第17讲双曲线的简单几何性质（3个知识点+3个要点+7种题型+1个易错点+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修一）

第17讲双曲线的简单几何性质 （3个知识点+3个要点+7种题型+1个易错点+过关检测） 知识点1：双曲线的几何性质 1.范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R， 所以x≥a 或x≤－a; y∈R. 2．对称性 －＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称． x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． 3．顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点． 顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个． (2)如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长． (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线． 方程为x2－y2＝m(m≠0)． 4．渐近线 双曲线在第一象限内部分的方程为y＝·， 它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方． 它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近． (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x. (2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图． 5．离心率 (1)定义：e＝. (2)e的范围：e>1. (3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄． 知识点2：双曲线的两种标准方程的几何性质比较 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 注意点： (1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大． (2)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x. (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置． (4)焦点到渐近线的距离为b. 知识点3：直线与双曲线的位置关系 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个切点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点． 注意点： 直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 要点1：求双曲线方程的巧设方法 巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． ②渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 要点2：等轴双曲线与共轭双曲线 两类特殊的双曲线 等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线 性质：①渐近线方程为y=±x，它们互相垂直，并且平分以双曲线的实轴和虚轴所成的角；②a=b，离心率e= 共轭双曲线 定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线 性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆； ③它们的离心率的倒数的平方和等于1 要点3：椭圆、双曲线几何性质的统一性 1.双曲线的通径 双曲线的通径：过双曲线的焦点作垂直于实轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫作通径，其长度为. 2. 椭圆双曲线几何性质的统一性 3. 椭圆双曲线的统一定义 题型1：根据双曲线的方程研究其几何性质 【例题1】（多选）（23-24高二上·四川自贡·期末）已知双曲线，则双曲线（    ） A．焦点坐标为和 B．渐近线方程为和 C．离心率为 D．与直线有且仅有一个公共点 【变式1】（24-25高二上·上海·随堂练习）双曲线的焦点坐标为 ；顶点坐标为 ；实轴长为 ；虚轴长为 ；渐近线方程为 ；离心率为 ． 【变式2】（21-22高二·江苏·课后作业）求双曲线x2－8y2＝32的实半轴长和虚半轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）分别写出下列双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程． (1)； (2)． 题型2：利用双曲线的几何性质求其标准方程 【例题2】（23-24高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线的实轴长为，离心率为2，则双曲线的标准方程为 【变式2】（23-24高二上·江西赣州·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为10，离心率是； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为． 【变式3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，两顶点间的距离是8，离心率： (2)渐近线方程是，虚轴长为4． 题型3：求双曲线离心率的值或取值范围 【例题3】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与交于两点，与的渐近线交于两点，若，则的离心率为 ． 【变式3】（23-24高二上·新疆喀什·期末）求双曲线C：的焦点坐标、实轴长、虚轴长、渐近线方程和离心率． 题型4：与双曲线渐近线相关的问题 【例题4】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知为双曲线的一个焦点，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·河北邢台·期末）双曲线的一条渐近线方程为分别为该双曲线的左、右焦点，点为双曲线上的一点，则的最小值为（    ） A．38 B．22 C．10 D．8 【变式2】（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知双曲线与椭圆的焦距相等，且其中一个顶点坐标为，则的渐近线方程为 . 