第13讲 圆与圆的位置关系（2个知识点+2个要点+4种题型+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修一）

第13讲 圆与圆的位置关系（2个知识点+2个要点+4种题型+过关检测） 知识点1：圆与圆的位置关系 1．代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 3.注意点： 利用代数法判断两圆位置关系时，当方程组无解或有一组解时，无法判断两圆的位置关系，应优先使用几何法． 4.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离d； (3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． 知识点2：圆与圆的公共弦 1．两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 2．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 4.求两圆的相交弦的垂直平分线的方程：经过两圆的圆心的直线方程． 要点1：圆与圆的公切线 1．公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4 3 2 1 0 2．公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离d=r求解. 3.处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)． 要点2：圆系方程 一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程． 题型1：判断两圆的位置关系 【例题1】（23-24高二上·广西桂林·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．外切 B．内含 C．相交 D．外离 【变式1】（23-24高二上·天津宁河·期末）圆：与圆：的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．内切 D．内含 【变式2】（24-25高二上·江苏南通）圆与圆的位置关系为 . 【变式3】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆：与圆：. (1)判断圆与圆的位置关系； (2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程. 题型2：两圆相切问题 【例题2】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）若圆：与圆：内切，则（ ） A．29 B．9 C． D．19 【变式1】（23-24高二上·江苏南京·期末）设a为正实数，若圆与圆相外切，则a的值为（    ） A．4 B．6 C．24 D．26 【变式2】（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知圆与圆外切，则实数 ． 【变式3】（20-21高二上·吉林白城·期中）已知两圆和. （1）取何值时两圆外切？ （2）取何值时两圆内切？ 题型3：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长 【例题3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆与圆交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·天津南开·期中）已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆与圆的公共弦长为，则圆的方程为 ． 【变式3】（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆与相交于A、B两点， (1)求的长； (2)求圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程. 题型4：圆与圆的位置关系的应用 【例题4】（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ） A． B．1 C． D．0 【变式1】（23-24高二上·广西玉林·期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 【变式2】（22-23高二上·宁夏银川·阶段练习）若圆与圆有且仅有一条公切线， . 【变式3】（23-24高二上·天津红桥·期中）已知两圆和. (1)分析两圆位置关系并确定公切线数量； (2)求公切线所在直线方程. 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）两圆与的公切线有（    ）条 A．1 B．2 C．3 D．0 2．（23-24高二上·山西大同·期末）设圆，圆，则是两圆相切的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高二上·山东潍坊·期末）若圆与圆相交，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川成都·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 5．（2023高二上·江苏·专题练习）圆与圆的公共点个数为（　 ） A．0 B．3 C．2 D．1 6．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 7．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知圆，圆，则圆与的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 8．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（21-22高二·全国·期中）半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2+(y－3)2=1内切，则此圆的方程为(    ) A．(x－4)2+(y－6)2=6 B．(x+4)2+(y－6)2=6 C．(x－4)2+(y－6)2=36 D．(x+4)2+(y－6)2=36 10．（22-23高二上·吉林·阶段练习）已知，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C与圆 的公共弦所在直线方程为 D．