第18讲抛物线及其标准方程（2个知识点+2个要点+6种题型+2个易错点+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修一）

第18讲抛物线及其标准方程 （2个知识点+2个要点+6种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注意点： (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)若点F在直线l上，则点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 知识点2：抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 注意点： (1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上． (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项系数的正负． 要点1：求抛物线标准方程 1. 定义法：根据抛物线的定义确定p的值，再结合焦点位置求出抛物线的方程. 2. 待定系数法 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数． 要点2：抛物线中焦半径长的求法 焦半径公式：已知抛物线上一点(x0，y0). 标准方程 焦半径 y2=2px(p>0) x0+ y2=-2px(p>0) -x0 x2=2py(p>0) y0+ x2=-2py(p>0) -y0 题型1：由抛物线的定义求线段长度 【例题1】（23-24高二上·北京西城·期末）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1】（23-24高二上·吉林·期末）设为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，点A、B是抛物线C上不同的两点，且A、B中点的横坐标为2，则 . 【变式3】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q，若，则的值为 . 题型2：根据抛物线的标准方程求焦点坐标或准线方程 【例题2】（24-25高二上·河南·阶段练习）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）二次函数的准线方程为 ． 【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)； (3)． 题型3：抛物线标准方程的简单求解 【例题3】（24-25高二上·全国·课后作业）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，若到轴的距离为5，且，则该抛物线的标准方程为 ． 【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点为； (2)准线为； (3)过点； (4)焦点到准线的距离为． 题型4：与抛物线有关的轨迹问题 【例题4】（23-24高二上·四川成都·期中）已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式1】（20-21高二上·广西南宁·期末）抛物线：的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课前预习）设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 【变式3】（24-25高二上·上海·课堂例题）在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N：相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程． 题型5：抛物线的实际应用 【例题5】（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 【变式1】（23-24高二上·广东·期末）如图1，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则到该抛物线顶点的距离为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】（24-25高二上·全国·课堂例题）如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为 m．（精确到1m）    【变式3】（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 题型6：与抛物线有关的最值问题 【例题6】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式1】（22-23高二上·四川成都·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，定点，P是抛物线上一个动点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）P为抛物线上动点，则P到焦点的距离与到的距离之和最小值为 . 【变式3】（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且为坐标原点，求的最小值． 易错点1：忽视定义中定点不在定直线上而致错 【例题1】（高二上·全国·单元测试）方程表示的曲线为 A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【变式1】（高二·全国·课后作业）在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（22-23高二上·辽宁鞍山·期末）在平面内，已知定点及定直线，记动点到的距离为，则“”是“点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）方程所表示的曲线为（    ） A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．直线 易错点2：抛物线标准方程不确定时，忽略分类讨论而致误 【例题2】（22-23高二上·全国·单元测试）已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1】（高二·全国·课后作业）若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程． 