5.2 一元一次方程的解法 课件 2024-2025学年 北师大版数学七年级上册

　 5.2 一元一次方程的解法 　等式的性质 下列等式变形不正确的是 ( ) A. 若a＝b，则a＋10＝b＋10 B. 若a＋10＝b＋1，则a＝b C. 若 ，则3a＝2b D. 若12x＝8y，则3x＝2y B 等式的性质 如果a＝b，那么下列等式不一定成立的是 ( ) A. a＋2＝b＋2　　　　 B. a－1＝b－1 C. 3a＝3b D. a＋c＝b－c D (1)如果x－10＝1，那么x＝1＋____； (2)如果x＝4，那么－3·x＝______. (1)如果m＋n＝7＋2n，那么m＝______；(2)如果3m＝4n，那么－12m＝_____·n. 10 －12 7＋n －16 (BS七上P140例1改编)利用等式的性质解下列方程： (1)x－3＝9； 解：方程的两边都___，得______________. 于是______. (2)－7x＝28. 解：方程的两边都________，得__________. 于是_______. 利用等式的性质解简单的一元一次方程 加3 x－3＋3＝9＋3 x＝12 除以－7 x＝－4 利用等式的性质解下列方程：(1)x＋7＝4； (2) x＝15. 解：方程的两边都减7，得x＋7－7＝4－7.于是x＝－3. 解：方程的两边都乘3，得 x·3＝15×3.于是x＝45. 解：方程的两边都加1，得2x－1＋1＝7＋1. 利用等式的性质解方程，并检验： 2x－1＝7. 化简，得2x＝8. 方程的两边都除以2，得x＝4. 检验：当x＝4时，左边＝2×4－1＝7，右边＝7， 方程左、右两边的值相等， 所以x＝4是方程2x－1＝7的解. (BS七上P140例2改编)利用等式的性质解方程， 并检验：－ x－5＝3. 右边＝3，方程左、右两边的值相等， 解：方程的两边都加5，得－ x－5＋5＝3＋5. 化简，得－ x＝8. 方程的两边都乘－ ，得x＝－12. 检验：当x＝－12时，左边＝－ ×(－12)－5＝3， 所以x＝－12是方程－ x－5＝3的解. 小结：从方程解出未知数的值以后，通常需要代入原方程检验，看这个值能否使方程左、右两边的值相等. 1.下列等式变形不正确的是 ( ) A. 若15x＝5，则3x＝1 B. 若 ，则a＝ C. 若x－3＝y－3，则x＝y D. 若a＝b，则a＋5＝b－5 D 2.运用等式的性质变形： (1)如果x＝y，那么x＋1＝y＋___； (2)如果x－2＝y－2，那么___＝y； (3)如果x＝y，那么3x＝___·y； (4)如果－4x＝12y，那么x＝___·y. 1 x 3 －3 3. (BS七上P141 T1改编)解方程： (1)x－5＝6； (2)0.3x＝4.5. 解：方程的两边都加5，得x－5＋5＝6＋5. 于是x＝11. 于是x＝15. 解：方程的两边都除以0.3，得 . 4. 利用等式的性质解方程，并检验：5x＋3＝0. 解：方程的两边都减3，得5x＋3－3＝0－3. 化简，得5x＝－3. 右边＝0，方程左、右两边的值相等， 方程的两边都除以5，得x＝－ . 检验：当x＝－ 时，左边＝5× ＋3＝0， 所以x＝－ 是方程5x＋3＝0的解. 5. 解方程： (1)－3x＋5＝－4； 解：方程的两边都减5，得－3x＋5－5＝－4－5. 化简，得－3x＝－9. 方程的两边都除以－3，得x＝3. (2)－ x－5＝4. 方程的两边都乘－3，得x＝－27. 解：方程的两边都加5，得－ x－5＋5＝4＋5. 化简，得－ x＝9. 6. (应用意识·核心素养)有一堆实心的几何体：圆锥、正方体和球，已知相同的几何体具有相同的质量. 某同学借助天平探究三种几何体之间的质量关系时，画出了如下四幅图，图中用“△”“□”和“○”分别表示圆锥、正方体和球，其中有一幅图画错了，它是 ( ) D 　解一元一次方程(1)——移项 对下列方程移项： (1)7x－5＝4； (2)3x＋5＝4x＋1. 