而表示出|PM|，问题转化为求|PF|+|PA|的最小值，由三角形两边长大于第三边得到|PF|+|PA|的最小值，则|PA|+|PM|的最小值可得． 【详解】依题意可知焦点，准线 x，延长PM交准线于H点． 则|PF|＝|PH|，∴|PM|＝|PH||PF| ∴|PM|+|PA|＝|PF|+|PA|，∴要使|PM|+|PA|当且仅当|PF|+|PA|最小． 由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，① 当与线段与抛物线的交点重合时取到最小值，． 由,可得． 则所求为． 故选：B． 8. 已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出过点的切线方程，再构造函数并利用导数求出函数有3个零点的条件即可. 【详解】设切点，由，求导得， 则切线方程为，由切线过点， 得，整理得， 令函数，求导得，而， 当或时，，当时，， 因此函数在，上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值， 由过点可以作函数的三条切线，得有3个不等实根， 即函数有3个零点，所以. 故选：D. 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 且 B. 的最小值是 C. 的最小值是4 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用的值域及单调性即可判断得且，故A正确； 对于B，利用基本不等式可得，再进行化简即可得到，故B错误； 对于C，利用基本不等式中“1”的妙用可得，故C正确； 对于D，由结合基本不等式可判断得D正确. 【详解】对于A，因为，，所以，即， 由于在上单调递增，所以，同理可得，故A正确； 对于B，因为，，所以，即，即，即， 由于在上单调递增，所以，即， 当且仅当且，即时，等号成立， 故的最大值是，故B错误； 对于C，因为，， 当且仅当且，即时，等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当且，即时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在直三棱柱中，，分别是棱的中点，在线段上，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 存在点，满足 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，在平面找一条直线，使其与平行即可； 对于B，先由证明四点共面，再证四点共面，进而能判断直线与平面的位置关系； 对于C，以为正交基底，建立空间直角坐标系，用坐标运算即可； 对于D，把三棱锥的正面和上底面展开，即能找到的最小值，构造直角三角形求解即可. 【详解】对于A，连接，分别是棱的中点，且，四边形为平行四边形， ，又平面，平面在平面内，所以平面，故A正确； 对于B，易知，所以四点共面，又点，所以四点共面，平面，而平面，直线平面，故B不正确； 对于C，以为正交基底，建立如图1所示的空间直角坐标系. 则，，， ，，， ， 若，则，，在线段延长线上，而不在线段上，故C不正确； 对于D，把图1的正面和上底面展开如图2所示，连接即为所求，过做PG垂直于且与其相交于，与相交于，易得，， ，，在中， ，，故D正确. 故选：AD 11. 下列不等关系中，正确的是（是自然对数的底数）（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】构造函数，利用该函数单调性可一一判断四个选项的正误. 【详解】设，，，，，，所以在单调递增，在单调递减. 对于A项，， 由在单调递减，可得，故A项正确； 对于B项，， 由在单调递减，可得，故B项正确； 对于C项，， 由在单调递减，可得，故C项错误； 对于D项，， 由在单调递减，可得，故D项正确. 故选:ABD. 12. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若有两个不相等的实根，则 D. 若均为正数，则 【答案】AD 【解析】 【分析】求出导函数，由导数确定函数单调性，可以解决AB选项，D选项通过引入新的字母，也可转化成利用单调性进行大小比较，C选项可通过构造函数来说明. 【详解】由得：，令，解得，故在上递增，令，解得，故在上递减，且时，时，，. A．根据单调性，在上单调递减，于是，故A选项正确； B．，且在单调递增，，，即，故B选项错误； C．根据题干可证明，即证明，有两个不相等的零点，则，由于，两式相减整理可得，故只用证，即证，不妨设，即证，令，，则在上单调递增，故，取，则，即，即，于是得到证明，即，故C选项错误； D．设，且均为正数，，则，，则，而，在上单调递减，故，于是，由知，故D正确． 故选：AD． 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13. 已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为 ____.（结果用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】向量在向量方向上的投影向量为：. 又，，则. 故答案为：. 14. 已知和是方程的两根，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题知，，进而得，再结合求解即可. 【详解】解：方程可化为，由韦达定理得，， 所以，得. 又， 所以. 故答案为： 15. 的展开式中，x的系数为______． 【答案】20 【解析】 【分析】将原式变形，写出其通项公式，然后再写出的通项公式，令指数为1，即可得到答案. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为，其中，． 令，得，得，所以展开式中x的系数为． 故答案为:20. 16. 定义在上的函数满足，当时，，已知方程有4个不相等的实数根，，，，且，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得的图像关于直线对称，进而作出函数在上的图像，数形结合可得，，，，进而得，再根据换元法结合对勾函数与二次函数性质求解即可. 【详解】由，可得的图像关于直线对称， 作出在上的图像， 由题意得在上的图像与直线有4个不同的交点， 如图，易得，， 又且， 所以，可得， 所以，，，， 所以， 设， 原式化为， 所以，在单调递减，在单调递增， 所以，可得的取值范围是. 故答案为： 四．解答题（共6小题，满分70分） 17. 已知函数. （1）求函数的值域； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由对数运算法则化简函数式后，把作为一个整体，结合二次函数性质可得值域； （2）把作为一个整体，解一元二次不等式，然后再解对数不等式可得． 