【变式2】（20-21高二·全国·课后作业）抛物线的焦点在轴上，点在抛物线上，且，求抛物线的标准方程. 【变式3】（22-23高二上·北京·期中）在直线坐标系中，抛物线（）的焦点为，为抛物线上一点，若直线的倾斜角为60°，且到抛物线准线的距离为4． (1)求的值和抛物线的方程； (2)求的值． 一、单选题 1．（23-24高二上·山东青岛·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖南·阶段练习）已知为抛物线：（）上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为6，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·甘肃·期末）已知为抛物线C：的焦点，为原点，点在抛物线上，且，则的周长为（    ） A． B． C．10 D．11 5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（23-24高二上·山西太原·期末）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 7．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高二上·黑龙江佳木斯·期末）P为抛物线上动点，则P到焦点的距离与到的距离之和最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 二、多选题 9．（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，则m的值为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）点到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，为抛物线焦点，若以轴正方向的射线绕焦点逆时针旋转，与抛物线交于点，则 ． 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的标准方程为 ． 14．（24-25高二上·河南南阳·期中）抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点（在第一象限内），为上一动点，则周长的最小值为 . 四、解答题 15．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程 (1)离心率，经过点的双曲线方程； (2)顶点在原点，准线是的抛物线方程. 16．（23-24高二上·上海·课后作业）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求的最小值，并求此时点的坐标． 17．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知抛物线的方程为，点为抛物线的焦点. (1)若点是抛物线上的一个动点，且点，求的最小值； (2)若点，，都在抛物线上，直线是圆的两条切线，求直线的方程． 18．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知动圆过点且与直线相切，记该动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若过点的直线交于两点，且，求的面积． 19．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知动点M到点与到直线的距离相等． (1)求动点M的轨迹E的方程； (2)设点P是轨迹E上的动点，点Q，R在x轴上，圆内切于，求的面积最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲抛物线及其标准方程 （2个知识点+2个要点+6种题型+2个易错点+过关检测） 知识点1：抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注意点： (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)若点F在直线l上，则点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 知识点2：抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 注意点： (1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上． (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项系数的正负． 要点1：求抛物线标准方程 1. 定义法：根据抛物线的定义确定p的值，再结合焦点位置求出抛物线的方程. 2. 待定系数法 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数． 要点2：抛物线中焦半径长的求法 焦半径公式：已知抛物线上一点(x0，y0). 标准方程 焦半径 y2=2px(p>0) x0+ y2=-2px(p>0) -x0 x2=2py(p>0) y0+ x2=-2py(p>0) -y0 题型1：由抛物线的定义求线段长度 【例题1】（23-24高二上·北京西城·期末）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】结合抛物线的定义计算即可得. 【详解】由抛物线可知其焦点为，其准线为， 到的距离为5，则到的距离为， 故. 故选：A. 【变式1】（23-24高二上·吉林·期末）设为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设，由得到，根据抛物线焦半径公式求出答案. 【详解】由题意得，设， 因为，所以， 故， 由抛物线焦半径公式得， 故. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，点A、B是抛物线C上不同的两点，且A、B中点的横坐标为2，则 . 【答案】6 【分析】根据抛物线的定义结合已知可求得结果. 【详解】设，由A，B中点的横坐标为2，可得， 所以． 故答案为：6. 【变式3】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q，若，则的值为 . 