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项 解：移项，得7x＝4＋5. 解：移项，得3x－4x＝1－5. 一元一次方程2x＝x－9移项后正确的是 ( ) A. 2x＋x＝－9　　　 B. 2x＋x＝9 C. 2x－x＝－9 D. 2x－x＝9 C 总结：移项应注意两个关键点： ①所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在方程的一边交换两 项的位置； ②移项时要变号，不变号不能移项. 步骤：①移项(通常是将含未知数的项移到方程的左边，将常数项移到方程的右边)；②合并同类项；③系数化为1(方程两边同时除以一次项的系数). 解方程——移项 (BS七上P142例3改编)解下列方程： (1)6x－8＝4x； 解：移项，得___________. 合并同类项，得_______. 方程的两边都除以2，得______. 6x－4x＝8 2x＝8 x＝4 (2)x－5＝4x＋7. 解：移项，得_____________. 合并同类项，得__________. 方程的两边都除以－3，得________. x－4x＝7＋5 －3x＝12 x＝－4 (BS七上P142 T1改编)解下列方程： (1) y－6＝ y； 方程的两边都乘－4，得y＝－24. 解：移项，得 y－ y＝6. 合并同类项，得－ y＝6. (2)9－x＝2x＋3. 解：移项，得－x－2x＝3－9. 合并同类项，得－3x＝－6. 方程的两边都除以－3，得x＝2. 解：依题意，得3a＋13＝9＋7a， 若代数式3a＋13与9＋7a的值相等，求(a－2)2 024的值. 移项，得3a－7a＝9－13. 合并同类项，得－4a＝－4. 方程的两边都除以－4，得a＝1. 所以(a－2)2 024＝(1－2)2 024＝1. a为何值时，关于x的方程3x＋a＝0的解比方程4x＋5＝3x＋6的解大2？ 解：4x＋5＝3x＋6. 移项，得4x－3x＝6－5. 合并同类项，得x＝1. 所以方程3x＋a＝0的解为x＝3. 所以9＋a＝0，解得a＝－9. 1. 将方程2x＋3＝5－x移项，正确的是 ( ) A. 2x－x＝5－3　　　 B. 2x－x＝5＋3 C. 2x＋x＝5－3 D. 2x＋x＝5＋3 C 2. 解下列方程： (1)3x－4＝x； (2)3x－5＝4x－1； 解：移项，得3x－x＝4. 合并同类项，得2x＝4. 方程的两边都除以2，得x＝2. 解：移项，得3x－4x＝－1＋5. 合并同类项，得－x＝4. 方程的两边都乘－1，得x＝－4. (3) x－1＝ x. 方程的两边都乘－4，得x＝－4. 解：移项，得 x－ x＝1. 合并同类项，得－ x＝1. 3. 已知关于x的方程2(x＋1)＝3m＋1的解与方程5x＋3＝－7的解互为相反数，求m的值. 解：解方程5x＋3＝－7，得x＝－2， 所以关于x的方程2(x＋1)＝3m＋1的解为x＝2. 把x＝2代入2(x＋1)＝3m＋1， 得2×(2＋1)＝3m＋1，解得m＝ . 4. (BS七上P146 T10)某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运20 kg行李，超出部分每千克按经济舱全票价的1.5%计费. 一名经济舱旅客托运了35 kg行李，行李费连同八折机票共付1 107元，求该旅客机票的全票价. 解：设该旅客机票的全票价为x元. 依题意，得0.8x＋(35－20)×1.5%x＝1 107， 解得x＝1 080. 答：该旅客机票的全票价为1 080元. 5. (创新意识·核心素养)对于有理数a，b，定义一种新运算“※”，规定：a※b＝|a＋b|＋|a－b|. (1)计算：4※(－3)＝___； (2)当a，b在数轴上的位置如图所示时，已知a※b＝3＋b，求b的值. 8 解：(2)依题意，得a※b＝|a＋b|＋|a－b|＝3＋b， 由a，b在数轴上的位置，得 |a＋b|＋|a－b|＝－(a＋b)＋(a－b)＝－a－b＋a－b＝－2b. 所以－2b＝3＋b，解得b＝－1. 　