圆与圆C相交 11．（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．过点作圆的切线，则切线方程为 B．已知，为坐标原点，点是圆外一点，则直线与圆相交 C．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为 D．若圆：（）上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 三、填空题 12．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 13．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知圆与圆外离，则实数a的取值范围为 . 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆与圆相交，则相交弦的长为 . 四、解答题 15．（23-24高二上·新疆和田·期末）已知圆：及圆：. (1)判断两圆的位置关系； (2)求出两圆的公共弦长． 16．（22-23高二上·浙江·期中）已知圆，圆． (1)求两圆的公共弦长； (2)求两圆的公切线方程． 17．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）已知圆心为的圆与直线相切. (1)求圆的标准方程; (2)若圆与圆相交于两点，求直线的方程及弦长度. 18．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知圆：和圆：. (1)若直线过点，且被圆截得的弦长为4，求的方程： (2)求圆与圆的公共弦的长. 19．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）①圆心在直线：上，圆过点；②圆过直线：和圆的交点：在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解． 已知圆经过点，且________． (1)求圆的标准方程； (2)已知点，求过点的圆的切线方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 圆与圆的位置关系（2个知识点+2个要点+4种题型+过关检测） 知识点1：圆与圆的位置关系 1．代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 3.注意点： 利用代数法判断两圆位置关系时，当方程组无解或有一组解时，无法判断两圆的位置关系，应优先使用几何法． 4.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离d； (3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． 知识点2：圆与圆的公共弦 1．两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 2．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 4.求两圆的相交弦的垂直平分线的方程：经过两圆的圆心的直线方程． 要点1：圆与圆的公切线 1．公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4 3 2 1 0 2．公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离d=r求解. 3.处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)． 要点2：圆系方程 一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程． 题型1：判断两圆的位置关系 【例题1】（23-24高二上·广西桂林·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．外切 B．内含 C．相交 D．外离 【答案】C 【分析】求出两圆圆心距，结合圆与圆的位置关系可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 则，则，故两圆相交. 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·天津宁河·期末）圆：与圆：的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．内切 D．内含 【答案】A 【分析】由圆的方程确定圆心和半径，比较圆心距和半径和差的大小即可判断. 【详解】由题设，，则， 所以两圆相交. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·江苏南通）圆与圆的位置关系为 . 【答案】外离 【分析】由圆和圆的方程求两圆的圆心坐标及半径，再求圆心距，比较与半径和，半径差的绝对值的大小，可得结论. 【详解】设圆的半径为，圆的半径为，则 圆的圆心的坐标为，半径为， 圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，，， 所以， 所以圆和圆外离. 故答案为：外离. 【变式3】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆：与圆：. (1)判断圆与圆的位置关系； (2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程. 【答案】(1)相交 (2) 【分析】（1）首先求解两圆的圆心距，利用两圆的位置关系的公式，即可判断； （2）两圆相减，即可求解两圆公共弦所在的直线方程. 【详解】（1）圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 圆心距， 因为，所以两圆相交； （2）两圆相减，， 化简为：， 所以两圆的公共弦所以的直线方程为. 题型2：两圆相切问题 【例题2】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）若圆：与圆：内切，则（ ） A．29 B．9 C． D．19 【答案】C 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解. 【详解】由圆：，可得圆心，半径； 圆：可化为， 可得圆心，半径， 所以， 由圆圆内切，所以，即， 解得：. 