【变式3】（23-24高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知双曲线的离心率为，求该双曲线的渐近线方程. 题型5：直线与双曲线的位置关系 【例题5】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线与双曲线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式1】（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【变式2】（21-22高二上·重庆巴南·阶段练习）已知双曲线的方程为，直线. (1)求双曲线的渐近线方程、离心率； (2)若直线与双曲线仅有一个公共点，求实数的值. 【变式3】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 题型6：中点弦问题 【例题6】（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·重庆·期末）已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是 ． 【变式3】（22-23高二上·山西晋城·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程. 题型7：双曲线的综合应用问题 【例题7】（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为 ． 【变式2】．直线与双曲线相交于不同的两点A,B. （1）求实数的取值范围； （2）若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 【变式3】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知双曲线，点，坐标原点. (1)直线经过点A，与的两条渐近线分别交于点.若面积为，求直线的方程； (2)如图，直线交双曲线的右支于不同两点.若，求实数的取值范围. 易错点：忽视斜率不存在的情况致错 【例题1】（24-25高二上·全国·假期作业）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式1】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）过点作直线，使与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式2】（21-22高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点 (1)求双曲线方程； (2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程． 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线，过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的斜率. 一、单选题 1．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知双曲线的实轴长为，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建福州·期末）双曲线的一个顶点为，渐近线方程为，则双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2023高二上·全国·专题练习）以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二·全国·课堂例题）直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D．3 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交于两点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线C：（）的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为1，则（    ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．点在双曲线C上 D．直线与双曲线C恒有两个交点 10．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，则（    ） A．实轴长为2 B．离心率为 C．两渐近线夹角的正切值不存在 D．直线与曲线有且仅有一个公共点，则 11．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（    ） A．若且，则双曲线的两条渐近线的方程是 B．若，则的面积等于 C．若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 D．以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切 三、填空题 12．（23-24高二上·上海·期末）等轴（实轴长等于虚轴长）双曲线C与椭圆有公共的焦点，则双曲线C的方程为 . 13．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 14．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 四、解答题 15．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线方程为，求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、顶点和焦点坐标、离心率及渐近线方程． 17．（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线C：． (1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程． 18．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知双曲线，，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 19．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，其中一条渐近线方程为，且双曲线的虚轴长为2． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点，若以为直径的圆经过双曲线的右焦点，求直线的斜率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲双曲线的简单几何性质 （3个知识点+3个要点+7种题型+1个易错点+过关检测） 知识点1：双曲线的几何性质 1.