【答案】4 【分析】由抛物线的定义知，且，得为等边三角形，从而，在直角三角形求解即可. 【详解】如图，    由抛物线的定义可知：， 又∵， ∴，则为等边三角形， 又，则， ∴，则. 故答案为：4. 题型2：根据抛物线的标准方程求焦点坐标或准线方程 【例题2】（24-25高二上·河南·阶段练习）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的标准方程求出准线方程即可. 【详解】抛物线的准线方程为， 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的标准方程求得正确答案. 【详解】依题意，，且抛物线的开口向上，焦点在轴上， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）二次函数的准线方程为 ． 【答案】 【分析】化简函数为，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】由二次函数，即， 所以对称轴方程，开口向上，顶点坐标为， 所以准线方程为． 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为． (2)焦点坐标为，准线方程为． (3)焦点坐标为，准线方程为． 【分析】（1）（2）（3）根据抛物线的焦点坐标和准线方程的求法即可得到答案. 【详解】（1）对于，焦点在轴正半轴上， 则焦点坐标为，准线方程为． （2）对于，焦点在轴负半轴上， 则焦点坐标为，准线方程为． （3）对于，即，焦点在轴负半轴上， 则焦点坐标为，准线方程为． 题型3：抛物线标准方程的简单求解 【例题3】（24-25高二上·全国·课后作业）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线的标准方程中参数的几何意义即可列式求解. 【详解】设抛物线方程为或， 依题意知，∴. ∴抛物线方程为. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为，再结合和及抛物线定义知识可求得，即可求解. 【详解】记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为， 因为，所以，即， 由于，所以， 由可知，所以，而， 由可知，即的方程为．故C正确. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，若到轴的距离为5，且，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】求得抛物线的准线方程为，根据题意，利用抛物线的定义，得到，求得的值，即可求解. 【详解】由抛物线，可得准线方程为， 因为，根据抛物线定义可知点到准线的距离为， 又因为到轴的距离为5，可得，解得， 所以抛物线的标准方程为． 故答案为：． 【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点为； (2)准线为； (3)过点； (4)焦点到准线的距离为． 【答案】(1) (2) (3)或． (4)或或或． 【分析】（1）根据焦点位置得到，则得到其标准方程； （2）根据准线方程得到，则得到其标准方程； （3）利用待定系数，设出抛物线方程，代入所过得点即可； （4）根据距离求出，则得到其标准方程. 【详解】（1）由于焦点在轴的负半轴上，且，， 抛物线的标准方程为． （2）焦点在轴正半轴上，且，， 抛物线的标准方程为． （3）由题意，抛物线方程可设为或， 将点的坐标代入，得或， 或． 所求抛物线的标准方程为或． （4）由焦点到准线的距离为，可知． 所求抛物线的标准方程为或或或． 题型4：与抛物线有关的轨迹问题 【例题4】（23-24高二上·四川成都·期中）已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】设，根据已知条件列方程，化简后求得正确答案. 【详解】设，其中， 则，即， 所以， 所以点的轨迹为不包含，两点的抛物线. 故选：D 【变式1】（20-21高二上·广西南宁·期末）抛物线：的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设出过焦点的直线方程，与抛物线方程联立求出两根之和，可得中点的坐标，消去参数可得中点的轨迹方程． 【详解】由抛物线的方程可得焦点，可得过焦点的直线的斜率不为0， 设直线方程为：， 设直线与抛物线的交点，，，，设的中点， 联立直线与抛物线的方程可得： ，，， 所以可得，消去可得的轨迹方程：， 故选：C． 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有：1、定义法；2、待定系数法；3、直接求轨迹法；4、反求法；5、参数方程法等等. 【变式2】（24-25高二上·全国·课前预习）设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，，，根据可得，根据可得，代入即可得结果. 【详解】设，，， 则，，， 因为， 则， 又因为，则，即， 可得，即． 故点的轨迹方程是． 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·上海·课堂例题）在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N：相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程． 【答案】． 【分析】设动圆圆心，半径为r，根据题意列方程化简可得曲线C的方程． 【详解】解：设动圆圆心，半径为r， 依题意，，， 消去r，得， 化简得， 所以曲线C的方程为． 题型5：抛物线的实际应用 【例题5】（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点建立坐标系，设抛物线方程为，表达出点坐标，设，其中为点到桥面的距离，将坐标代入抛物线方程，求出，得到答案. 【详解】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知， 设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离， 则,解得．      