回归课本之正余弦定理专练-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

正余弦定理 一、单选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了正弦定理，属于基础题． 利用正弦定理替换、、即可． 【解答】 解：由，，所以，则． 故选A． 2.在中，若，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属基础题． 首先利用正弦定理化简表达式，然后利用余弦定理求解． 【解答】 解：由题知，在中，， 由正弦定理可得：，即． 由余弦定理可得：， ，． 故选C． 3.已知，两地间的距离为，，两地间的距离为，现测得，则，两地间的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题． 依题意，利用余弦定理直接求解即可． 【解答】 解：由余弦定理可得： ． 所以． 故答案选D． 二、填空题：本题共8小题，共85分。 4.在中，若，，，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查正弦定理的应用，属于基础题． 运用正弦定理即可得到答案． 【解答】 解：由正弦定理知，得． 故答案为． 5.如图，海岸线上有相距的两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正南方向海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔的北偏西方向，与相距的处乙船位于灯塔的北偏西方向，与相距的处两艘轮船之间的距离为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查解三角形的实际应用，属于基础题． 由题意可得， ，在三角形中，根据余弦定理可得结果． 【解答】 解：连接，由题意可知， ，所以三角形为正三角形，所以，，可得 ， 在三角形中，根据余弦定理可得： ， 可得， 故答案为． 6.在中，已知，判断的形状_______________ 【答案】解：已知， 由余弦定理，得， 则， 则， 整理得， 所以或． 所以为直角三角形或等腰三角形．  【解析】本题考查余弦定理的应用，判断三角形的形状，属于基础题． 利用余弦定理对化简变形即可求解． 7.海上，两个小岛相距，从岛望岛和岛所成的视角为，从岛望岛和岛所成的视角为，求岛和岛之间的距离___________________ 【答案】解：由已知，在中，，，，则由三角形内角和定理知， 由正弦定理可知，代入得 ，即． 即岛和岛之间的距离为．  【解析】本题考查了三角形内角和定理与正弦定理的应用问题，是基础题． 直接利用三角形内角和定理与正弦定理，求得的值即可． 8.在平行四边形中，已知，，，求平行四边形两条对角线的长．______________________ 【答案】解：平行四边形中，已知，，，则有，， 中，由余弦定理可得， 中，由余弦定理．  【解析】本题主要考查平行四边形的性质，余弦定理的应用，属于基础题． 由条件利用平行四边形的性质可得，，中，由余弦定理求得对角线的值；中，由余弦定理求得对角线的值． 9.在中，已知，，，求，________________________ 已知，，，求，___________________________ 【答案】解：，，， 由正弦定理得：， ； ，，， 由正弦定理得：，．  【解析】本题考查正弦定理的应用，属于基础题． 由条件求出，根据正弦定理即可得解． 由条件求出，根据正弦定理即可得解． 10.在中，已知，，，求和_________________________________ 【答案】解：，，， ， 由正弦定理，可得， ．  【解析】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 由已知利用三角形的内角和定理可求的值，根据正弦定理可求的值，进而利用三角形的面积公式即可求解． 11.在中， 已知，，，求，____________________________________ 已知，，，求，_____________________________________________ 已知，，，求最小的内角______________________________________ 【答案】解：按余弦定理： ， ． ， ； 则：， ； 由大边对大角的性质得，角最小； 由余弦定理得，  代入数据得： 所以角．  【解析】本题主要考查余弦定理的应用，考查运算能力，锻炼使用计算器的能力． 根据余弦定理分别进行计算即可． 三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12.本小题分 如图，是的边上的中线，求证：． 【答案】证明：设，则． 在中，由余弦定理，得． 在中，由余弦定理，得． 因为，， 所以， 因此，．  【解析】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题． 设，则在中，由余弦定理，得在中，由余弦定理，得，相加之后可化简出结论进而求得答案． 13.本小题分 在中，是的平分线如图，用正弦定理证明：． 【答案】 证明：设，，则，． 在和中分别运用正弦定理，得 ， ． 又因为，所以 ， 即．  【解析】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基本知识的考查． 分别在中和在中，由正弦定理可得解，由，即可得证． 14.本小题分  外轮除特许外，不得进入离我国海岸线以内的区域，如图，设，是相距的两个观察站，一外轮在点，测得，，问：，满足什么关系时就该向外轮发出警告，令其退出我国海域？ 【答案】解：作垂直于与，如图； 在中，； 在中，； ； 故当时，就该向外轮发出警告，今其退出我国海域．  【解析】本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理及三角恒等变换，属于中档题． 设外轮到我国海岸线的距离海里，先由正弦定理求得，再利用直角三角形的性质可得，根据即可得结果． 15.本小题分 如图，在圆的内接四边形中，，，，求四边形的面积． 如图，设圆的内接四边形的边长分别为，，，，试证明其面积为． 【答案】解：如图： 连接，则有四边形的面积， ． ， ． ． 由余弦定理，在中， ， 在中 ， ， ，，  又， ． 解：如图： 连接，则有四边形的面积， ． ， ． ． 由余弦定理，在中， ， 在中 ， ， ， 整理得， ， 令， 则 即．   【解析】本小题考查三角函数的基础知识以及运用三角形面积公式及余弦定理解三角形的方法，考查运用知识分析问题、解决问题的能力． 首先由已知条件圆内接四边形的边长分别为，，，连接对角线然后由边长求得夹角的度数，再分别求得三角形的面积，再求解即可得到答案． 本题考查三角形面积公式及余弦定理解三角形的方法，考查运用知识分析问题、解决问题的能力． 首先由已知条件圆内接四边形的边长分别为，，，，连接对角线然后由边长求得，再根据三角形的面积，再求解即可得到答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 正余弦定理 一、单选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，若，则(    ) A. B. C. D. 2.在中，若，则等于(    ) A. B. C. D. 3.已知，两地间的距离为，，两地间的距离为，现测得，则，两地间的距离为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，共85分。 4.在中，若，，，则          ． 5.如图，海岸线上有相距的两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正南方向海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔的北偏西方向，与相距的处乙船位于灯塔的北偏西方向，与相距的处两艘轮船之间的距离为          ． 6.在中，已知，判断的形状_______________ 7.海上，两个小岛相距，从岛望岛和岛所成的视角为，从岛望岛和岛所成的视角为，求岛和岛之间的距离___________________ 8.在平行四边形中，已知，，，求平行四边形两条对角线的长．______________________ 9.在中，已知，，，求，________________________ 已知，，，求，___________________________ 10.在中，已知，，，求和_________________________________ 11.在中， 已知，，，求，____________________________________ 已知，，，求，_____________________________________________ 已知，，，求最小的内角______________________________________ 三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12.本小题分 如图，是的边上的中线，求证：． 13.本小题分 在中，是的平分线如图，用正弦定理证明：． 14.本小题分  外轮除特许外，不得进入离我国海岸线以内的区域，如图，设，是相距的两个观察站，一外轮在点，测得，，问：，满足什么关系时就该向外轮发出警告，令其退出我国海域？ 15.本小题分 如图，在圆的内接四边形中，，，，求四边形的面积． 如图，设圆的内接四边形的边长分别为，，，，试证明其面积为． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$