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·江苏南京·期末）设a为正实数，若圆与圆相外切，则a的值为（    ） A．4 B．6 C．24 D．26 【答案】B 【分析】根据题意，分析两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】结合题意：圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以圆心距为，而， 因为两圆相外切，所以，即. 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知圆与圆外切，则实数 ． 【答案】/ 【分析】根据两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和，列式求解即可. 【详解】由题意得圆的圆心为， 由于圆与圆外切， 故，解得， 故答案为： 【变式3】（20-21高二上·吉林白城·期中）已知两圆和. （1）取何值时两圆外切？ （2）取何值时两圆内切？ 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）两圆位置关系外切，则圆心距等于半径之和； （2）两圆位置关系内切，则圆心距等于半径之差. 【详解】解：两圆的标准方程为：，， 圆心分别为，，半径分别为和，圆心距. （1）当两圆外切时，圆心距，即， 解得； （2）当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故为小圆，即，，解得. 题型3：两圆相交的公共弦所在直线的方程及弦长 【例题3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆与圆交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程作差可得相交弦所在直线方程，利用垂径定理可求得结果. 【详解】两圆方程作差可得直线的方程为：，即； 由圆方程可得其圆心，半径， 到直线的距离，. 故选：B. 【变式1】（23-24高二上·天津南开·期中）已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆相减得到公共弦所在直线方程. 【详解】圆与圆相减得 ，化简为， 两圆的公共弦所在直线方程为. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆与圆的公共弦长为，则圆的方程为 ． 【答案】 【分析】两圆方程相减可得公共弦方程，根据弦长结合垂径定理解得，即可得方程. 【详解】由题意可得：圆，且圆心，半径为， 因为公共弦长为，则圆心到公共弦的距离为， 圆与圆两圆方程相减可得，， 即公共弦方程为， 则圆心到公共弦的距离为，解得（正值舍去）， 所以圆的方程为． 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆与相交于A、B两点， (1)求的长； (2)求圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先两圆方程相减得公共弦方程，结合点到直线的距离公式，弦长公式即可求解. （2）联立两圆方程求出A、B两点坐标，得出中垂线方程，联立直线方程得圆心坐标，由两点之间距离公式得半径，由此即可得解. 【详解】（1）两圆方程相减得即， 圆的圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，由垂径定理得. （2）由得或，不妨设，， 的垂直平分线为，由得圆心坐标为，半径长为， 所以圆的方程为. 题型4：圆与圆的位置关系的应用 【例题4】（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】公切线的条数确定两圆的位置关系，进而得到圆心距和两圆的半径之间的关系，计算即可. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 又两圆有且仅有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，所以，即，解得． 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·广西玉林·期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆公共弦所在直线的方程为 B．圆与圆有两条公切线 C．是圆与圆的一条公切线 D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2 【答案】C 【分析】根据两圆圆心距离等于半径和即可得两圆外切判断AB，根据直线与两圆都相切判断C，根据圆心到直线距离等于半径判断D. 【详解】由条件可得：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 因为，所以圆与圆外切，选项A，B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离； 圆心为到直线的距离， 所以是圆与圆的一条公切线，选项C正确； 对于选项D，圆心到直线的距离， 所以圆：上有且仅有一点到直线的距离为2，选项D错误.    故选：C 【变式2】（22-23高二上·宁夏银川·阶段练习）若圆与圆有且仅有一条公切线， . 【答案】 【分析】根据两圆的位置关系先确定两圆内切，再由圆心距计算即可. 【详解】由， 显然， 又只有一条公切线，所以相内切， 将点坐标代入圆方程知，即在圆外部， 所以圆内切于圆， 则有， 解之得. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·天津红桥·期中）已知两圆和. (1)分析两圆位置关系并确定公切线数量； (2)求公切线所在直线方程. 【答案】(1)两圆内切，只有一条公切线 (2) 【分析】（1）通过两个圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断两个圆的位置关系，进而判断两个圆的公切线条数 （2）由（1）可知两个圆是内切关系，进而将两个圆直接作差即可得到两个圆的公切线 【详解】（1），圆心，半径； ，圆心，半径， ， 所以两圆内切，只有一条公切线. （2）与 ， 两圆方程相减得：，化简即为：， 所以两圆公切线直线方程：. 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）两圆与的公切线有（    ）条 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】先判断出两圆外切，从而得到公切线条数. 