范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R， 所以x≥a 或x≤－a; y∈R. 2．对称性 －＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称． x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． 3．顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点． 顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个． (2)如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长． (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线． 方程为x2－y2＝m(m≠0)． 4．渐近线 双曲线在第一象限内部分的方程为y＝·， 它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方． 它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近． (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x. (2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图． 5．离心率 (1)定义：e＝. (2)e的范围：e>1. (3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄． 知识点2：双曲线的两种标准方程的几何性质比较 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 注意点： (1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大． (2)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x. (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置． (4)焦点到渐近线的距离为b. 知识点3：直线与双曲线的位置关系 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个切点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点． 注意点： 直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 要点1：求双曲线方程的巧设方法 巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． ②渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 要点2：等轴双曲线与共轭双曲线 两类特殊的双曲线 等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线 性质：①渐近线方程为y=±x，它们互相垂直，并且平分以双曲线的实轴和虚轴所成的角；②a=b，离心率e= 共轭双曲线 定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线 性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆； ③它们的离心率的倒数的平方和等于1 要点3：椭圆、双曲线几何性质的统一性 1.双曲线的通径 双曲线的通径：过双曲线的焦点作垂直于实轴的直线，该直线被双曲线截得的弦叫作通径，其长度为. 2. 椭圆双曲线几何性质的统一性 3. 椭圆双曲线的统一定义 题型1：根据双曲线的方程研究其几何性质 【例题1】（多选）（23-24高二上·四川自贡·期末）已知双曲线，则双曲线（    ） A．焦点坐标为和 B．渐近线方程为和 C．离心率为 D．与直线有且仅有一个公共点 【答案】CD 【分析】A：计算出的值，则焦点坐标可知；B：求出的值，则渐近线方程可知；C：根据可知离心率；D：分析直线与渐近线的关系可知结果. 【详解】A：因为，所以，所以焦点坐标为，故A错误； B：因为，所以渐近线方程为，即，故B错误； C：因为，所以，故C正确； D：因为与渐近线平行，所以与双曲线有且仅有一个交点，故D正确； 故选：CD. 【变式1】（24-25高二上·上海·随堂练习）双曲线的焦点坐标为 ；顶点坐标为 ；实轴长为 ；虚轴长为 ；渐近线方程为 ；离心率为 ． 【答案】 2 6 【分析】根据双曲线的方程，求得的值，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由题意，双曲线，可得，，则， 所以双曲线的焦点坐标为，顶点坐标为， 实轴长为2，虚轴长为6，渐近线方程为，离心率为， 故答案为：，，2，6，，. 【变式2】（21-22高二·江苏·课后作业）求双曲线x2－8y2＝32的实半轴长和虚半轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 【答案】实半轴长为，虚半轴长为2，顶点坐标为，焦点坐标为(±6, 0)，离心率e＝，渐近线方程为. 【分析】根据双曲线方程，求出，即可求解. 【详解】将方程化为，从而， b＝2， 所以， 从而实半轴长为，虚半轴长为2，顶点坐标为，焦点坐标为(±6, 0)，离心率，渐近线方程为. 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）分别写出下列双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程． (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）先将双曲线方程化为标准方程，再根据双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程的定义分别求解即可； （2）根据双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程的定义分别求解即可. 【详解】（1）将双曲线方程化为标准方程得， 则，故， 所以实半轴长为，虚半轴长为，焦点坐标为， 顶点坐标为，渐近线方程为； （2）由，得， 则， 所以实半轴长为，虚半轴长为，焦点坐标为， 顶点坐标为，渐近线方程为. 题型2：利用双曲线的几何性质求其标准方程 【例题2】（23-24高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的标准方程为，根据题意求出、的值，由此可得出双曲线的标准方程. 【详解】由题，设双曲线的标准方程为，则，可得， 又因为双曲线的两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则， 因此，双曲线的标准方程为. 