上海市川沙中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

川沙中学2024学年第一学期高二年级数学月考 2024.10 一、填空（3*12) 1.复数z满足z(1+i)=2i,则1mz= 2.等此数列a,e心)中，若a=石%=克，则a,- 3.已知空间中两条直线a、b,“a⊥b”是“a与b相交”的 条件（选填“充分 非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”、“充要”) 4.以下各项属于公理的是 ①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； ②过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； ③空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补； ④平行于同一条直线的两条直线平行； ⑤如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行. 5.设数列{an}是等差数列，若a和ams是方程4x2-8x+3=0的两根，则数列{an}的前 2026项的和S06= 6.水平放置的△ABC的斜二侧直观图如图所示，若A,C,=2, B △ABC的面积为2W2,则B,C,的长为 45 A 7.已知a=(L,V3),a·b=2,言在a上的投影向量的坐标 为 8.空间四边形ABCD,AB=CD=8,M、N、P分别为BD、AC、BC的中点，若异 面直线AB和CD成60°的角，则MN=一 9.已知数列o,}满是a=-片a,=1-a>),则ax- 10.在△ABC中，b2+c2=a2+bC,AC·AB=4,则△ABC面积为 11,用一个平面将圆柱切割成如图的两部分，将下半部分几何体的侧面展 开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为 y=1.5+V2cosx,x∈[-元，]，则平面与圆柱底面所形成的二面角的正 弦值是 12.已知异面直线a、b所成角为60°，直线AB与a、b均垂直，且垂 足分别是点A、B,若动点P∈a,Q∈b,PA+lQB=2,则线段P2中点M的轨迹围成 的区域的面积是 二、选择(3*4)》 13.下列说法正确的是（)） A.平行于同一直线的两个平面平行 B.平行于同一平面的两条直线平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一直线的两个平面平行 14.若1+√2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（) A.b=2,c=3 B.b=2,c=-1 C.b=-2,c=-1 D.b=-2,c=3 15.如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，BC=BD=2,点E是CD的中 点，若直线AB与平面ACD所成角的正切值为三 ，则点B到平面 ACD的距离为（) A. 2 B. 3 3 2W2 C. D. 4 3 16.如图，设P为正四面体A-BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个 顶点的距离组成的集合记为M,如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有 )个 A.4 B.6 C.10 D.14 三、解答(8+8+10+12+14) 17.已知同=1，=5，《a=牙 (1)求+； (2)若(ka+)1(G-2),求实数k的值， 18.如图，在长方体ABCD-A,B,CD,中，E、F分别是B,C,和C,D,的中点. (1)证明：E、F、D、B四点共面； (2)证明：BE、DF、CC,三线共点. B 19,亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、 避雨乘凉.假设我们把亭子看成由一个圆锥P-O,与一个圆柱O0,构成的几何体2.一般 地，设圆锥P-O,中母线与底面所成角的大小为α，当20°<α<35°时，方能满足建筑要 求.已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米. (1)求几何体下半部分圆柱的体积； (2)如图，设E为圆柱底面半圆弧CD的上的点，求圆柱母线EF和圆锥母线PR所在异 面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求. 0 B 20.如图，四边形ABCD是矩形，AD=2,DC=1,AB⊥平面BCE,BE⊥EC,EC=1.点 F为线段BE的中点. (1)求证：CE⊥平面ABE: (2)求证：DE∥平面ACF; (3)求AC和平面ABE所成角的正弦值. 21,已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影 是AC与BD的交点O,已知∠BAD=60°，△PDB是等边三角形. (1)求证：AC⊥PD; (2)求二面角P-BC-A: (3)若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，真线PE与平面PBC所成的角最 大？求出最大角，并说明点E此时所在的位置. P B 参考答案 一、填空题 1.1； 2.4 ；3.既非充分也非必要； 4.①②④； 5.2026; 6.2; 8.4或4V5; 9.-；10.25； 11.6 12.5 3 11.用一个平面将圆柱切割成如图的两部分，将下半部分儿何体的侧面展开，平面与圆柱 侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为y=1.5+2cosx，x∈[-元，π]，则 平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是 B 【答案】 3 【解析】如图将下方几何体沿BF展开，如图所示， 由平面与圆柱侧面展开图中对应的函数表达式为y=1.5+√2cosx ∴周期T=2π=B,B2=FF,即圆柱底面圆的周长为2π，∴.