【小问1详解】 ，，即时，取得最大值． 所以的值域为. 【小问2详解】 根据题意得， 整理得， 即， 解得或， 所以或， 故不等式的解集为. 18. 已知函数的图像如下图所示. （1）求的解析式； （2）在锐角△中，内角，，所对的边分别为，，，若角满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图像与y轴的交点确定的值，根据函数图像与x轴的交点和函数的周期确定的值，从而确定函数解析式； （2）根据题中的条件结合（1）中的结论求解角C的大小，利用正弦定理结合两角差的正弦公式将两边的比转化为关于角A的表达式，根据角A的范围确定两边之比的取值范围. 【小问1详解】 由图像可得， 因为且在附近单调递减，所以. 又，所以，Z. 解得Z)， 又，得， 所以，（直接写不扣分） 所以. 【小问2详解】 由且， 可得，解得. 由正弦定理可得. 由锐角三角形可得，解得， 所以，则的取值范围是. 19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知___________. （1）求角C； （2）若，，内角C的平分线CE交边AB于点E，求CE的长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）若选①：由正弦定理和题设条件化简得到，进而求得的值；若选②：由，化简得到，求得的值；若选③：由，得到，由正弦定理得到，进而求得的值，即可求解； （2）由正弦定理得，求得，，进而得到为等腰三角形，即可求解. 【小问1详解】 若选条件①：因为， 由正弦定理可得， 所以， 因为，可得，所以. 因为，所以， 又因为为锐角三角形，所以. 若选条件②：因为，所以， 即，所以，解得. 因为为锐角三角形，所以. 若选条件③：因为，又，所以. 由正弦定理可得. 因为，所以，即. 因为为锐角三角形，所以，则有，所以，所以. 【小问2详解】 因为，， 由正弦定理得， 因为为锐角三角形，所以，则， 因为CE是角C的平分线，所以， 故，所以， 则为等腰三角形，所以，故CE的长为. 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略： 对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用. 20. 2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”.某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛. （1）赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下表数据： x(天) 1 2 3 4 5 6 7 y(秒) 990 990 450 320 300 240 210 经研究发现，可用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y约为多少秒？ （2）小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率． 参考数据：(其中) 1845 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1）；150； （2）． 【解析】 【分析】(1)令，则可利用最小二乘法估计，从而得到，代入x=50即可预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度； (2)设比赛再继续进行X局小明最终赢得比赛，最后一局一定是小明获胜，且最多再进行4局就结束比赛分出胜负，则小明赢得比赛得概率P=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)． 【小问1详解】 由题意，， 令，设y关于t的线性回归方程为， 则， 则， ∴， ∴y关于x的回归方程为， 当时，， ∴预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y约为150秒； 【小问2详解】 设比赛再继续进行X局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜， 由题意知，最多再进行4局就有胜负，X的可能取值为2、3、4． 当时，小明4∶1胜，∴； 当时，小明4∶2胜，∴； 当时，小明4∶3胜，∴． ∴小明最终赢得比赛的概率为． 21. 已知函数，，. （1）当时， （i）证明：，； （ii）是否存在点，使得和在处的切线相同？如果存在，直接写出点坐标和切线方程；如果不存在，请说明理由. （2）讨论函数在的零点的个数. 【答案】（1） （i）证明：当时，， 由可知，要证， 只需证， 设， ， 设，因为在区间内单调递增且， 所以，；，， 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增， 所以当时，，可得，， 所以，.（其他方法酌情给分） （ii）存在，；切线方程为 （2）当时，在区间内有1个零点；当时，在区间内没有零点；当时，在区间内有2个零点. 【解析】 【分析】(1)(i)利用导函数讨论单调性并求出最小值即可;(ii)利用某点处切线方程求法即可； (2)根据的不同取值利用导数和极值讨论零点个数. 【小问1详解】 （i）略 （ii）解：存在；切线方程为. （证明如下：由（i）中取等条件可知，当时，存在唯一，使得，又恰好，进而得出公切线方程，而当时，，，又，故无其他结果.） 【小问2详解】 令，即， 等价于， 设， 由（1）得，当时，在有1个零点； 当时，，故没有零点； 当时，， ， ， 所以在，各有1个零点. 综上所述，当时，在区间内有1个零点；当时，在区间内没有零点；当时，在区间内有2个零点. 22. 已知为自然对数的底数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个不同零点，求证：. 【答案】（1）当时，在上是增函数，在上是减函数；当时，在上是减函数，在上是增函数； （2） 因为有两个不同零点，，则，， 因此，即， 要证，只要证明，即证， 不妨设，记，则，， 因此只要证明，即， 记，则， 令，则， 所以函数在上递增， 则，即， ∴在上单调递增， ∴，即成立， ∴. 【解析】 【分析】（1）由题可得函数的导数，然后分，讨论即得； （2）由题可得，可得只需证，然后通过换元可得，再构造函数，利用导数研究函数的性质即得. 【小问1详解】 由题可得， 当时，，当时，； 所以当时，在上是增函数，在上是减函数； 当时，在上是减函数，在上是增函数； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $