3.1　代数式 课件 2024-2025学年 北师大版数学七年级上册

第三章　整式及其加减 　代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式. 注意：这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方(开方将在以后学习)，单独的一个数或字母也是代数式. 如－5，3，t都是代数式. 字母参与运算时的书写规则如下： 代数式 类别 书写要求 不规范写法 正确写法 ①数与字母或字母与字母相乘 将数放在字母前，乘号写作“·”或省略不写 5×a，a5；a×a 5·a或5a；a2 ②数与字母或字母与字母相除 写成分数形式 5÷a，a÷b ③1或－1与字母相乘 省略1 1x，－1x x，－x ④带分数与字母相乘 带分数要化为假分数 A. 1 a　　 B. a÷b　　 C. 　　 D. －1ab 下列代数式中，书写规范的是 ( ) C 下列代数式书写不正确的是 ( ) A. (a＋b)吨　 B. 2m÷n　 C. －3a　 D. a B (1)苹果原价是p 元/kg, 现在按八五折优惠出售，用代数式表示苹果现在的售价是_______元/kg； (2)一个长方形的长是0. 85 m，宽是p m，用代数式表示这个长方形的面积是_______m2； (3)某商品的进价为a元/件，若每件盈利10元，则该商品的售价是________元/件； 0. 85p 用代数式表示数量 0. 85p (a＋10) (4)将p kg糖装入n个包装袋中，每袋糖的质量相同，则每袋装入糖____kg； (5)一个长方体水池底面的长和宽都是a m，高是h m, 池内水的体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积是______m3. (1) 一件羊毛衫标价a元，如果按标价的80%(八折)出售，那么这件羊毛衫的售价是______元；(2)姐姐比妹妹大3岁，若妹妹今年x岁，则姐姐今年的岁数是______岁； (3)某班共有40名学生，若设女生人数为x，则男生有________人； (4)小亮用了t小时骑行4千米，他的平均速度是__千米/时；(5)棱长为a的正方体的表面积是_____，体积是____. 小结：由例2(1)(2)可知，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系. 0. 8a (x＋3) (40－x) 6a2 a3 用代数式表示图形中的规律 按如图所示的方式搭正方形. 正方形 的个数 1 2 3 … 10 … 火柴棒 的根数 … … 4 7 10 31 (1)搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒？ 解：(1)4＋3×(100－1)＝301(根). 所以搭100个这样的正方形需要301根火柴棒. (2)如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒？ 解：(2)4＋3(x－1)＝(3x＋1)(根). 所以搭x个这样的正方形需要(3x＋1)根火柴棒. (1)第①个图形需要___根火柴棒； 第②个图形需要____根火柴棒； 第③个图形需要____根火柴棒； 第④个图形需要____根火柴棒. (2)第 个图形需要多少根火柴棒？ 7 (BS七上P85 T13改编)用火柴棒搭建如图所示的形状. 12 17 22 解：(2)7＋5(n－1)＝(5n＋2)(根). 所以第 个图形需要(5n＋2)根火柴棒. 1. 下列各式：－x＋1，π＋3，9>2， ，s＝ ab，其中代数式的个数是 ( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 C 2. 下列代数式的书写正确的是 ( ) A. a÷b B. 3×x C. －1ab D. xy D 3. 购买单价为m元的钢笔5支和单价为n元的铅笔7支，应付款____________元. 4. 某种电视机每台定价为m元，商店在节日期间搞促销活动，这种电视机每台降价20%，促销期间这种电视机每台的实际售价为______元. 5. 甲、乙二人一起加工零件，甲平均每小时加工a个零件，加工2小时；乙平均每小时加工b个零件，加工3小时. 甲、乙二人共加工零件__________个. (5m＋7n) 0. 8m (2a＋3b) 6. 一个两位数，个位数字是x，十位数字是y，这个两位数是_______，如果个位数字与十位数字对调，所得的两位数是_______. 10y＋x 10x＋y 7. 用字母表示图①，②中阴影部分的面积. 