平面向量中的最值问题专题练-2025届高考数学一轮复习

平面向量中的最值问题 一、单选题 1．平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（    ） A． B． C． D． 2．点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 3．如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．已知向量满足，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 5．在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 7．在中，是边的中点，是线段的中点．若，的面积为，则取最小值时，则（   ） A．2 B． C．6 D．4 8．已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（    ）    A．7 B．12 C．14 D．16 二、多选题 9．已知向量，，为平面向量，，，，，则（   ） A． B．的最大值为 C． D．若，则的最小值为 10．已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若， D．的最大值为 11．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是（ ） A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为16 12．在中，，点是等边（点与在的两侧）边上的一动点，若，则有（    ） A．当时，点必在线段的中点处 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的范围是 三、填空题 13．如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 . 14．已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为 . 15．在中，，点Q满足，则的最大值为 . 16．在中，，，点D为的中点，点E为的中点，若，则的最大值为 . 17．已知向量、满足：，.设与的夹角为，则的最大值为 . 18．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点P在以的中点O为圆心、为半径的半圆上，若，则下列说法正确的是 ． ①    ②的最大值为 ③最大值为9    ④    四、解答题 19．等边外接圆圆心为，半径为上有点． (1)若为弧中点，求； (2)求最大值． 参考答案： 1．B 由，当在直线上时，， 当圆与的切点在延长线上时，圆落在四边形内部部分与直线没有公共点，此时， 当恰好切于点时，则，又，， 所以，则， 所以，则，故. 2．C 分别取，中点Q，R，连接，， 则由题，，即， 所以， 作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大， 所以 ， 所以的最大值为3. 3．D ， 所以， 所以，即， 解得. . 4．B ， 由于：， ， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以， 所以. 5．D 由，得，即， 所以． 因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）． 设所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD， 则MD⊥BC，，可得，，． 以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系， 可得，圆M的方程为， 设，则，结合， 可得， 因为A点在圆M：上运动， 所以，可得当时，，达到最大值． 综上所述，当时，有最大值． 6．B 由， 设，以为原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的坐标系， 由，得点在以为圆心，以1为半径的圆上， 又非零向量与的夹角为，设的起点为原点，则的终点在不含端点的两条射线上，设，    则的最小值为 ， 表示点到和的距离之和的最小值的倍， 则最小值为， 7．D 在中，由，的面积为，得，则， 由是边的中点，是线段的中点，得， ， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 在中，由余弦定理得：， 所以. 8．C    如图，连接，作，， 易知是的中点，是的中点，由勾股定理得，， 故， 故，当反向时等号成立，故C正确. 9．BCD 对A，设，根据有， 即，为圆心为，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误； 对B， ，则转化为求圆上的点到的距离最大值， 为，故B正确； 对C，，因为，故，故C正确； 对D，因为，故， 又因为，故， ， 故当时，取最小值取最小值，故D正确. 10．ACD 由题意可知，， 对于A，当时，，所以, 即，故，故A正确； 对于B，因为， 所以存在实数，使得，即， 解得，故或，故B错误； 对于C，因为， 所以，解得，故C正确； 对于D，因为， 所以 ，其中， 所以当时，，故D正确. 11．ACD 对于A，如图，过作直径， 由题意， 所以 为定值，故A正确； 对于B，若为中点，连接，则 ， 由题意，则，故B错误； 对于C，若，故， 则， 又，则，同理可得，故， 故C正确； 对于D，因为，则当弦均与重合时， 此时有最大值，为16，故D正确. 12．BCD 如图，过中点作的平行线与的三边有两个交点，所以时，点有两种情况，故A错； 在三角形中由余弦定理得, 解得，则，， ， 以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴建系， ，，，，，，，，， 当点在上时，， 当点在上时，设，， ， 则，，， 所以当时，最大为， 当点在上时，设，， ， 则，，， 当时，最大为， 综上可得，当点在点处时最大为，故B正确； 根据数量积的几何意义可得，当点在点处时最小， 此时，故C正确； 取中点，则， 因为，所以，故D正确. 13． 如图，过作，交于，作，交的延长线于， 则：， 又因为，，则点为中点， 又是的中点，所以，则点在上， 由图形看出，当与重合时：，此时取最小值， 当与重合时：，此时取最大值， 所以的范围是 故答案为： 14．/ 解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形， 设的中点为S，连接，则， 所以， 又为直角三角形，所以，故①， 设，则由①可得， 整理得：， 从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 显然点P在该圆内部，所以， 因为，所以 ； 解法2：如图，因为,所以， 故四边形为矩形，由矩形性质，， 所以，从而， 故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆， 显然点P在该圆内，所以. 故答案为： . 15． 设中点为M，则，则， ， 又 ， 由余弦定理可得： ， 有， 即， 即，当且仅当时，等号成立， 则， 即. 故答案为：. 16． 在中，，，点为的中点，点为的中点， 设，则， 设， 由余弦定理可得， 因为，可得，即，当且仅当时取等号， 又因为，则， 则 ， 即的最大值为． 故答案为：． 17．/ 设，则，设向量、的夹角为， 若，则，可得， 由题意可得，解得， 所以，，， 所以，， 当时，即当时，取得最小值，此时取得最大值， 且. 故答案为：. 18．①③ 对于①，因为，且点P在以的中点O为圆心，为半径的半圆上， 所以，则， 对于④，， 则， 对于③，如图，以点O为原点建立平面直角坐标系， 则， 因为点P在以的中点O为圆心，为半径的半圆上， 所以点P的轨迹方程为，且在x轴的下半部分，    设， 则， 所以， 因为，所以， 所以当时，取得最大值9，故③正确； 对于②，因为，所以， 即， 所以， 所以， 因为，所以当时，取得最大值，故②错误． 故答案为：①③ 19．(1)； (2)． （1）设是的中点，则，且三点共线， 若为弧中点，则四点共线， 由于， 所以三角形和三角形是等边三角形，所以， 所以四边形是菱形，， 所以， 所以. （2）因为， 所以，， ， 所以当同向时，取得最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$