面圆的半径r=1, ∴底面圆的直径EF=AB=2,又由函数表达式为y=1.5+√2cosx, 可得AC=1.5+V2-(（1.5-V2)=2W2,又易知平面与圆柱底面所形成的二面角为∠ABC, 在RA1BC中，AC=25,AB=2,BC=2W5,im2ABC=4C-22_6 BC 23 3 平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值为故答案为：6 12.已知异面直线a、b所成角为60°，直线AB与a、b均垂直，且垂足分别是点A、B, 若动点P∈a,2∈b,PA+2B=2,则线段Pg中点M的轨迹围成的区域的面积 是 【答案】5 【解析】设线段AB的中垂面为a,则M的轨迹在平面a内，在平面a内分别作直线a,b的投 影a',b',则两直线的夹角为60°，设A,B在平面a的投 影为O,设P,Q在平面α内的投影为P',Q',则M为 PQ'的中点，所以lOP=PA,lO0=BO, 因为PA+2B=2,所以OP+O0=2, 在直线a3b'上分别取点E,F,G,H四点，使得oE=OF=l0G=oA川=)×2=1， 因为l0E+l0H=OP'+0g1=2,所以PE=H01, 过P'作P'E//EH交OQ'于R,则HR=P'E=HQ,所以PQ'的中点M在EH上， 同理可得M在EF,FG,GH上，所以M的轨迹是矩形EHGH, 因为∠EoH=60,l0El=lor=l0G=l0H川=2x2=1, 所以5aw=×1x1xsia60×2+71x1xim20x2=5敢答案为：5. 二、选择题 13.D 14.D 15.D 16.C 15.如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，BC=BD=2,点E是CD的中 点，若直线AB与平面ACD所成角的正切值为 4，则点B到平 面ACD的距离为（) 2 2-3 C. 2W2 A. B. 3 3 3 【答案】D 【解析】如图，四面体ABCD中，AB,BC,BD两两垂直，以B为 原点，BC为x轴，BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，BC=BD=2上海数学研讨 点E是CD的终点，设BA=t,则A(0,0,t),B(0,0,0),C(2,0,0)D(0,2,0),AB=(0,0,-t) C=(-2,0,),CD=(-2,2,0)设平面ACD的法向量i=(xy,2), a1e身 则 ~直线AB与平面4CD所成角的正切值为 4 :直线AB与平面ACD所成角的正弦值为 AB. 2 RH同 2+月 3解得t=4(=-4舍) 平面AcD的法向量万-（吲，西-0A,-) ∴点B到平面ACD的距离为：d= AB.2-4 =故选：D. /93 V4 16.如图，设P为正四面体A-BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个 顶点的距离组成的集合记为M,如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有 ()个 A.4 B.6 C.10 D.14 【答案】C 【解析】符合条件的点P有两类： (1)6条棱的中点； (2)4个面的中心.共10个点. 故集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有4+6=10故选：C. 三.解答题 17.(1)5 (2)k=-3 18.（1)证明略(2)证明略 19.(1)15.125π (2)满足 20.如图，四边形ABCD是矩形，AD=2,DC=1,AB⊥平面BCE,BE⊥EC,EC=1.点 F为线段BE的中点. (1)求证：CE⊥平面ABE: (2)求证：DE∥平面ACF; (3)求AC和平面ABE所成角的正弦值， 【答案】（1)见解析 (2)见解析 (3) 5 5 【解析】(1)证明：如图，由AB⊥平面BCE,可得AB⊥CE,又由BE⊥EC, 而AB∩BE=B,ABC平面ABE,BEC平面ABE,故CE⊥平面ABE; (2)证明：连结BD交AC于M,连结FM,由点F为线段BE的中点， 可得FM/IDE,而FMc平面ACF,DE丈平面ACF,故DEII平面ACF; (3)由（1)知，CE⊥平面ABE,∠CAE即为AC和平面ABE所成的角. 由已知，4C=5,CE=1,在直角三角形ACE中，可得im2CAE=CS-5 AC 5 即AC和平面ABE所成角的正弦值为， 21.已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影 是AC与BD的交点O,已知∠BAD=60°，△PDB是等边三角形. (1)求证：AC⊥PD; (2)求二面角P-BC-A: (3)若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，真线PE与平面PBC所成的角最 大？求出最大角，并说明点E此时所在的位置. 【答案】(1)见解析 (2）arctan.2 (3)当点E在线段AD上靠近D点的 4 处时，直线PE与平面PBC所成的角最大，最大角为arcsin 【解析】(I)证明：因为点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O, 所以PO⊥平面ABCD,又ACC平面ABCD,所以PO⊥AC,因为四边形ABCD为菱形， 所以BD⊥AC,因为POBD=O,PO,BDC平面PBD,所以AC⊥平面PBD, 又PDc平面PBD,所以AC⊥PD (2)过P作PH⊥BC于H,连接OH,因为OP⊥平面ABCD,所以OH⊥BC, 所以∠PHO为二面角P-BC-A的平面角，由题意知，△PBD是边长为2的等边三角形， 所以P0=5,由sc=0C.0B=0H,BC,知oH=OCoB_5x1_5 .2 BC-2-2 在Rt△POH中，an∠PH0=PO=2,即∠PH0=actm2, OH 所以二面角P-BC-A的大小为artn2. (3)因为AD//BC,且AD丈平面PBC,BCC平面PBC,所以ADII平面PBC, 所以E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离h,因为'，-Psc=V,-CD, 所以3h:Sc-=OP.Sc,即：PH,BC=OP,BC.BDsin60, 3 所以h=OP·BDsi60°V5x2x 2215 ,设直线 V0P2+0H2 3 ,即E到平面PBC的距离为h=2 13+ 4 PE与平面PBC所成的角为0，则im8=h=2西 PE 5PE