期中考试仿真模拟试卷04-2024-2025学年高三数学上学期期中仿真模拟试卷（新高考地区专用）

期中考试仿真模拟试卷04 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数（为虚数单位）的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】， 复数的虚部是 故选：D 2．已知集合 ​， 则​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】D 【解析】因为集合​， ​， 所以​． 故选：D． 3．如图，平行四边形中，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为四边形为平行四边形，且，， 所以，即①， 又，即②， 由①②得到，又，，所以. 故选：D. 4．已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意，由函数的图象，的定义域为，其图象关于原点对称，为奇函数；在上，函数图象与轴存在交点. 由此分析选项： 对于A，，其定义域为，有， 为偶函数，不符合题意； 对于B，，其定义域为， 有，为奇函数，其图象关于原点对称； 当时，，函数图象与轴存在交点，符合题意； 对于C，，当时，，故恒成立，所以该函数图象在上与轴不存在交点，不符合题意； 对于D，，其定义域为， 有为偶函数，不符合题意. 综上所述，只有选项B的函数满足， 故选：B． 5．已知数列为等比数列，其前项和为，，则“对于任意，”是“公比”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，，则， 所以由对任意，，推不出，故充分性不成立； 若，，则，所以对任意，成立，故必要性成立， 所以对任意，是的必要不充分条件. 故选：B. 6．如图，在正四棱柱中，已知，则四面体的体积是（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】A 【解析】 . 故选：A. 7．已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为 ， 令，则，令，得到， 所以或，令，得到或，令，得到或， 又在上有且仅有两个零点，所以在上有且仅有两个零点， 所以，得到， 故选：B. 8．已知函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 方程有解 C. 是偶函数 D. 是偶函数 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为R， 由，，取，得， 取，得，故A错误． 取，得， 所以，，⋯，， 以上各式相加得， 所以，不是偶函数，故C错误； 令，得，解得或2，故B正确； 因为，所以不是偶函数，故D错误. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】A项，由，得，故A错误； B项，由，得，故B正确； C项，由已知，得，， 则，且， 所以， 则，故C正确； D项， 因为，则， 所以， 即，故D错误. 故选：BC. 10．在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 C. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为[，] D. 当时，的最小值为 【答案】BCD 【解析】对A，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 则，，设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即平面的一个法向量为，若平面，则，即， 由，则，即P为中点时，有平面，且，A错； 对B，因为平面，连接，则即为与平面所成角， 若与平面所成角为，则，所以， 即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B对； 对C，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为， 设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同，于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，C对； 对D，如图，将平面与平面沿展成平面图形， 线段即为的最小值， 利用余弦定理可知， 所以，D对. 故选：BCD 11．以下不等式成立的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ABC 【解析】A选项，令，， 则恒成立，故在上单调递增， 则， 令，， 则，故在上单调递增， 故， 所以，即，A正确； B选项，由A选项知，时，单调递增，单调递减， 则， 所以，即，B正确； C选项，令，， 则， ，，， 又在上恒成立， 故在恒成立， 故在上单调递增， 又，故，即当时，，C正确； D选项，令，，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 其中，， 在上单调递增，在上单调递减， 且，， 画出两函数图象如下： 时，不满足， 存在，使得当时，，即，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知锐角满足，则______ 【答案】 【解析】因为， 所以， 又因为为锐角，则， 而在上单调递减，从而，即. 故答案为： 13．已知函数，若，，且，则的最小值是______ 【答案】8 【解析】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，又，所以函数单调递增， 又，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14.若存在正实数x，使得不等式成立，则a最大值为______． 【答案】 【解析】由， 又，所以. 设，则， 所以在上单调递增. 所以（）. 设（），则， 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 因为存在正实数x，使得不等式成立，所以. 即的最大值为：. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算过程． 15．（13分）已知函数是定义域为R的偶函数． （1）求实数a的值； （2）若对任意，都有成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】（1）由函数是定义域为R的偶函数，得恒成立， 即，整理得，而不恒为0， 所以. （2）由（1）知，，不等式， 依题意，对任意，恒成立，令，当且仅当时取等号， ，函数在上单调递增， 当时，，即当时，，因此， 所以实数k的取值范围是. 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面是正三角形，是棱的中点． （1）证明：； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】（1）证明：分别取与中点，．