故选：A 【变式1】（23-24高二上·广东·期末）如图1，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则到该抛物线顶点的距离为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用几何意义求解即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，    设抛物线的方程为， 则，即， 所以，解得（舍去）或，则到顶点的距离为3. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·全国·课堂例题）如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为 m．（精确到1m）    【答案】5 【分析】以右侧抛物线顶点为坐标原点构建直角坐标系，设抛物线方程，由在抛物线上求参数，进而求得右侧水面落点坐标，根据对称性求水池的直径. 【详解】以抛物线的顶点为原点，过顶点与焦点的直线为y轴，建立平面直角坐标系．    设抛物线的方程为，则，代入方程得， 所以抛物线的方程为，又， 令，则，故， 所以，根据对称性知：水池直径为m，约为5 m. 故答案为：5. 【变式3】（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 【答案】(1) (2)能 (3)3 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系并设出抛物线的方程，进而求出方程; （2）（3）根据已知条件及（1）的结论，结合点在抛物线上即可求解； 【详解】（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系.如图所示    设抛物线的方程为，则 点在抛物线上，代入方程得， 所以抛物线的方程为. （2）当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米， 设，代入方程得，故，则 ， 所以木船能通行； （3）假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为， 把代入方程，得， 故，由，得. 所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行. 题型6：与抛物线有关的最值问题 【例题6】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】根据题意可得准线方程为，过作的准线的垂线，垂足为，从而可得，即可求解. 【详解】易知抛物线的准线方程为，过作的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，所以， 当且仅当三点共线且准线时，等号成立．故的最小值为12．故A正确. 故选：A. 【变式1】（22-23高二上·四川成都·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，定点，P是抛物线上一个动点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】由抛物线的定义，结合三点共线时最小即可求解. 【详解】 准线为，A在抛物线内部， 设到准线的距离为， 到准线的距离.      故选：C. 【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）P为抛物线上动点，则P到焦点的距离与到的距离之和最小值为 . 【答案】 【分析】求出抛物线焦点坐标和准线方程，将转为点到抛物线准线的距离，由抛物线的定义，可得，转化为求的最小值，结合图形，即可求解. 【详解】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为， 过点作于点，由抛物线的定义可得， 所以，      由图形可得，当，，三点共线时，取得最小值， 最小值为点A到准线的距离. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且为坐标原点，求的最小值． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，确定，根据计算得到答案. 【详解】如图所示，作点关于的对称点，连接，设点，不妨设， ，直线方程为，，， 即，由， 当且仅当三点共线时取等号， 又， 故的最小值为． 易错点1：忽视定义中定点不在定直线上而致错 【例题1】（高二上·全国·单元测试）方程表示的曲线为 A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【答案】A 【详解】方程表示动点到定点的距离与到定直线的距离， 点不在直线上，符合抛物线的定义； 【变式1】（高二·全国·课后作业）在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义以及充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】若点P的轨迹为抛物线，则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离， 但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，且该定点在该定直线上， 则点P的轨迹就不是抛物线，故应为必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查了抛物线的定义、充分条件、必要条件的定义，理解定义是关键，属于基础题. 【变式2】（22-23高二上·辽宁鞍山·期末）在平面内，已知定点及定直线，记动点到的距离为，则“”是“点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义和利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】“点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线”“”， 反之不成立，直线经过定点，轨迹不是抛物线.因此“”是“点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线”的必要不充分条件. 故选：C. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）方程所表示的曲线为（    ） A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．