故选：A. 【变式1】（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线的实轴长为，离心率为2，则双曲线的标准方程为 【答案】 【分析】由题意列出关于a、b、c的方程组，即可计算出双曲线标准方程. 【详解】由题得. 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·江西赣州·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为10，离心率是； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据双曲线焦距、离心率，结合双曲线的性质即可求的双曲线方程； （2）根据双曲线的顶点或焦点位置、结合双曲线的性质即可求双曲线方程. 【详解】（1）依题意，可设双曲线的标准方程为， 则，解之可得， 则双曲线的方程为； （2）依题意，双曲线的焦点在轴上，设其标准方程为， 则，解之可得， 则双曲线的标准方程为． 【变式3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，两顶点间的距离是8，离心率： (2)渐近线方程是，虚轴长为4． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先判断焦点在轴，再根据双曲线的性质即可求解； （2）根据双曲线的性质，分焦点在轴或焦点在轴两种情况，计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，双曲线焦点在轴上，设标准方程为, ，解得，则， 所以双曲线的标准方程为． （2）当双曲线焦点在轴上时，设标准方程为，由题意知， ，解得， 所以双曲线的标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设标准方程为，由题意知， ，解得， 所以双曲线的标准方程为； 综上所述，双曲线的标准方程为或． 题型3：求双曲线离心率的值或取值范围 【例题3】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合双曲线的渐近线求离心率的取值范围. 【详解】由题意：的斜率要小于双曲线渐近线的斜率， 所以. 故选:：D 【变式1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意利用点差法可得，设双曲线的方程为，结合渐近线可得，即可得离心率. 【详解】设，则，且， 因为，两式相减可得， 整理可得，即，可得， 即双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与交于两点，与的渐近线交于两点，若，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据焦点坐标可分别求得，，再由可得，可求出离心率. 【详解】易知右焦点坐标为， 将代入，得，则， 将代入渐近线方程得，则， 由于，故， 即，即， 则，解得． 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·新疆喀什·期末）求双曲线C：的焦点坐标、实轴长、虚轴长、渐近线方程和离心率． 【答案】答案见解析 【分析】根据双曲线的标准方程可得结果. 【详解】由标准方程知焦点在x轴上，且， 所以，故焦点坐标，实轴长， 虚轴长，渐近线方程，离心率， 故双曲线的焦点坐标，实轴长，虚轴长，渐近线方程，离心率. 题型4：与双曲线渐近线相关的问题 【例题4】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知为双曲线的一个焦点，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由关系列方程得参数的值，由此即可得解. 【详解】由题意得，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 【变式1】（22-23高二上·河北邢台·期末）双曲线的一条渐近线方程为分别为该双曲线的左、右焦点，点为双曲线上的一点，则的最小值为（    ） A．38 B．22 C．10 D．8 【答案】C 【分析】根据双曲线方程的渐近线求出，根据的关系可求出，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由一条渐近线方程为得，. 由双曲线定义可知，， 要使的值最小，则应尽可能大，应尽可能小， 故点M应为双曲线右支上一点，故，即. 故， 当且仅当即时等号成立， 此时，故可以取到等号取得最小值为10. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知双曲线与椭圆的焦距相等，且其中一个顶点坐标为，则的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】利用给定条件和椭圆中基本量的关系求出双曲线中基本量的关系，再得到渐近线方程即可. 【详解】在中，，所以， 因为双曲线与椭圆的焦距相等， 所以在双曲线中，， 因为其中一个顶点坐标为，所以， 故，所以的渐近线方程为. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知双曲线的离心率为，求该双曲线的渐近线方程. 【答案】 【分析】通过离心率可得的值，通过的关系可得的值，进而可得渐近线方程. 【详解】根据题意，双曲线的离心率为，所以，所以， 由，得，所以双曲线方程为， 因此该双曲线的渐近线为. 故答案为：. 题型5：直线与双曲线的位置关系 【例题5】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线与双曲线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据已知直线和渐近线平行即可得答案. 【详解】由题知，双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线的一条渐近线平行， 由图可知，直线l与双曲线有且只有一个交点. 故选：B    【变式1】（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【分析】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 【变式2】（21-22高二上·重庆巴南·阶段练习）已知双曲线的方程为，直线. (1)求双曲线的渐近线方程、离心率； (2)若直线与双曲线仅有一个公共点，求实数的值. 【答案】(1)渐近线方程为和，离心率为 (2)或 【分析】（1）利用双曲线方程，直接求解渐近线方程，依题意可得、，根据，求出，即可求出离心率． （2）联立直线与双曲线方程，消元整理，再分二次项系数为零与二次项系数不为零两种情况讨论，分别求出． 