解：图①：a(a＋b)－ πa2－ πb2； 图②： πa2－ ab. 8. (运算能力·核心素养)如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第5个图案中有灰色瓷砖____块，第n个图案中有白色瓷砖________块. (用含n的代数式表示) 12 (3n＋2) 　列代数式及求值 (BS七上P78例题改编)某公园的门票价格：成人票每张10元，学生票每张5元. (1)一个旅游团有成人x人、学生y人，那么该旅游团应付门票费__________元. 列代数式表示实际问题中的数量关系 (10x＋5y) (2)如果该旅游团有30个成人、15个学生，那么他们应付多少门票费？ 解：(2)当x＝30，y＝15时， 10x＋5y＝10×30＋5×15＝375(元). 答：他们应付375元门票费. (3)10x＋5y还可以表示什么？你还能举出其他例子吗？ 解：(3)10x＋5y还可以表示购物的总费用，例：钢笔每支10元，笔记本每本5元，那么购买x支钢笔和y本笔记本的总费用为(10x＋5y)元. (BS七上P78尝试·思考改编)营养学家通常用身体质量指数(简称BMI)衡量人体胖瘦程度，这个指数等于人体体重(单位：kg)与人体身高(单位：m)平方的商. (1)若王明的体重为w kg，身高为h m，求他的BMI；(用含w，h的式子表示) 解：(1)依题意，得BMI＝ . (2)若张宇的身高是1. 80 m，体重是81 kg，他的体重属于哪一层次？ 答：他的体重属于超重. 解：(2)当h＝1. 80，w＝81时，BMI＝ ＝25>24. (3)若李红的身高为1. 6米，身体质量指数只有18，属于不健康的瘦，请计算她的体重为多少千克. (精确到个位) 解得w＝46. 08≈46. 答：她的体重约为46千克. 解：(3)当h＝1. 6，BMI＝18时，18＝ ， (1)用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值； (2)当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同. 代数式求值 1. 若m＝－1，则代数式m2－2m＋1的值是_____. 4 2. (BS七上P79 T2改编)如图所示是一数值转换机. ①当输入x时，图1输出的代数式是_______； ②当x＝－ 时，图1的输出结果是_____； 图2的输出结果是_____. 3. 当代数式a＋2b的值为3时，代数式1＋a＋2b的值是_____，代数式2a＋4b－5的值是____. 6x－3 －6 －21 4 1 1. 当n取下列值时，求代数式 的值. (1)n＝4；(2)n＝－3. 解：(1)当n＝4时， ＝5. 解：(2)当n＝－3时， ＝－2. 2. 按照如图所示的计算程序，若x＝－2，则输出的结果是_______. －26 3. 当x＝1时，代数式ax3＋bx＋3的值为20，当x＝－1时，求该代数式的值. 解：因为当x＝1时，代数式ax3＋bx＋3的值为20， 所以a＋b＋3＝20， 即a＋b＝17. 所以当x＝－1时， ax3＋bx＋3＝－a－b＋3＝－17＋3＝－14. 1. “a与b的差的5倍”用代数式表示为 ( ) A. B. 5(a－b) C. 5a－b D. a－5b B 2. 已知m＝－2，n＝1，则代数式n－m＝ ( ) A. 2 B. －2 C. －3 D. 3 D 3. 买一个足球需要m元，买一个篮球需要n元，则买6个足球和3个篮球共需要 ( ) A. 18m元 B. (6m＋3n)元 C. (3m＋6n)元 D. 9m元 B 4. (BS 七上P79 T1改编)下列选项中的量不能用“8m”表示的是 ( ) A. 长为m厘米，宽为8厘米的长方形的面积 B. 8件单价为m元的同款外衣的总价 C. 一台每天能生产m个零件的机器，工作8天生产的零件总量 D. 十位数字为8，个位数字为m的两位数 D 5. 已知a－2b＝1，则代数式2a－4b＋3＝ ( ) A. －5 B. －1 C. 1 D. 5 D 6. 用一个实际背景表示代数式(1＋8%)x的意义：____________________________________________________________________________________________. 7. 有一种塑料杯子的高度是10 cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则n个这种杯子叠放在一起高度是________cm. (用含n的代数式表示) 一件商品的进价为x元，出售这件商品获得的利润率为8%，则该商品的售价为(1＋8%)x元(答案不唯一) (2n＋8) 8. 若3x2＋4x＋1＝0，则代数式6x2＋8x＋2 024的值是( ) A. 2 021　　　　　　　　 B. 2 022 C. 2 023 D. 2 024 B 9. 按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是 ( ) A. 3 B. 1 C. －1 D. 3或－1 C 10. (运算能力·核心素养)用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个正方形，第②个图案用了6个正方形，第③个图案用了8个正方形，…，按此规律排列下去，求第2 024个图案中用的正方形的个数. 