直线 【答案】A 【分析】将已知方程化简，再结合两点间距离公式和点到直线的距离公式以及抛物线的定义作答即可； 【详解】化简得， 即动点到定点的距离与到直线的距离相等， 且点不在直线上， 故方程表示的曲线为抛物线． 故选：A. 易错点2：抛物线标准方程不确定时，忽略分类讨论而致误 【例题2】（22-23高二上·全国·单元测试）已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据已知条件可得点M坐标，代入抛物线方程求解即可. 【详解】因为抛物线的准线方程是，而点M到准线的距离为6， 所以点M的横坐标是. 所以点M的坐标为， 又因为点M在抛物线上， 所以32=2p，解得p=8或p=4， 故该抛物线的标准方程为或. 故选：D. 【变式1】（高二·全国·课后作业）若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程． 【答案】当点的横坐标为时，抛物线方程为. 当点的横坐标为时，抛物线方程为. 【分析】设点的坐标为,抛物线的准线方程为,则由在抛物线上以及到准线的距离为可求解. 【详解】点到对称轴的距离为，设点的坐标为． 又点到准线的距离为，解得或. 故当点的横坐标为时，抛物线方程为. 当点的横坐标为时，抛物线方程为. 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程以及其性质的简单运用. 【变式2】（20-21高二·全国·课后作业）抛物线的焦点在轴上，点在抛物线上，且，求抛物线的标准方程. 【答案】或或或. 【分析】对分两种情况考虑，即和，再分别设出抛物线的方程，利用焦半径公式，即可得到答案； 【详解】因为抛物线的焦点在轴上，且点在抛物线上， ①当时，抛物线的方程可设为， 则，解得或， 所以抛物线的方程为或. ②当时，抛物线的方程可设为， 则，解得或， 所以抛物线的方程为或. 综上，抛物线的方程为或或或. 【变式3】（22-23高二上·北京·期中）在直线坐标系中，抛物线（）的焦点为，为抛物线上一点，若直线的倾斜角为60°，且到抛物线准线的距离为4． (1)求的值和抛物线的方程； (2)求的值． 【答案】(1)时，抛物线方程为；时，抛物线方程为 (2)时；时 【分析】（1）根据在第一或第四象限进行分类讨论，结合抛物线的定义求得，进而求得抛物线的方程. （2）通过点坐标求得的值. 【详解】（1）依题意，直线的倾斜角为60°，且到抛物线准线的距离为， 当在第一象限时，点的坐标为，即， ，抛物线方程为. 当在第四象限时，点的坐标为，即， ，抛物线方程为. （2）由（1）得，当时，; 当时，. 一、单选题 1．（23-24高二上·山东青岛·期末）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据给定方程直接求出焦点坐标即得. 【详解】抛物线的焦点在y轴的正半轴上，坐标为. 故选：D 2．（23-24高二上·湖南·阶段练习）已知为抛物线：（）上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为6，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义结合题意可求得结果. 【详解】因为点到的焦点的距离为9，到轴的距离为6， 所以，则． 故选：C 3．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】因为点到直线的距离为， 所以点到抛物线准线的距离为， 由抛物线的定义得，. 故选：D. 4．（23-24高二上·甘肃·期末）已知为抛物线C：的焦点，为原点，点在抛物线上，且，则的周长为（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】A 【分析】由的长度的M点坐标，求得的周长. 【详解】设M点坐标为，由题，，所以， 代入抛物线方程得，所以， 的周长为. 故选：A. 5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据焦点即可求解抛物线方程. 【详解】直线与坐标轴的交点为以及， 所以抛物线的焦点为或， 当焦点为，此时抛物线方程为， 当焦点为时，此时抛物线的方程为， 故选：C 6．（23-24高二上·山西太原·期末）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】设点到准线的距离为，当三点共线时，取得最小值，即可求解. 【详解】解：抛物线的焦点是，准线方程为：， 设点到准线的距离为，则， 如图所示：    当三点共线时，取得最小值， 故选：C 7．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性建立方程求解参数，得到抛物线方程，最后求解准线即可. 【详解】由题意可知，的坐标为.设点，则，， 即，得，， 即，得，因此， 解得，故抛物线的准线方程为. 故选：A 8．（21-22高二上·黑龙江佳木斯·期末）P为抛物线上动点，则P到焦点的距离与到的距离之和最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】求出抛物线焦点坐标和准线方程，将转为点到抛物线准线的距离，由抛物线的定义，可得，转化为求的最小值，结合图形，即可求解. 【详解】 由题意得抛物线的焦点为，准线方程为. 过点作于点，由抛物线的定义可得， 所以， 由图形可得，当，，三点共线时，最小， 最小值为点A到准线的距离. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据点的坐标，确定抛物线的开口方向，有两种情况，设出抛物线方程，代入点的坐标即可求解. 【详解】因为点在第二象限，所以抛物线有开口向左或开口向上两种情况， 若抛物线开口向左，设抛物线方程为，代入抛物线方程， 有，解得，所以抛物线方程为，所以A正确； 若抛物线开口向上，设抛物线方程为，代入抛物线方程， 有，解得，所以抛物线方程为，所以C正确. 故选：AC 10．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意假设出抛物线方程，再利用点在抛物线上与焦半径公式得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】依题意，设所求抛物线方程为，则焦点为， 因为在抛物线上，且， 所以，解得 所以. 故选：CD. 11．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）点到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据抛物线定义可知点满足，再根据两点间距离列方程，结合方程只有一解，分情况讨论. 