【详解】（1）解：由，得渐近线方程，即双曲线的渐近线方程为和，∵，，∴，，，所以离心率． （2）把：代入双曲线得 ①当即时，直线与渐近线平行，相交于一点 ②当时，则由，得且，直线与双曲线相切于一点，解得： 综上：或 【变式3】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程； （2）联立方程组，得，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果. 【详解】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为， 设双曲线的方程（，）， 由已知得，，所以，. 所以双曲线方程为. （2）直线与双曲线C交于A，B两点，且， 联立方程组，得， 当时，设， ，. 所以 令，解得. 经检验符合题意，所以. 题型6：中点弦问题 【例题6】（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案. 【详解】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D 【变式1】（23-24高二上·重庆·期末）已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用点差法求解. 【详解】解：因为双曲线与直线相交于A、B两点， 且弦的中点M的横坐标为1，则纵坐标为3， 设 ，则， 两式相减得 ，则 ， 解得 ，即 ， 所以双曲线C的渐近线方程为， 故选：A 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是 ． 【答案】(或). 【分析】设直线为联立双曲线，根据交点情况有求m范围，再应用韦达定理求出弦的中点坐标，进而确定其轨迹方程，注意范围. 【详解】设直线为，与双曲线交点为， 联立双曲线可得：，则，即或， 所以，故，则弦中点为， 所以弦的中点的轨迹方程为(或). 故答案为：(或) 【变式3】（22-23高二上·山西晋城·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)，或或. 【分析】（1）根据题意得，进而解方程即可得答案； （2）由题知，进而先讨论直线的斜率不存在不满足条件，再讨论的斜率存在，设方程为，设，进而与双曲线方程联立得线段中点为，再结合题意得，进而再分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：因为双曲线的渐近线方程为，且过点， 所以，，解得 所以，双曲线的标准方程为 （2）解：由（1）知双曲线的右焦点为， 当直线的斜率不存在时，方程为，此时， ， 所以，直线的斜率存在，设方程为， 所以，联立方程得 所以，且， 所以， 设， 则 所以， 所以，线段中点为， 因为， 所以，点在线段的中垂线上， 所以， 所以，当时，线段中点为，此时直线的方程为，满足题意； 当时，， 所以，，整理得，解得或，满足. 综上，直线的方程为，或或. 题型7：双曲线的综合应用问题 【例题7】（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数的取值范围. 【详解】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为 ． 【答案】 【分析】记的面积为，由面积为面积的两倍可得，由直线与双曲线的渐近线交于两点，联立方程组消去可得，而利用韦达定理和弦长公式求得值，最后利用的取值范围求得取值范围. 【详解】由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点，与双曲线的右支交于两点. 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 又，则，所以. 故答案为： 【变式2】．直线与双曲线相交于不同的两点A,B. （1）求实数的取值范围； （2）若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由直线与双曲线，消去，利用判别式大于零得不等式，解出即可； （2）以线段为直径的圆经过坐标原点转化为，即，整理后代入根与系数关系求解实数的值． 【详解】解：（1）由直线与双曲线， 得， 所以， 解得； （2）以线段为直径的圆经过坐标原点，设， 则，即， ， 即， ， 整理得，符合条件， ∴． 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题． 【变式3】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知双曲线，点，坐标原点. (1)直线经过点A，与的两条渐近线分别交于点.若面积为，求直线的方程； (2)如图，直线交双曲线的右支于不同两点.若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求渐近线方程，进而求点的坐标，可得，结合面积公式运算求解； （2）分析可知线段的中垂线经过A点，设的中点为，利用点差法可得，结合点与双曲线的位置关系运算求解即可. 【详解】（1）对于双曲线，可知，且焦点在x轴上， 则双曲线的渐近线为，且直线的斜率为，倾斜角为， 设， 联立方程，解得，即， 可得， 同理可得， 则解得， 所以直线的方程为. （2）由（1）可知：或， 因为，则线段的中垂线经过A点， 设的中点为， 则，且，， 因为，两式作差得， 整理可得，即，可得， 又因为，则， 联立方程，解得，即， 因为点在双曲线右支上，且在右支的内部， 则，所以.且在上， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 易错点：忽视斜率不存在的情况致错 【例题1】（24-25高二上·全国·假期作业）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】易知直线的斜率存在，设：，联立双曲线方程可得，分类讨论当、时，求出对应的k，即可下结论. 【详解】当直线的斜率不存在时，显然与双曲线没有公共点. 当直线的斜率存在时，设方程为， 与双曲线方程联立， 若即，此时直线和双曲线的公共点只有1个. 当时，；当时，. 当时，， 整理可得，因为，所以有两个不等的实数根， 又不是的根，且此时直线和双曲线的公共点只有1个. 综上可知，直线和双曲线的公共点只有1个时，对应直线有4条. 故选：C. 【变式1】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）过点作直线，使与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】利用直线与双曲线联立组成的方程组仅有一组解，即可求得满足条件的直线共有4条. 