精品解析：江西省抚州市南城县第二中学2024-2025学年九年级上学期第一次综合知识诊断数学试题

南城二中2024-2025学年度上学期第一次综合知识诊断 九年级数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、多了一个未知数，不是一元二次方程； B、满足条件，是一元二次方程； C、含有分式，不是一元二次方程； D、整理后为，不是一元二次方程． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 菱形和矩形一定都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相平分且相等 【答案】C 【解析】 【分析】菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分． 【详解】解：菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分． 菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分． 故选C． 【点睛】本题考查了菱形及矩形的性质,熟知菱形和矩形的对角线的性质是解决本题的关键． 3. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根，把一元二次方程的根代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1， ∴， 解得， 故选：C． 4. 如图，在菱形中，对角线、交于点，已知，，则菱形的面积是（ ） A. 9 B. 18 C. 36 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质，得到，，再利用菱形面积公式即可得到结果． 【详解】四边形是菱形， ，， 则， 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积公式是解题关键． 5. 向阳村年的人均收入为元，年的人均收入为元，求人均收入的年平均增长率．设年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向阳村年的人均收入为元，年的人均收入为元，可以列出相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程． 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴于、两点，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点作轴于点，交于点，连接．则下列说法中正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 点的坐标为 D. 的周长为 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数解析式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长，过点D作x轴垂线交x轴于点H，构造三角形全等即可推出点D的坐标；求出BD的解析式，可得点E的坐标，可得出AF≠EF，则∠EAF≠45°，过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将AE+EF利用全等转换为CF即可求出△AEF的周长． 【详解】解：∵一次函数的图象交x轴、y轴与A、B两点， ∴当x=0，则y=12，故B（0，12）， 当y=0，则x=5，故A（5，0）， ∴AO=5，BO=12， 在Rt△AOB中，AB==13， 故AB的长为13； 过点D作x轴垂线交x轴于点H，过点C作y轴垂线交y轴于点N，如图所示： ∵四边形ABCD正方形， ∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=DA=BC=CD， ∴∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠HAD=90°， ∴∠OBA=∠HAD， 在△OBA和△HAD中， ， ∴△OBA≌△HAD（AAS）， ∴DH=AO=5，AH=BO=12， ∴OH=OA+AH=17， ∴点D的坐标为（17，5），A错误，不符合题意； ∵∠CBN+∠NCB=∠CBN+∠ABO=90°， ∴∠NCB=∠ABO， 在△CNB和△BOA中， ， ∴△CNB≌△BOA（AAS）， ∴BN=AO=5，CN=BO=12， 又∵CF⊥x轴， ∴CF=BO+BN=12+5=17， ∴C的坐标为（12，17），C正确，符合题意； 设直线BD的解析式为y=kx+b， ∴，解得：， ∴直线BD的解析式为， ∵OF=CN=12， ∴AF=12-5=7，E点的坐标为（12，）， ∴EF=≠AF， ∵CF⊥x轴， ∴∠EAF≠45°，B错误，不符合题意； 在△CDE和△ADE中， ， ∴△CDE≌△ADE（SAS）， ∴AE=CE， ∴AE+EF=CF=17，AF=OF-AO=12-5=7， ∴C△AEF=AE+EF+AF=CF+AF=17+7=24，D错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数性质的综合应用，熟练一次函数图象的基本性质并能结合全等三角形逐步推理细心运算是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 将一元二次方程化为一般式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程的一般式是，根据整式的乘法法则将展开，再移项即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查整式的乘法法则，一元二次方程的一般式，掌握整式乘法法则，识记一元二次方程的一般表达式是解题的关键． 8. 如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，若对角线的长都是，则四边形的周长是_________． 【答案】40 【解析】 【分析】根据三角形中位线性质得出，，，，且，，，，进而得出，，即可得出答案． 【详解】解：、、、分别是四边形各边的中点， ∴，，，，且，，，， 对角线的长都是， ，， 四边形的周长是：． 故答案为：40． 【点睛】此题主要考查了中点四边形的性质，利用三角形中位线定理得出，是解题关键． 9. 方程x（x-2）=-（x-2）的根是_______________． 【答案】x1=2，x2=-1 【解析】 【详解】解：移项得：x（x﹣2）+（x﹣2）=0，∴（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=2，x2=﹣1．故答案为x1=2，x2=﹣1． 10. 如图，为正方形的对角线，的平分线交于E，若，则正方形的边长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，过点作于，可知，得，进而可知，求得，由角平分线的性质可知，即可求解，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， ∴， 过点作于，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵平分， ∴，则， ∴方形的边长为， 故答案为：． 11. 设m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则m2+4m+n=___． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根定义得到m2=-3m+5，则m2+4m+n化为m+n+5，再利用根与系数的关系得到m+n=-3，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-5=0的根， ∴m2+3m-5=0， ∴m2=-3m+5， ∴m2+4m+n=-3m+5+4m+n=m+n+5， ∵m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根， ∴m+n=-3， ∴m2+4m+n=-3+5=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2=． 12. 