【详解】因为点到点的距离等于它到直线的距离， 则所在曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，则设点， 所以，即， 可知方程只有一解， 当时，方程为，解得，符合题意； 当时，，解得， 综上所述， 故选：CD. 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，为抛物线焦点，若以轴正方向的射线绕焦点逆时针旋转，与抛物线交于点，则 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义及直角三角形的性质可得解. 【详解】    易知焦点，准线，过点作，垂足为， 过点作，垂足为， 设，则由抛物线定义可知， 又因，， 所以在直角中，， 解得. 故答案为：4 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由椭圆的性质得到焦点坐标，再令，解出即可； 【详解】由椭圆的方程可得， 所以椭圆的右焦点为， 所以，即， 所以抛物线的标准方程为． 故答案为：. 14．（24-25高二上·河南南阳·期中）抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点（在第一象限内），为上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】 【分析】过作直线的垂线，垂足为A，分析出为正三角形，求出；再通过轴对称求出，即可得周长的最小值. 【详解】设准线交轴于点，过作直线的垂线，垂足为A，连接， 由题知，焦点，，． 因为直线的斜率为，所以为正三角形， 所以，， 所以． 记关于直线的对称点为，则． 当，，三点共线时，， 所以周长的最小值为． 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程 (1)离心率，经过点的双曲线方程； (2)顶点在原点，准线是的抛物线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求双曲线标准方程. （2）根据抛物线的准线求抛物线的标准方程. 【详解】（1）由，又，所以. 设双曲线方程为：，把点带入，得： . 所求双曲线的标准方程为：. （2）因为抛物线的顶点在原点，准线是：， 所以抛物线开口向左，且. 所以抛物线的标准方程为：. 16．（23-24高二上·上海·课后作业）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求的最小值，并求此时点的坐标． 【答案】； 【分析】根据抛物线的定义，把转化为，利用当三点共线时，取得最小值，把代入抛物线解得值，即得的坐标. 【详解】根据题意，作图如下， 设点在其准线上的射影为， 由抛物线的定义得， 欲使取得最小值，就是使最小， ，当且仅当三点共线时，等号成立. 所以取得最小值，此时三点共线，即点的纵坐标， 设点的横坐标为， 为抛物线上的点，， 点的坐标为.    17．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知抛物线的方程为，点为抛物线的焦点. (1)若点是抛物线上的一个动点，且点，求的最小值； (2)若点，，都在抛物线上，直线是圆的两条切线，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据抛物线的定义将折线转化为直线，再利用数形结合思想得出当且仅当三点共线时，取最小值，求出即可. （2）先根据题意求出切线的方程；再联立方程组求出点的坐标；最后计算出直线的斜率，点斜式写出方程整理即可. 【详解】（1）过点向抛物线的准线作垂线，垂足为.    由抛物线的定义得：. 当且仅当三点共线时，取最小值，最小值为. （2）由圆可得圆心坐标为，半径为. 因为点在抛物线：上， 所以.    因为直线是圆的两条切线， 所以直线的方程为，设直线的方程为，即. 由题意得：圆心到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为. 联立，解得. 因为直线的方程为，，点在抛物线：上. 所以点 所以直线的斜率为， 所以直线的方程是，即. 18．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知动圆过点且与直线相切，记该动圆圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若过点的直线交于两点，且，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据抛物线的定义，利用两点之间距离公式以及点到直线的距离公式，建立方程方程，可得答案； （2）设出点的坐标以及直线方程，结合韦达定理以及向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】（1）设，动圆的半径， 整理可得．故曲线的方程为. （2）法一： 设，不妨设点在轴上方， 由可得， 由已知直线斜率必不为0，故可设直线， 联立方程，可得， 故，解得，故， ． 法二： 设，不妨设点在轴上方， 由可得， 若直线的斜率不存在，则，不符合题意，舍去； 设直线， 联立方程可得， ，解得，， ，解得． 原点到直线的距离， 故的面积. 19．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知动点M到点与到直线的距离相等． (1)求动点M的轨迹E的方程； (2)设点P是轨迹E上的动点，点Q，R在x轴上，圆内切于，求的面积最小值． 【答案】(1) (2)8. 【分析】（1）先判断动点的轨迹是抛物线，再根据抛物线的定义求的值. （2）设，，，且，根据直线，与圆相切，得到m，n是方程的两根，利用一元二次方程根与系数得关系，求出，再利用基本（均值）不等式求的面积最小值． 【详解】（1），由题意：点轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，且. 所以抛物线的标准方程为：. 即：. （2）如图： 设圆圆心为，设，，，且， 则直线PR的方程为，即， 因为直线PR与圆相切，所以圆心C到直线PR的距离等于1， 即，化简可得，即． 同理直线PQ与圆相切，所以 所以m，n是方程的两根． 由韦达定理可得， ，又因为：， 所成，所以， 因为，所以，当且仅当取等号． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$