连接，，，， 则运用中位线性质知且,则， 则四边形是平行四边形． 侧面是正三角形，易知，. 底面是菱形，，则底面是正三角形，则. 平面， 平面， 平面，. 由于四边形是平行四边形．，． （2）由（1）知为二面角的平面角，即，前面知道， 则过O做AD的垂线Oz，以为坐标原点，为坐标轴，建立空间直角坐标系如图， 设，则，，，，，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，进而求得一个法向量为． 设直线与平面所成角为， 则 17．（15分）在中，三个内角所对边分别为,, （1）求证： （2）若是边上的点，且，求的最小值 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）由题意得： 所以, 所以, 又因为 ，所以， 所以，所以， 所以， 由正弦定理可得. （2）由，可得，，设 ， 中，， 在中，， 又因为，所以， 所以， 所以， 又由(1)得，所以， 所以， 所以时，得最小值为48， 所以的最小值为 18．（17分）已知函数． （1）若函数存在一条对称轴，求的值； （2）求函数的单调区间； （3）若函数恰有2个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见详解 （3）或 【解析】（1）因为函数， 所以函数定义域为，且函数存在一条对称轴，故对称轴为， 所以， 即， 所以，故， 当且仅当时上式恒成立，故. （2）由题意， 当时，有且， 所以，故的单调减区间为； 当时，令， 且当时，，当时，， 所以的单调增区间为，单调或区间为. （3）由（2）知，． 所以， 故． 令， 所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以的解为或． 当时，有， 因为， 所以， 故在有一个零点，又因为， 此时有2个零点，满足题意： 当时，有， 因为， 所以， 故在有一个零点，又因为， 此时有2个零点，满足题意； 所以的取值范围为或． 19．（17分）已知整数，数列是递增的整数数列，即且．数列满足，．若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的“左型间隔数列”；若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的“右型间隔数列”；若对于，恒有或者，则称数列为的“左右型间隔数列”． （1）写出数列的所有递增的“左右1型间隔数列”； （2）已知数列满足，数列是的“左型间隔数列”，数列是的“右型间隔数列”，若，且有，求的值； （3）数列是递增的整数数列，且，．若存在的一个递增的“右4型间隔数列”，使得对于任意的，都有，求的关于的最小值（即关于的最小值函数）． 【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9． （2） （3） 【解析】（1）数列的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9． （2）由，可得， 即，即， 即，所以． （3）当时，由，可知． 又因为对任意，都有， 即当时，两两不相等． 因为 ． 所以的最小值函数． 另外，当数列的通项 间隔数列的通项时也符合题意． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考试仿真模拟试卷04 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数（为虚数单位）的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 2．已知集合 ​， 则​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 3．如图，平行四边形中，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 4．已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5．已知数列为等比数列，其前项和为，，则“对于任意，”是“公比”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．如图，在正四棱柱中，已知，则四面体的体积是（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 7．已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8．已知函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 方程有解 C. 是偶函数 D. 是偶函数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则（ ） A. B. C. D. 10．在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 C. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为[，] D. 当时，的最小值为 11．以下不等式成立的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知锐角满足，则______ 13．已知函数，若，，且，则的最小值是______ 14.若存在正实数x，使得不等式成立，则a最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算过程． 15．（13分）已知函数是定义域为R的偶函数． （1）求实数a的值； （2）若对任意，都有成立，求实数k的取值范围． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面是正三角形，是棱的中点． （1）证明：； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）在中，三个内角所对边分别为,, （1）求证： （2）若是边上的点，且，求的最小值 18．（17分）已知函数． （1）若函数存在一条对称轴，求的值； （2）求函数的单调区间； （3）若函数恰有2个零点，求的取值范围． 19．（17分）已知整数，数列是递增的整数数列，即且．数列满足，．若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的“左型间隔数列”；若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的“右型间隔数列”；若对于，恒有或者，则称数列为的“左右型间隔数列”． （1）写出数列的所有递增的“左右1型间隔数列”； （2）已知数列满足，数列是的“左型间隔数列”，数列是的“右型间隔数列”，若，且有，求的值； （3）数列是递增的整数数列，且，．若存在的一个递增的“右4型间隔数列”，使得对于任意的，都有，求的关于的最小值（即关于的最小值函数）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$