解：由图形可知： 第①个图案中用的正方形个数为4＝1×2＋2； 第②个图案中用的正方形个数为6＝2×2＋2； 第③个图案中用的正方形个数为8＝3×2＋2； …， 所以第n个图案中用的正方形个数为2n＋2. 当n＝2 024时， 2n＋2＝2×2 024＋2＝4 050， 即第2 024个图案中用的正方形有4 050个. 　整式 (1)单项式的概念：由____与_____的乘积所构成的式子叫作单项式. 单独的一个____或一个_____也是单项式. 如：3x，xy， ，x，3等. 单项式 数 字母 数 字母 (2)单项式的系数与次数： ①单项式的系数：单项式中的_____因数. 如：3x的系数是3，－xy2的系数是_____. ②单项式的次数：一个单项式中所有_____的_______. 如：x2y3的次数是5，－xy2的次数是_____. 特别地，单项式如果是单独一个非零的数字，其次数为0. 数字 －1 字母 指数和 3 代数式0，m，－10x， ，－5ab， ，x＋3中，单项式有 ( ) A. 3个　　 B. 4个　　 C. 5个　　 D. 6个 B 填表： 单项式 7ab2c －x2y －2 － πr2 系数 次数 7 －1 －2 π 4 3 0 2 2 多项式 (1)几个单项式的和叫作多项式，如5ab＋1，a－b. (2)单项式和多项式统称整式. 注意：分母中含字母的不是整式，如1＋ . (3)多项式的项：多项式中的每个单项式，其中不含字母的项叫作常数项(常数项次数为0). 如：b2－3b－1的项分别为b2，－3b，－1，常数项是－1. (4)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数(取最高次). 如：－5b＋b3－1的最高次项为b3，因此该多项式的次数为3. 多项式3x2＋2x－1由单项式____，____，____组成，次数最高的项是____，这个多项式叫____次____项式，其中二次项是____，一次项是____，常数项是____. 3x2 2x －1 3x2 二 三 3x2 2x －1 多项式a2－3a－2ab2＋7由单项式___，_____，_______，___组成，其中常数项是___，次数最高的项是________，这个多项式叫___次___项式. 易错点：(1)书写多项式中的单项式时应连同它前面的符号； (2)单项式的次数取所有字母的指数和，多项式的次数取次数最高的项的次数. a2 －3a －2ab2 7 7 －2ab2 三 四 (1)如图，一个十字形花坛铺上了草皮，四个角没有植草的部分都是正方形，此花坛共有草地面积____________平方米； (2)当水结冰时，其体积大约会比原来增加 ， x立方米 的水结成冰后体积约为_______立方米； 用整式表示实际问题的数量关系 (ab－4c2) (3)如图，一个长方体的箱子紧靠墙角，它的长、宽、高分别是 a，b，c. 这个箱子露在外面的表面积是_____________； (4)某件商品的成本价为 a 元，按成本价提高 15%后标价，又以八折销售，此件商品的售价为______元. ab＋ac＋bc 0. 92a 1. 关于单项式－4ab2，下列结论正确的是 ( ) A. 系数是4，次数是2 B. 系数是4，次数是3 C. 系数是－4，次数是2 D. 系数是－4，次数是3 D 2. 单项式 的系数和次数分别是 ( ) A. 和3 B. 和2 C. 和4 D. 和2 A 3. 关于多项式x－5x2＋7的说法正确的是 ( ) A. 是一次二项式　　　 B. 一次项系数是－5 C. 常数项是7 D. 最高次项系数是1 C 4. 把下列各式填在指定的集合中(填序号)： ① ；②abc；③b2－2b－1；④－5ab2；⑤ ； ⑥1－ . (1)单项式集合：{ …}； (2)多项式集合：{ …}； (3)整式集合：{ …}. ②④ ①③ ①②③④ 5. 如果整式xn＋1－x＋2是关于x的四次三项式，那么n的值为 ( ) A. 1　　　 B. 2　　　 C. 3　　　 D. 4 C 6. (抽象能力·核心素养)按如图所示的方式摆放餐桌和椅子： (1)8张餐桌可以放多少把椅子？10张呢？ (2)n张餐桌可以放多少把椅子？ 解：(1)8 张餐桌可以放椅子4×8＋2＝34(把)， 10张餐桌可以放椅子4×10＋2＝42(把). 解：(2) n张餐桌可以放(4n＋2)把椅子. 7. (运算能力·核心素养)观察下列单项式： 2x，－4x2，8x3，－16x4，…. (1)第5，6个单项式分别为______，________； (2)试写出第10个单项式； (3)试写出第n个单项式. 解：(2)第10个单项式为－1 024x10. 解：(3)第n个单项式为(－1)n＋1 2nxn . 32x5 －64x6 $$