平面向量中的最值问题突破练-2025届高考数学一轮复习

平面向量中的最值问题 一、单选题 1．已知，，且，则的最大值为（    ） A．5.5 B．5 C．6.5 D．6 2．已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知等腰中，，，点P是边上的动点，则（    ） A．为定值10 B．为定值6 C．为变量且有最大值为10 D．为变量且有最小值为6 4．已知向量，，满足，，，则的最小值为（    ） A．－1 B． C．2 D．1 5．在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D． 6．对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 7．已知四边形，，，，与交于点，若记，，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形ABCD中，，若，，，则等于（    ）    A． B． C． D． 9．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．如图，在梯形中，分别在线段上，且线段与线段的长度相等，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为18 C．的最大值为 D．的面积的最大值为 11．已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为6 C． D．满足的点只有一个 12．已知点A、B、P在上，则下列命题中正确的是（    ） A．，则的值是 B．，则的值是 C．，则的范围是 D．，且，则的范围是 三、填空题 13．已知平面向量满足，设，若，则的取值范围为 ． 14．在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 ；若，则的最大值为 ． 15．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为 ． 16．已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段长的取值范围是 ． 17．如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 . 18．已知为单位向量，平面向量，满足，的取值范围是 . 四、解答题 19．如图，在中，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，，，，且，与交于点. (1)求； (2)若点为线段上的任意一点，连接，求的取值范围. 参考答案： 1．A ， 又，当且仅当与同向时取得等号； 故. 2．C 设为圆心，则，因为， 所以，所以， 所以 ， 因为，所以. 3．A 设，因为， 所以, 又， ， 所以， 4．A 由题意设，，， 则，即，且， 解得，或. 由可得 ，即， 则，即的终点在以为圆心，1为半径的圆上, 故. 由圆的对称性，不妨令，即， 如图，连接，交圆于， 由点与圆的位置关系可知，. 5．C 方法一：设的中点为， 则 （当为中点时取等号）. 方法二：建立平面直角坐标系如图所示.设， 因为在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且， 所以，， 所以 ， 所以当时，有最小值1. 6．B 如图所示，过点作，交直线于点， 设，可得. 设，，则， 因为，所以， 由图可知，当与半圆相切时，最大， 又由，，可得， 所以，即最大为，所以的最大值为. 7．C 在中，根据余弦定理有； 在中，根据余弦定理有； 两式作差得 即， 所以. 又，所以，则， 由图易知， 所以， 所以.    8．A 如图所示，由对角线向量定理得 =， 9．D 以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系. 则设， 则 所以 所以当时, 取得最小值为. 10．BCD 如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，设，则， 对于A,B，，故A错误，B正确； 对于C，， 当时，取得最大值，且最大值为，故C正确； 对于D，的面积 ，当时，取得最大值，且最大值为，故D正确． 11．AB 对于A选项，圆半径为2，弦，故为等边三角形， 取的中点，连接，则，所以，A正确； 对于选项，过点作平行于，交圆与点， 过点作，交延长线于点，连接， 则四边形为菱形， 由投影向量可知，当点与点重合时，取得最大值， 此时， 故的最大值为，B正确； 对于C选项，， 因为四边形为菱形，所以，且， 因为为定值， 故当与平行且方向相同时，取得最大值，最大值为， 当与平行且方向相反时，取得最小值，最小值为， 故，C错误； 对于D选项，因为点为圆上任意一点，故当重合时，， 又当时，满足，故满足的点有2个，D错误. 12．BCD 由 当时， ，则A错，B正确； 由 因为，所以的范围是，故C正确； 设方程为， 由得 则，得 所以，故D正确． 13． 设，则，则由条件知， 所以，所以， 又 所以． 故答案为：. 14． ． 在中，，，点为的中点，点为的中点， 由，则， 设， 由余弦定理可得， 因为，可得，即，当且仅当时取等号， 又因为，则， 则 ， 即的最大值为． 故答案为：；． 15． 取中点为， 则 ， 其中易得，故． 故答案为：. 16． 设，，两式相加得， ， ，则 ，即， 所以， 设是的中点，则， 所以， ， ， 所以是以为圆心，半径为的圆， 所以，， ， 所以. 故答案为： 17． 因为,所以, 因为在一条直线上，所以, 所以,当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 18． 】不妨设，，，由已知，得，， ，令 ，则，又显然当，向量反 向时，最小，即，，此时，综上，的取值范围是. 故答案为：. 19．(1)； (2). （1）解：， ， 又，所以，所以， 由得， 所以 . 所以； （2）解：以点C为坐标原点，CB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如下图所示，则 ，，，，，， 又点为线段上的任意一点，设点，且，则，， 所以， 所以当时，取得最大值：， 当或时，取得最小值：， 所以的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$