【详解】当过点的直线斜率不存在时，其方程为， 直线与双曲线有且仅有一个公共点，满足要求； 当过点的直线斜率存在时，其方程可设为， 由，整理得 当时，方程可化为，方程仅有一根， 直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意； 当时，方程可化为，方程仅有一根， 直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意； 当时，若方程仅有一组解， 则，解之得 此时方程为，整理得，则 此时直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意 综上，满足条件的直线共有4条 故选：D 【变式2】（21-22高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点 (1)求双曲线方程； (2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依题意设所求的双曲线方程为，则，再根据离心率求出，即可求出，从而得到双曲线方程； （2）依题意可得直线的斜率存在，设，即可得到的坐标，依题意可得或，分两种情况分别求出的坐标，再根据的双曲线上，代入曲线方程，即可求出，即可得解； 【详解】（1）解：设所求的双曲线方程为（，），则，， ∴，又则，∴所求的双曲线方程为． （2）解：∵直线l与y轴相交于M且过焦点， ∴l的斜率一定存在，则设．令得， ∵且M、Q、F共线于l，∴或 当时，，，∴， ∵Q在双曲线上，∴，∴， 当时，，代入双曲线可得： ，∴． 综上所求直线l的方程为：或． 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线，过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的斜率. 【答案】或或k不存在 【分析】设直线方程，分斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，与双曲线相切，满足题意，当斜率存在时，设的方程为，与双曲线联立，消得到，转化为方程只有一个根，此时要考虑到二次项系数为和不为两种情况，分别解得的值即可求出结果. 【详解】当直线的斜率不存在时，与双曲线相切，符合题意， 当直线的斜率存在时，设的方程为， 由，消得到， 当，即时， 与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个公共点，满足题意， 当时，由，整理得到，解得， 综上，或或k不存在. 一、单选题 1．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知双曲线的实轴长为，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由实轴长得，由焦点到渐近线的距离为，则可得渐近线方程. 【详解】由双曲线知，焦点在轴上， 设左焦点，其中一条渐近线方程为，即. 由实轴长为得，解得； 由左焦点到渐近线的距离, 则双曲线渐近线方程为. 故选：A. 2．（23-24高二上·福建福州·期末）双曲线的一个顶点为，渐近线方程为，则双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的顶点坐标与渐近线方程求得得双曲线方程. 【详解】由双曲线的一个顶点为得双曲线的焦点在轴，可设双曲线方程为， 则， 因为渐近线方程为，即，所以，所以， 所以所求双曲线的方程为. 故选：B 3．（2023高二上·全国·专题练习）以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定双曲线的焦点和顶点，进而可得双曲线方程. 【详解】椭圆的长轴端点为， 椭圆焦点为， 即双曲线的焦点为，顶点为， 所以双曲线方程为. 故选：A. 4．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）如图，某双曲线笔简的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，该笔筒中间最窄处的直径为得解. 【详解】依题意可得，所以， 所以该笔筒中间最窄处的直径为. 故选：B. 5．（22-23高二·全国·课堂例题）直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】方法一：列方程组求解，方法二：求出双曲线的渐近线进行判断 【详解】方法一：联立直线与双曲线的方程， ，得，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点. 方法二：由，得，所以双曲线的渐近线方程为， 因为直线是双曲线的一条渐近线，因此交点个数为0. 故选：A 6．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据向量关系得出渐近线得倾斜角，再根据渐近线斜率及关系进而得出离心率. 【详解】 由题意可得双曲线的渐近线的方程为. 由 ∵为线段的中点， ∴，则为等腰三角形. ∴, 连接 由双曲线的的渐近线的性质可得 ∴ ∴，即. ∴双曲线的离心率为 所以. 故选：A. 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交于两点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断斜率为0不符合题意，再设直线方程为，联立双曲线方程，由结合韦达定理列出方程，求解即可. 【详解】易知，当直线的斜率为零时，得，不合题意； 当直线的斜率不为零时，设直线的方程为， 联立，得， 设，由得， 而，即，解得，即． 故选：D 8．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线只与双曲线右支相交，②直线与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，可得答案． 【详解】设，令，则， 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点， 如果在同一支上，则有， 如果在两支上，则有， 因为这样的直线有4条， 所以，解得， 故选：B 二、多选题 9．（24-25高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线C：（）的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为1，则（    ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．点在双曲线C上 D．直线与双曲线C恒有两个交点 【答案】AC 【分析】由题意求出，即可求出双曲线方程，可得焦点坐标，判断AB；代入验证可判断C；求出直线所过定点，结合举特值，即可判断D. 【详解】双曲线C上的点到其焦点的最短距离为，离心率，所以， 所以，所以双曲线C的方程为，所以C的焦点坐标为，A正确． 双曲线C的渐近线方程为，B错误． 因为，所以点在双曲线C上，C正确． 直线即，恒过点，即双曲线的右顶点， 当时，直线与双曲线C的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误． 故选：AC 10．