【详解】的圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 则圆心距，故两圆外切， 故公切线有3条. 故选：C 2．（23-24高二上·山西大同·期末）设圆，圆，则是两圆相切的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先根据两圆相切求出，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由题可得圆的圆心坐标为，半径为2， 圆的圆心坐标为，半径为， 故圆心距， 因为两圆相切可分为外切和内切， 当两圆外切时，圆心距，解得； 当两圆内切时，圆心距，解得，或（舍去）， 所以是两圆相切的充分不必要条件. 故选：B． 3．（23-24高二上·山东潍坊·期末）若圆与圆相交，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆心距离与两圆半径关系求解． 【详解】由已知，，两圆半径分别为，， 而两圆相交，则，解得． 故选：D． 4．（23-24高二上·四川成都·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 【答案】C 【分析】由两圆圆心距与半径和差的关系可得. 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径； 则，则， 故两圆外切. 故选：C. 5．（2023高二上·江苏·专题练习）圆与圆的公共点个数为（　 ） A．0 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由圆心距离及半径关系可得两圆外切，即可得公共点个数. 【详解】因为圆，其圆心为，半径为1， 圆A的圆心为，半径为1，所以圆心距为， 半径之和为，所以两圆外切，只有一个公共点. 故选：D. 6．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 【答案】B 【分析】根据两圆外切求圆的半径，即可求解. 【详解】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆的半径为， 因为两圆相外切，则，得， 所以圆的方程为. 故选：B 7．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知圆，圆，则圆与的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程求出两圆圆心和半径，比较圆心距与两半径之差、之和的关系即可得出结论. 【详解】根据题意将圆化为标准方程可得，即圆心，半径. 将圆化为标准方程可得，即圆心，半径. 此时圆心距为, 显然，即两圆相交. 故选：D. 8．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得当点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小，求出点的坐标，以为直径的圆的方程，两圆相减得到直线的方程. 【详解】 由圆的方程为可知圆心，半径，点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小， 所以，，所以直线的方程为， 联立，解得， 以为直径，以中点为圆心的圆方程为， 两圆方程相减可得直线的方程， 故选：D 二、多选题 9．（21-22高二·全国·期中）半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2+(y－3)2=1内切，则此圆的方程为(    ) A．(x－4)2+(y－6)2=6 B．(x+4)2+(y－6)2=6 C．(x－4)2+(y－6)2=36 D．(x+4)2+(y－6)2=36 【答案】CD 【分析】设圆心坐标为(a，6)，由两圆内切的条件(圆心距等于半径的差的绝对值)列方程求解． 【详解】由题意设圆心坐标为(a，6)，∵所求圆与圆x2+(y－3)2=1内切，∴=5，解得a=±4，故所求圆的方程为(x±4)2+(y－6)2=36. 故选：CD． 10．（22-23高二上·吉林·阶段练习）已知，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C与圆 的公共弦所在直线方程为 D．圆与圆C相交 【答案】ACD 【分析】对于A，化简得圆的标准方程可知圆心和半径；对于B，将点代入圆的标准方程即可判断；对于C，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程；对于D，根据圆心距和两圆半径之间关系即可判断. 【详解】对于A，圆的标准方程为，所以半径，故A正确； 对于B，将点代入圆的标准方程中得， 所以点在圆的外部，故B错误； 对于C，由两圆方程相减得， 则公共弦所在直线方程为，故C正确； 对于D，圆的圆心为，半径为，所以两圆与的圆心距为，小于两圆半径之和且大于两圆半径只差，即，故两圆相交，故D正确. 故选：ACD. 11．（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．过点作圆的切线，则切线方程为 B．已知，为坐标原点，点是圆外一点，则直线与圆相交 C．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为 D．若圆：（）上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】对于A，分过点的直线斜率不存在与存在两种情况求解即可判断；对于B，根据点在圆外得到不等关系，利于圆心到直线的距离与半径的关系进行判断即可；对于C，根据条件建立不等式，解出即可；对于D，问题转化为两个圆相交，列出不等式组，解出即可. 【详解】对于A，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切， 当过点的直线斜率不存在时，设切线方程为，即， 所以，解得，即切线方程为， 综上所述：则切线方程为或，故A错误； 对于B，因为点是圆外一点， 所以，又直线的方程是， 所以圆心到直线的距离，故与圆相交，则B正确； 对于C，即，则其过定点， 由点和，，可得， 直线和以，为端点的线段相交， 则满足或，即或，所以C错误； 对于D，依题可知以为圆心，1为半径的圆与圆相交， 因为圆的圆心为，半径为， 所以，又， 所以，解得，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】由，设圆心为，半径为， 由，设圆心为，半径为1， 设直线l不存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以有，此时直线l的方程为， 当直线l存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以或， 所以此时切线方程为，或，即 ，或， 故答案为： ； 13．