4.2　角 课件 2024-2025学年北师大版七年级数学上册

　4.2 角 　角的概念及表示方法 角的定义 (1)如图1，有公共端点的两条射线组成的图形叫作角； (2)如图2，一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫作角. A. 两条直线组成的图形叫作角 C. 相交的两条射线组成的图形叫作角 B. 两条射线组成的图形叫作角 D. 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角 角的定义是 ( ) D 角的表示方法：角用符号“∠”表示 表示方法 图形 示例 注意事项 ①用三个字母表示 ∠ABC 顶点字母写在中间 ②用一个大写字母表示 ∠B 一个大写字母只能表示独立的角 ③用数字表示 ∠1 拼合角不能用数字表示，只能用三个字母表示 ④用希腊字母表示 ∠α 常见的希腊字母有α，β等 如图，下列表述不正确的是 ( ) A. ∠1可表示为∠BAC B. ∠2可表示为∠DAC C. ∠DAB可表示为∠BAD D. ∠BAD可表示为∠A D (BS七上P125 T1改编)请将图中的角用不同方法表示出来， 并填写下表： ∠ABE ∠1 ∠2 ∠3 ∠ABC ∠ACB ∠ACF ∠α 1周角＝_____°，1平角＝_____°，1直角＝_____°，1°＝_____′，1′＝_____″. 角的换算 360 180 90 60 60 (1)填空： 1周角＝___平角＝___直角； (2)(BS七上P120例1改编)计算： 1. 68°＝______′＝______″； 3 200″＝______′＝______°. 2 4 100. 8 6 048 计算：1. 16°＝____°____′____″；45°57′18″＝________°. 总结：度分秒换算方法：大单位 小单位，小单位 大单位. 1 9 36 45. 955 如图，射线OA表示的方向是__________； 射线OB表示的方向是__________； 射线OC表示的方向是__________. 方位角语言描述 北偏西30° 南偏东70° 西南方向 如图，射线OA表示的方向是___________； 射线OB表示的方向是___________； 射线OC表示的方向是_________； 射线OD表示的方向是__________. 北偏东30° 北偏西30° 正南方向 西南方向 1. 下列图形中，表示∠ABC的是 ( ) C 2. 如图，下列对角的表示正确的是 ( ) A. ∠A B. ∠B C. ∠C D. ∠D A 3. (BS七上P125 T2改编)计算： (1) °等于多少分？多少秒？ (2)4 200″等于多少分？多少度？ 所以 °＝10′＝600″. 解：(1) ×60′＝10′；10×60″＝600″. 解：(2)4 200÷60′＝70′；70÷60°＝ °. 所以4 200″＝70′＝ °. 4. 比较大小(填“＞”“＜”或“＝”)： 74. 45°_____74°45′； 32. 15°_____2×16°6′. 5. 如图，我国山东号航空母舰行驶在B处同时测得黄岩岛A、中国海军南昌号驱逐舰C的方向分 别为北偏西30°和西南方向，则∠ABC 的度数是_______. ＜ ＜ 105° 6. (应用意识·核心素养)填空： (1)早上10：00，分针与时针的夹角是_____°； (2)早上10：30，分针与时针的夹角是_____°. 60 135 7. 如图1，从点O分别引两条射线，则得到一个角∠AOB. (图中的角均指不大于平角的角) (1)探究：①如图2，从点O分别引三条射线，则图中得到____个角； ②如图3，从点O分别引四条射线，则图中得到____个角； ③依此类推，从点O分别引n条射线，则得到________个角. (用含n的代数式表示) 3 6 (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛(即每两队之间赛一场)，则全部赛完共需多少场比赛？ 解：(2)依题意，得当n＝16时， 答：全部赛完共需120场比赛. ＝120. 　角的大小比较、角平分线及运算 如图，在正方形网格中有∠α和∠β，则∠α和∠β的大小关系是 ( ) A. ∠α>∠β B. ∠α<∠β C. ∠α＝∠β D. 无法确定 方法：观察法、度量法、叠合法. 角的大小比较 A 如图，把一副三角板先后放在∠AOB上，则∠AOB的度数可能是 ( ) A. 60°　　　 B. 50°　　　 C. 40°　　　 D. 30° C 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫作这个角的平分线. 几何语言：如图，因为OC平分∠AOB， 所以∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB(或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC). 角平分线 如图，OC平分∠AOB. (1)若∠AOB＝120°，则∠AOC＝____°， ∠BOC＝____°； (2)若∠AOC＝65°，则∠BOC＝____°， ∠AOB＝______°. 60 60 65 130 如图，MC是∠AMB的平分线. (1)若∠AMB＝80°，则∠1＝____°，∠2＝____°；(2)若∠1＝30°，则∠2＝____°，∠AMB＝____°. 40 40 30 60 如图，已知∠AOD＝36°，∠BOC＝20°，且∠COD＝ ∠BOD，求∠AOC的度数. 角的和差计算及等分计算 因为∠BOC＝20°，所以∠BOD＝60°. 所以∠DOC＝∠BOD－∠BOC＝40°. 所以∠AOC＝∠AOD＋∠DOC＝36°＋40°＝76°. 解：因为∠COD＝ ∠BOD， 所以∠BOC＝ ∠BOD. 如图，已知∠AOC＝∠BOD＝80°，∠BOC＝25°，求∠AOD的度数. 解：由∠AOC＝80°，∠BOC＝25°，得 ∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝80°－25°＝55°. 所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝55°＋80°＝135°. 