如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为_____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先判定△MEH≌△DAH（SAS），即可得到△DHM是等腰直角三角形，进而得出DM=HM；依据当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，即可得到Rt△ADM中，DM=2AM，即可得到DM=2BE；依据点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC=45°，即可得出∠CHM＞135°． 【详解】由题可得，AM=BE， ∴AB=EM=AD， ∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC， ∴EM=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH， ∴EH=AH， ∴△MEH≌△DAH（SAS）， ∴∠MHE=∠DHA，MH=DH， ∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM是等腰直角三角形， ∴DM=HM，故②正确； 当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°， ∴∠ADM=45°﹣15°=30°， ∴Rt△ADM中，DM=2AM， 即DM=2BE，故①正确； ∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB， ∴∠AHM＜∠BAC=45°， ∴∠CHM＞135°，故③正确， 故答案为①②③． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质的综合运用，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 请用指定的方法解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解出方程； （2）利用公式法解出方程． 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 ，，， ，； 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 14. 如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明． 【答案】四边形AECF是平行四边形，证明见解析． 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，可得出∠DFA=∠BAF，进而得出∠DCE=∠DFA，证得，再根据平行四边形的判定得出即可． 【详解】解：四边形AECF是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴∠DFA=∠BAF， 又∵∠DCE=∠BAF， ∴∠DCE=∠DFA ∴， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的判定以及平行四边形的判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 15. 已知关于x的方程的一个根是1，求m的值和另一个根． 【答案】，另一个值为3 【解析】 【分析】先把代入关于x的方程求出m的值，再把m的值代入方程，利用根与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：关于x的方程的一个根是1， ， ， 把代入方程得， 设方程的另一个根为a，则， ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知x1，x2是方程的两根时，是解题的关键． 16. 如图，点是菱形对角线的交点，，连接． （1）求证：； （2）如果，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）34 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，然后根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后根据矩形的性质即可得证； （2）先根据菱形的性质可得，，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用矩形的周长公式即可得． 【小问1详解】 证明：， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ∴∠COB=90° 平行四边形是矩形， ． 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ，， ， ， ， 由（1）已证：四边形是矩形， 则四边形的周长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键． 17. 已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状. 【答案】为直角三角形． 【解析】 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根可得Δ=0，可算出b的值，又因为a2+b2=c2，所以△ABC为直角三角形． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴为直角三角形． 【点睛】本题关键在于计算出b的值，然后根据勾股定理逆定理判断三角形的形状 四．（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，求道路的宽是多少米？ 【答案】2m． 【解析】 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：设道路的宽应为x米，剩余部分拼成一个长方形，长和宽分别为（12﹣x）米、（8﹣x）米， 由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝60． 解得x＝2或x＝18（舍去）． 答：道路的宽应设计为2m． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF． (1)求证：△AEH≌△CGF． (2)若∠EFG＝90°．求证：四边形EFGH是正方形． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得结论； (2)先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明有一组邻边相等，然后结合∠EFG＝90°，即可证得该平行四边形是正方形． 【详解】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C． 在△AEH与△CGF中， ， ∴△AEH≌△CGF(SAS)； (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D． ∵AE＝CG，AH＝CF， ∴EB＝DG，HD＝BF． ∴△BEF≌△DGH(SAS)， ∴EF＝HG． 又∵△AEH≌△CGF， ∴EH＝GF． ∴四边形HEFG为平行四边形． ∴EH∥FG， ∴∠HEG＝∠FGE． ∵EG平分∠HEF， ∴∠HEG＝∠FEG， ∴∠FGE＝∠FEG， ∴EF＝GF， ∴平行四边形EFGH是菱形． 又∵∠EFG＝90°， ∴平行四边形EFGH是正方形． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合性问题，关键要注意正方形和菱形的性质定理，结合考虑三角形的全等的证明，这是中考的必考点，必须熟练掌握. 20. 若一元二次方程ax2+bx+c=0两个根为x1，x2，则多项式ax2+bx+e可以分解因式为a(x-x1)(x-x2），例如因为方程3x2-4x+1=0的两根为，，则．请根据以上结论在实数范围内因式分解． （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法求出方程的根，再利用已知分解因式即可； （2）利用公式法求出方程的根，再利用已知分解因式即可． 【详解】（1） 这里a=2，b=-3，c=1， ∴△=b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1＞0， 由=0，得方程的解为：，； ∴ （2） 由方程=0，得方程的解为：， 所以， 【点睛】此题考查了用解一元二次方程的方法对二次三项式进行因式分解．