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知圆与圆外离，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意表示出两圆的圆心半径，进一步结合两圆外离列出不等式即可求解. 【详解】由题意圆与圆的圆心、半径依次分别为， 因为两圆外离， 所以圆心距满足，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为：. 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆与圆相交，则相交弦的长为 . 【答案】 【分析】运用两圆相交得到相交弦直线方程，再借助垂径定理和勾股定理计算即可. 【详解】设两圆相交弦所在直线为，则直线的方程为， 即到直线的距离，则相交弦的长为. 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高二上·新疆和田·期末）已知圆：及圆：. (1)判断两圆的位置关系； (2)求出两圆的公共弦长． 【答案】(1)两圆相交 (2)2 【分析】（1）由两圆的圆心距，以及两圆的半径之间的大小关系即可得解. （2）两圆方程相减得公共弦所在方程，结合圆心到直线距离、弦长公式即可得解 【详解】（1）由题意圆：，即圆：，它的圆心、半径分别为， 圆：，即圆：，它的圆心、半径分别为， 所以圆心距为，即两圆相交. （2）圆：及圆：的方程相减得， 公共弦所在直线方程为：. 而圆心到直线的距离为，且， 所以两圆的公共弦长为. 16．（22-23高二上·浙江·期中）已知圆，圆． (1)求两圆的公共弦长； (2)求两圆的公切线方程． 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）联立两圆方程可得公共弦直线方程，求出点到的距离，利用半径、到的距离、公共弦长的一半构成的直角三角形可得答案； （2）由图象、方程特征可知一条公切线为：；求出直线与的交点，设另一条公切线的方程为，利用点到此公切线的距离解得，可得答案. 【详解】（1）易知圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 两圆方程、相减可得公共弦直线方程为 ，所以点到的距离为， 所以公共弦长为； （2）因为圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 由图象可知，有一条公切线为：， 直线与的交点为， 设另一条公切线的方程为，也即， 则点到此公切线的距离，解得：， 所以另一条公切线的方程为：， 综上，两圆的公切线方程为和． 17．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）已知圆心为的圆与直线相切. (1)求圆的标准方程; (2)若圆与圆相交于两点，求直线的方程及弦长度. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）直线与圆C相切，可得直线l到点C的距离等于圆C的半径，用距离公式可以求得圆C的半径等于1，最后用圆的标准方程公式得到圆C的标准方程； （2）圆C与圆相交于A，B两点，线段即为两圆的公共弦．将两圆的方程的相减，得到二元一次方程，即为公共弦所在直线的方程，在利用圆的弦长公式求出线段的长度. 【详解】（1）圆与直线相切， 圆心到直线的距离等于圆的半径. 因此半径， 圆的标准方程为. （2）圆与圆相交于两点， 由两式相减得方程:， 直线的方程即为. 圆心到直线的距离为， 所以. 18．（22-23高二上·江苏常州·期中）已知圆：和圆：. (1)若直线过点，且被圆截得的弦长为4，求的方程： (2)求圆与圆的公共弦的长. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求得圆的标准方程，由此求得，再分类讨论直线斜率存在的情况，利用点线距离公式即可求得直线的方程； （2）先由圆心距判断得两圆相交，再由圆的一般方程相减得到公共弦方程，由此利用弦长公式即可求得公共弦长. 【详解】（1）由得，故圆的圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故， 若直线斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线斜率存在，设直线方程为，即， 故，解得，则直线方程为， 所以直线得方程为或. （2）因为圆：，所以圆的圆心为，， 所以，， 故，即圆与圆相交， 联立，两式相减得公共弦方程为， 所以圆心到公共弦的距离为， 又因为，所以公共弦长为. 19．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）①圆心在直线：上，圆过点；②圆过直线：和圆的交点：在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解． 已知圆经过点，且________． (1)求圆的标准方程； (2)已知点，求过点的圆的切线方程． 【答案】(1)选①：；选②： (2)和 【分析】（1）利用圆的定义、直线方程、直线与圆的关系、圆与圆的关系运算即可得解. （2）利用直线与圆的关系、直线方程、点到直线的距离公式运算即可得解. 【详解】（1）解：选①：设圆心，则由题意： ∵圆心在直线：上， ∴………………………（ⅰ） ∵圆过点和， ∴，即， 化简得：…………………（ⅱ） 联立（ⅰ）（ⅱ）解得：， ∴圆心，半径为， ∴圆的标准方程为. 选②：如下图：设直线：和圆的交点为， 连接，则由直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系知直线， 垂足为，连接、.      由题意，圆的圆心为，半径. ∵直线方程为，， ∴直线方程为，故设圆心， 由图知，则， 由解得直线和直线交点， 则， 圆半径， ，， 由得： ，解得：. ∴圆心，半径. ∴圆的标准方程为. （2）解：由（1）知，选①或选②，圆的标准方程均为， 如下图，点在圆外，则 因为圆的圆心到轴距离， 所以，是圆过点的一条切线.    设圆过点的另一条切线斜率为，则其方程为： ，即. 由直线与圆相切知圆心到直线距离为半径，则有 ，解得：， ∴切线方程为，即. 综上知，过点的圆的切线方程为和. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$