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，则（    ） A．实轴长为2 B．离心率为 C．两渐近线夹角的正切值不存在 D．直线与曲线有且仅有一个公共点，则 【答案】ABC 【分析】根据双曲线的方程分别求出实轴长、离心率、渐近线即可判断ABC；联立直线与双曲线的方程，根据方程根的情况求解即可判断D. 【详解】由双曲线可得， 所以实轴长为，故A对； 离心率为，故B对； 令，可得渐近线方程为和，斜率分别为1和-1， 所以斜率之积为-1，所以两直线垂直，其夹角为，故两渐近线夹角的正切值不存在，故C对； 把直线代入双曲线中，消y，得, 当时，即时，直线与双曲线相交有一个交点， 当，时，即，解得，直线与双曲线相切，有一个交点， 所以直线与曲线有且仅有一个公共点，则或，故D错； 故选：ABC 11．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是（    ） A．若且，则双曲线的两条渐近线的方程是 B．若，则的面积等于 C．若点的坐标为，则双曲线的离心率大于3 D．以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切 【答案】BCD 【分析】将且，带入方程求解渐近线方程即可判断A；，结合双曲线的定义求解即可判断B；把点坐标代入的方程，然后计算离心率的取值范围即可判断C；画图，两圆的圆心距是的中位线，两圆的半径之和，故两圆外切，即可判断D. 【详解】当且时，的渐近线斜率为，选项A错误； ，故选项B正确； 把点坐标代入的方程得： ，选项C正确； 如图，两圆的圆心距是的中位线， 两圆的半径之和，故两圆外切，选项D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（23-24高二上·上海·期末）等轴（实轴长等于虚轴长）双曲线C与椭圆有公共的焦点，则双曲线C的方程为 . 【答案】 【分析】先由椭圆方程求出半焦距，判断出焦点位置，再设出双曲线方程，利用题设列出方程求解即得. 【详解】由可得其半焦距，且椭圆焦点在轴上，故可设与之有公共焦点的等轴双曲线C的方程为， 依题意，，解得，故双曲线C的方程为. 故答案为：. 13．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 【答案】 【分析】联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可 【详解】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为； 由，消去整理得． 当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行， 此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； 当即时，由，无实数解， 综上所述：符合题意的取值为， 故答案为：. 14．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出到渐近线的距离，求出，根据求出的取值范围. 【详解】 设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点， 则到渐近线的距离， 所以，因为， 所以，所以， 所以，所以，因为， 所以双曲线的离心率的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)23 【分析】（1）利用点到直线的距离公式列和离心率列方程求，即可得到双曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【详解】（1）由题意知，解得， 则， 所以双曲线的方程为. （2）记双曲线的左焦点为，则， 可得， 当三点共线时，最小， 且最小值为.故的最小值为. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线方程为，求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、顶点和焦点坐标、离心率及渐近线方程． 【答案】答案见解析 【分析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】解：双曲线的方程可化为， 可得，所以，可得， 所以实轴长为，虚轴长为，焦距为， 顶点坐标为，焦点坐标为， 离心率，渐近线方程为． 17．（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线C：． (1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与双曲线相交的性质求解； （2）由点差法求解直线方程． 【详解】（1）双曲线C的渐近线方程为，要使直线与双曲线C有公共点，则有，即实数k的取值范围为． （2）设点，．∵点恰好为线段AB的中点， ∴，． 由，两式相减可得， ， 即，∴， ∴直线l的斜率， ∴直线l的方程为， 即． 18．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知双曲线，，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据直线过点，写出点斜式，当直线与渐近线平行时，与双曲线有且只有一个交点，当直线与渐近线不平行时，联立直线与双曲线，根据判别式可得斜率的值； （2）根据双曲线的定义及三角形余弦定理与面积公式可得解. 【详解】（1）当时，， 则直线的方程为， 又双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点； 当时， 联立方程组， 得， ， 解得； 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； （2）由双曲线， 则，，， 又点在双曲线上，即，即， 在中， 由余弦定理， 即， 解得， 所以的面积. 19．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，其中一条渐近线方程为，且双曲线的虚轴长为2． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点，若以为直径的圆经过双曲线的右焦点，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程和虚轴的定义求出a、b，即可求解； （2）易知直线的斜率存在，设，设，联立双曲线方程，由得，利用韦达定理表示，由和向量的坐标表示建立关于k的方程，解之即可. 【详解】（1）双曲线的一条渐近线方程为， ，又，可得， 双曲线的方程为． （2）由题知直线的斜率存在，设， 代入双曲线方程得， 直线与双曲线的右支交于不同的两点，设， 解得， 以为直径的圆经过双曲线的右焦点， ，即， ， 整理得， ，解得或， ， 直线的斜率为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$