解一元一次方程(2)——去括号 下列去括号的变形中，不正确的是 ( ) A. 2(b－3)＝2b－6　　　　　　　　　 B. －(b－1)＝－b＋1 C. －3(b＋1)＝－3b＋1 D. －2(a－1)＝－2a＋2 去括号 C 步骤：(1)去括号；(2)移项；(3)合并同类项；(4)系数化为1. 解方程——去括号 解下列方程： (1)3(x－2)＝x； 解：去括号，得3x－6＝x. 移项，得3x－x＝6. 合并同类项，得2x＝6. 方程的两边都除以2，得x＝3. (2)2＋2(x－3)＝12－(x＋4). 解：去括号，得2＋2x－6＝12－x－4. 移项，得2x＋x＝12－4－2＋6. 合并同类项，得3x＝12. 方程的两边都除以3，得x＝4. 解下列方程： (1)－(x＋3)＝5x； 解：去括号，得－x－3＝5x. 移项，得－x－5x＝3. 合并同类项，得－6x＝3. 方程的两边都除以－6，得x＝－ . (2)2－3(x＋1)＝－2(x＋1). 解：去括号，得2－3x－3＝－2x－2. 移项，得－3x＋2x＝－2－2＋3. 合并同类项，得－x＝－1. 方程的两边都乘－1，得x＝1. (BS七上P143例6改编) 解方程：－3(x＋3)＝24. 解法一：去括号，得－3x－9＝24. 移项，得－3x＝24＋9. 化简，得－3x＝33. 方程的两边都除以－3，得x＝－11. 解法二：方程的两边都除以－3，得x＋3＝－8. 移项，得x＝－8－3. 化简，得x＝－11. 解：去括号，得－3x－6＋30＝2x＋4. 解方程：－3(x＋2)＋30＝2(x＋2). 移项，得－3x－2x＝4＋6－30. 合并同类项，得－5x＝－20. 方程的两边都除以－5，得x＝4. 解：(1)设A种书卖了x本，则B种书卖了(1 000－x)本. 某学校组织学生举办书籍义卖活动，A、B两种书的单价分别是5元、8元. (1)若两种书共卖了1 000本，得6 650元，则A、B各卖了多少本？ 依题意，得5x＋8(1 000－x)＝6 650， 解得x＝450， 则1 000－450＝550(本). 答：A种书卖了450本，B种书卖了550本. (2)卖1 000本书时可能得5 500元吗？请说明理由. 解：(2)卖1 000本书时不可能得5 500元. 理由如下： 所以卖1 000本书时不可能得5 500元. 令5x＋8(1 000－x)＝5 500，解得x＝833 ， 因为书本的数量应是整数，而833 不是整数， (BS七上P146 T11改编)一个两位数，个位上的数字是2，十位上的数字是x，把2和x对调， 新两位数的2倍比原两位数还小18，求x的值. 解：这个两位数可表示成10x＋2， 依题意，得_______________________， 解得x＝____. 2(2×10＋x)＝10x＋2－18 7 1. 对于方程2(2x－1)－(x－3)＝1，去括号正确的是 ( ) A. 4x－1－x－3＝1 B. 4x－1－x＋3＝1 C. 4x－2－x－3＝1 D. 4x－2－x＋3＝1 D 2. 解一元一次方程：5x－2＝3(x＋2). 解：去括号，得5x－2＝3x＋6. 移项，得5x－3x＝6＋2. 合并同类项，得2x＝8. 方程的两边都除以2，得x＝4. 3. 解方程：2x－(x－1)＝2(x＋1). 解：去括号，得2x－x＋1＝2x＋2. 移项，得2x－x－2x＝2－1. 合并同类项，得－x＝1. 方程的两边都乘－1，得＝－1. 4. 一个长方形的长减少2 cm，宽增加2 cm后，面积保持不变，已知这个长方形的长是6 cm，求它的宽. 解：设它的宽为x cm. 依题意，得(6－2)(x＋2)＝6x， 解得x＝4. 答：它的宽为4 cm. 5. (应用意识·核心素养)一架飞机在两城之间航行，风速为24 km/h，顺风飞行要2小时50分，逆风飞行要3小时，求两城之间的距离. 解：设飞机在无风时的速度为x km/h，则在顺风中的速度为(x＋24)km/h ，在逆风中的速度为(x－24)km/h. 