正确求出方程的根是解决问题的关键． 五．（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. （1）如图1，已知ABCD是正方形，P是对角线AC上一点，求证：PB＝PD； 请你完成问题情境中（2）的证明 （2）如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，猜想EF与DP的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析；（2）PD＝EF．证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明△APB≌△APD，故可求解； （2）连接PB，证明四边形PEBF是矩形，根据矩形对角线相等即可求解． 【详解】解：（1）证明：在△APB和△APD中， ∵AB＝AD，AP＝AP，∠BAP＝∠DAP＝45°， ∴△APB≌△APD， ∴PB＝PD． （2）猜想：PD＝EF． 证明：连接PB． 由（1）可知：PB＝PD． ∵PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F， ∴四边形PEBF是矩形， ∴PB＝EF， ∴PD＝EF． 【点睛】此题主要考查正方形的性质综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、矩形的性质． 22. 某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为（元），日销售量为（件）． （1）与的函数关系式为________； （2）要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）40 【解析】 【分析】（1）由题意易得日销售量与销售单价成反比，得到，即可解得 （2）根据一次函数的性质即可求解 【小问1详解】 根据题意得，， 故与的函数关系式为 【小问2详解】 ， 解得：，（舍去）， 故答案为：40元 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键 六．（本大题12分） 23. 如图，四边形、都是正方形． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，正方形绕点B逆时针旋转，使点G正好落在上，求证：； （3）如图3，在（2）条件下，，，点M为直线上一动点，连接，过点作，垂足为点，直接写出的最小值为______． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）在中和在中利用勾股定理解题． （2）利用和全等，实现线段转化求解． （3）构建最短距离模型，在下方作,作于点，作于点，点到的最短距离即为最小值． 【小问1详解】 四边形是正方形， ，， 在中，，， ， 四边形为正方形， ，， 在中，，， ． 【小问2详解】 四边形和四边形均为正方形， ，，， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ． 【小问3详解】 的最小值， 在下方作,作于点，作于点，如图， ， , ∵，， ∴ ∴当点、点、点三点共线时，最小， ∴当点到直线的最短距离为时，的值最小， 此时， 在中，，， ， ， 解得． 即最短距离为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理和图形的旋转，在求线段长度时，勾股定理是常用的方法，图形旋转时要明确在旋转过程中边和角的对应关系，最短距离需要构建最短距离的原型，在本题中是借助点到直线的最短距离进行求解．解题关键是利用勾股定理求线段长，三角形全等将线段转化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南城二中2024-2025学年度上学期第一次综合知识诊断 九年级数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 菱形和矩形一定都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C 对角线互相平分 D. 对角线互相平分且相等 3. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 4. 如图，在菱形中，对角线、交于点，已知，，则菱形的面积是（ ） A. 9 B. 18 C. 36 D. 72 5. 向阳村年的人均收入为元，年的人均收入为元，求人均收入的年平均增长率．设年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴于、两点，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点作轴于点，交于点，连接．则下列说法中正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 点的坐标为 D. 的周长为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 将一元二次方程化为一般式为___________． 8. 如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，若对角线的长都是，则四边形的周长是_________． 9. 方程x（x-2）=-（x-2）的根是_______________． 10. 如图，为正方形的对角线，的平分线交于E，若，则正方形的边长为_______． 11. 设m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则m2+4m+n=___． 12. 如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 请用指定的方法解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 14. 如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明． 15. 已知关于x方程的一个根是1，求m的值和另一个根． 16. 如图，点是菱形对角线的交点，，连接． （1）求证：； （2）如果，，求四边形的周长． 17. 已知△ABC三边长分别是a，b，c，其中，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状. 四．（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，求道路的宽是多少米？ 19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF． (1)求证：△AEH≌△CGF． (2)若∠EFG＝90°．求证：四边形EFGH是正方形． 20. 若一元二次方程ax2+bx+c=0两个根为x1，x2，则多项式ax2+bx+e可以分解因式为a(x-x1)(x-x2），例如因为方程3x2-4x+1=0的两根为，，则．请根据以上结论在实数范围内因式分解． （1） （2） 五．（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. （1）如图1，已知ABCD是正方形，P是对角线AC上一点，求证：PB＝PD； 请你完成问题情境中（2）的证明 （2）如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，猜想EF与DP的数量关系，并证明你的猜想． 22. 某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为（元），日销售量为（件）． （1）与的函数关系式为________； （2）要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？ 六．（本大题12分） 23. 如图，四边形、都是正方形． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，正方形绕点B逆时针旋转，使点G正好落上，求证：； （3）如图3，在（2）条件下，，，点M为直线上一动点，连接，过点作，垂足为点，直接写出最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$