1. 如图，在边长相等的正方形网格中，∠1与∠2的大小关系为 ( ) A. ∠1＞∠2 B. ∠1＝∠2 C. ∠1＜∠2 D. 无法确定 A 2. 如图，已知点O为直线AB上一点，OD平分∠BOC. 如果∠AOC＝110°，那么∠BOD＝_____. 35° 3. 如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC，求∠BOD的度数. 解：因为∠AOB＝90°，∠BOC＝40°， 所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋40°＝130°. 因为OD平分∠AOC， 所以∠BOD＝∠AOB－∠AOD＝90°－65°＝25°. 所以∠AOD＝ ∠AOC＝ ×130°＝65°. 4. (方程求角度·方法)如图，OC是∠AOD的 平分线，OE是∠BOD的平分线. (1)若∠AOB＝130°，则∠COE 是多少度？ 解：(1)因为OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线， 所以∠COE＝∠COD＋∠DOE＝ ∠AOD＋ ∠BOD ＝ (∠AOD＋∠BOD) ＝ ∠AOB＝ ×130°＝65°. (2)如果∠BOC＝3∠AOD, ∠EOD－∠COD＝30°，那么∠BOE是多少度？ 解：(2)设∠BOE＝x，则∠EOD＝x. 因为∠EOD－∠COD＝30°， 所以∠COD＝∠AOC＝x－30°. 所以∠AOD＝2∠AOC＝2(x－30°)， ∠BOC＝∠BOE＋∠EOD＋∠COD ＝x＋x＋x－30°＝3x－30°. 因为∠BOC＝3∠AOD， 解得x＝50°，即∠BOE的度数为50°. 所以3x－30°＝3×2(x－30°)， 　尺规作角 (BS七上P132 T4改编)如图所示是由一副三角板拼成的图形，那么图中生成的角度有 __________________________________________. 利用三角板作角 15°，30°，45°，60°，75°，90°，105° 如图，图中一副三角板拼成的角度有 _____________________________________. 30°，45°，60°，75°，90°，135° 总结：一副三角板运用和、差可以画出的角：15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°. 如图，已知∠AOB. 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB. 利用尺规作角 作法： (1)作射线O′B′； (2)以点____为圆心，以________为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； (3)以点____为圆心，以_____的长为半径画弧，交O′B′于点D′； (4)以点____为圆心，以_____的长为半径画弧，交前面的弧于点C′； (5)过点____作射线O′A′，∠A′O′B′就是所求作的角. O 任意长 O′ OD D′ CD C′ 用尺规作一个角等于已知角. 如图，已知∠AOB. 求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB. 作法如下： (1)作射线EG； (2)以①为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P，交OB于点Q； (3)以点E为圆心，以②为半径画弧，交EG于点D； (4)以点D为圆心，以③为半径画弧，交前面的弧于点F； (5)过点F作④，∠DEF即为所求作的角. 以上作图步骤中，序号所代表的内容错误的是 ( ) A. ①表示点O　　　 B. ②表示OP的长 C. ③表示OQ的长 D. ④表示射线EF C 方法：利用尺规作角，通过叠合法把一个角转移到另一个角上，进行观察比较. 利用尺规作角比较角的大小 已知∠ABC和∠DEF，试用尺规作图的方法比较两个角的大小. 解：如图所示，由作图可知∠DEF>∠ABC. 已知∠1和∠2，试比较∠1与∠2的大小. 解：如图所示，由作图可知∠1>∠2. 1. 在18°，75°，90°，120°，150°这些角中，能用一副三角板拼画出来的是________________________. 2. 在“三角尺拼角”试验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1＝_____°. 75°，90°，120°，150° 120 3. 如图，已知∠AOB. (1)求作：∠AOC，使∠AOC＝2∠AOB； (2)试比较∠AOC与直角的大小. 解：(2)由图可知∠AOC1＋∠AOC2>180°， 因为∠AOC1＝∠AOC2＝2∠AOB， 所以∠AOC1＝∠AOC2>90°. 解：(1)如图所示，∠AOC1，∠AOC2即为所求. 4. 如图所示是45°，60°的三角板拼图，求出四边形ABCD各角的度数. 解：因为△ADC，△ABC是两块直角三角板， 所以∠B＝∠D＝90°， ∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝45°＋60°＝105°， ∠DCB＝∠DCA＋∠BCA＝45°＋30°＝75°. 5. 在数学活动课上，老师要求同学们用一副三角板拼角，并探索角平分线的画法. 小亮按照老师的要求，画出了30°角的平分线，画法如下： a. 先按照图1－①的方式摆放一副三角板，画出∠AOC；b. 在∠AOC处，再按照图1－②的方式摆放30°角的三角板，画出射线OB； c. 去掉三角板后得到的图形如图1－③所示，OC就是30°角∠AOB的平分线. 小健、小康也按照老师的要求，分别用一副三角板拼出了∠ECD和∠PMN，如图2、图3. 请你解答： (1)∠ECD的度数是_____°，∠PMN的度数是_____°； 120 150 (2)请你仿照小亮的画法，只用一副三角板帮小健、小康画出∠ECD和∠PMN的平分线. (不写画法，保留画图痕迹) 如图5所示，MG即为∠PMN的平分线. 解：(2)如图4所示，CF即为∠ECD的平分线. $$