所以两城之间的距离为3×(840－24)＝2 448 (km). 答：两城之间的距离为2 448 km. 依题意，得 (x＋24)＝3(x－24)，解得x＝840. 解一元一次方程(3)——去分母 (1)方程中含未知数项的系数为分数时，根据等式的基本性质，将方程的两边都乘所有分母的____________，使方程中的分母为1，约去分母的过程叫作去分母. (2)去分母的步骤： ①先找出所有分母的____________； ②方程的两边都乘这个____________，约去分母. 去分母的概念及过程 最小公倍数 最小公倍数 最小公倍数 (3)下面方程去分母对不对？若不对，请指出错误并改正. ①将方程 ＝0去分母，得2x－(x－1)＝4；②将方程1＋ 去分母，得1＋2(x－1)＝x；③将方程 去分母，得3x－x－1＝2. 解：①错，方程的两边都乘4时，右边应为0，应为 2x－(x－1)＝0. ②错，方程的两边都乘6时，左边的1漏乘6，应为 6＋2(x－1)＝x. ③错，方程的两边都乘6时，分数前是“－”号，去分母后原来的分子要用括号括起来，应为3x－(x－1)＝2. 步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1. 去分母解方程 解下列方程： (1) ； 解：去分母，得5x＝2(x－3). 去括号，得5x＝2x－6. 移项，得5x－2x＝－6. 合并同类项，得3x＝－6. 方程的两边都除以3，得x＝－2. (2) ＝1. 解：去分母，得3(x－3)－(5x－1)＝6. 去括号，得3x－9－5x＋1＝6. 移项，得3x－5x＝6＋9－1. 合并同类项，得－2x＝14. 方程的两边都除以－2，得x＝－7. 解下列方程： (1) ＝1； 解：去分母，得(x－1)－2(2x＋1)＝6. 去括号，得x－1－4x－2＝6. 移项，得x－4x＝6＋1＋2. 合并同类项，得－3x＝9. 方程的两边都除以－3，得x＝－3. (2) . 解：去分母，得3(2x＋1)－15＝5(x－2). 去括号，得6x＋3－15＝5x－10. 移项，得6x－5x＝－10－3＋15. 合并同类项，得x＝2. 注意：①多个分母找最小公倍数去分母；②去分母时不要漏乘不含分母的项. 《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“用绳子测水井深度，绳长的三分之一比井深多4尺；绳长的四分之一比井深少1尺，问绳长、井深各是多少尺？”若设这个问题中的绳长为x尺，求x的值. 解得x＝60. 解：因为绳长为x尺，则井深为 尺. 依题意，得 ＝4， 有一人问老师，他所教的班级有多少名学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩六名学生正在操场踢足球. ”你知道这个班有多少名学生吗？ 解：设这个班有x名学生. 解得x＝56. 答：这个班有56名学生. 依题意，得 ＋6＝x， 1. 把方程 ＝1去分母，正确的是 ( ) A. 3x－(x－1)＝1　　　 B. 3x－x－1＝6 C. 3x－x－1＝1 D. 3x－(x－1)＝6 D 2. 解下列方程： (1)1－ ； 解：去分母，得12－3(x－1)＝2x. 去括号，得12－3x＋3＝2x. 移项，得－3x－2x＝－12－3. 合并同类项，得－5x＝－15. 方程的两边都除以－5，得x＝3. (2) . 解：去分母，得2(x＋1)－4＝8＋(1－x). 去括号，得2x＋2－4＝8＋1－x. 移项，得2x＋x＝8＋1－2＋4. 合并同类项，得3x＝11. 方程的两边都除以3，得x＝ . 3. 解方程： . 解：去分母，得10(x＋2)－20＝5(2x＋1)－4(x－1). 去括号，得10x＋20－20＝10x＋5－4x＋4. 移项，得10x－10x＋4x＝5＋4－20＋20. 合并同类项，得4x＝9. 方程的两边都除以4，得x＝ . 4. 伦敦大英博物馆保存着一件极其珍贵的文物——莱茵德纸草书. 这是古埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作. 书中记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33.这个数是多少？请你用方程解决这个问题. 解：设这个数是x. 依题意，得 ＋x＝33，解得x＝ . 答：这个数是 . 5. 一列匀速行驶的火车用26秒的时间通过一条长256米的隧道(即从车头进入入口到车尾离开出口)，这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求火车的长度. 解：设火车的长度为x米. 解得x＝160. 答：火车的长度为160米. 依题意，得 ， 一元一次方程的解法综合 1.下列是一元一次方程的是 ( ) A. ＋1＝0　　　　　　 B. 2x－1＝6　　　　　　 C. x＋y＝10　　　　　　 D. x2＋2x＝1 一元一次方程的定义 B 2. 检验x＝5是不是方程2x－1＝x－2的解. 解：当x＝5时， 方程的解 左边＝2×5－1＝9， 右边＝5－2＝3. 因为左边≠右边， 所以x＝5不是此方程的解. 3. 已知a＝b，下列等式不一定成立的是 ( ) A. a＋2＝2b　　　　　 B. a－1＝b－1　　　　　 C. 3a＋1＝3b＋1　　　　 D. A 等式的基本性质 解一元一次方程 一般步骤 依据 注意事项 (1)去分母(方程的两边同时乘所有分母的最小公倍数) ____________________ ①不要漏乘不含分母的项； ②若分子是含未知数的多项式，其作为一个整体应加上______ (2)去括号 去括号法则 ①不要漏乘括号里的项； ②括号前是“－”时，要变号 等式的基本性质 括号 一般步骤 依据 注意事项 (3)移项 等式的基本性质 移项要______ (4)合并同类项 合并同类项法则 ①系数相加； ②字母部分不变 (5)未知数的系数化为1 等式的基本性质 不要颠倒分子与分母 变号 4. 解方程： (1) 3x－2＝5x－6； 解：移项，得3x－5x＝－6＋2. 合并同类项，得－2x＝－4. 方程的两边都除以－2，得x＝2. (2)4(2x－1)－5(x－1)＝10； 解：去括号，得8x－4－5x＋5＝10. 移项，得8x－5x＝10＋4－5. 合并同类项，得3x＝9. 方程的两边都除以3，得x＝3. (3) ＝1； 解：去分母，得4(x－1)－3(x－3)＝12. 去括号，得4x－4－3x＋9＝12. 移项，得4x－3x＝12＋4－9. 合并同类项，得x＝7. (4) . 解：去分母，得2(x－1)－(x＋2)＝3(4－x). 去括号，得2x－2－x－2＝12－3x. 移项，得2x－x＋3x＝12＋2＋2. 合并同类项，得4x＝16. 方程的两边都除以4，得x＝4. 5. 一个梯形的下底比上底多2 cm，高是5 cm，面积是40 cm2，求上底. 解：设上底为x cm，则下底为(x＋2)cm. 一元一次方程的应用 解得x＝7. 答：上底为7 cm. 依题意，得 (x＋x＋2)×5＝40， 6. 某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元. 该店在“6·1”儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元. 求卖出铅笔的支数. 解：设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔(60－x)支. 依题意，得1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87， 解得x＝25. 答：卖出铅笔25支. 7. 某单位计划“国庆”期间组织职工到广州旅游，如果单独租用40座的客车若干辆，那么刚好坐满；如果租用50座的客车可以少租一辆，并且有40个剩余座位. 该单位参加旅游的职工有多少人？ 解：设该单位参加旅游的职工有x人. 解得x＝360. 答：该单位参加旅游的职工有360人. 依题意，得 ＝1， $$