专题训练：二次函数的图象与性质问题精练-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

二次函数的图象与性质问题 二次函数图象上的线段在解题中的应用 1．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为抛物线的顶点，点关于抛物线的对称轴的对称点为，点，分别在轴和轴上，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数综合，轴对称最短路径问题，勾股定理，先求出顶点D的坐标为，对称轴为直线，再求出，则由对称性可得，利用勾股定理求出；作点D关于y轴的对称点H，作点E关于x轴的对称点T，连接，则，，可推出当H、F、G、T四点共线时，最小，即此时四边形的周长最小，最小值为，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为，对称轴为直线， 在中，当，， ∴， ∵点关于抛物线的对称轴的对称点为， ∴， ∴； 如图所示，作点D关于y轴的对称点H，作点E关于x轴的对称点T，连接， ∴，， ∴四边形的周长， ∴当H、F、G、T四点共线时，最小，即此时四边形的周长最小，最小值为， ∵， ∴四边形的周长最小值为． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数的图象如下，在第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作轴，垂足为N，连接交于点Q，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，求一次函数解析式，过点Q作轴于点H，求出点C的坐标为，点B的坐标为，求出直线的解析式为：，设点P的坐标为，则点Q的坐标为：，求出，证明为等腰直角三角形，得出，求出，然后求出最大值即可． 【详解】解：过点Q作轴于点H，如图所示： 把代入得：， ∴点C的坐标为， 把代入得：， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为：， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点的直线与抛物线交于 F，G两点，点D 为抛物线的顶点，连接，将分成两部分的面积之差为1，求直线的解析式； (3)如图2，P为抛物线上异于顶点的任意一点，过点P 且与抛物线仅有一个交点的直线l与抛物线的对称轴交于点N，在抛物线的对称轴上有一点M，使得 求点 M的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线解析式为，联立得，则，求出，得到轴，，则，，根据将分成两部分的面积之差为1，当时，则，可得，，则直线解析式为；当时，则，可得，，则直线解析式为； （3）设，直线l解析式为，联立得，根据直线l与抛物线只有一个交点，得到，可得，则直线l解析式为，求出，设，由勾股定理得到，，则，可得，则，，可得． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线解析式为， 联立得， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴， ∵， ∴轴，， ∴，， ∵将分成两部分的面积之差为1， ∴当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 综上所述，直线解析式为或； （3）解：设，直线l解析式为， 联立得， ∵直线l与抛物线只有一个交点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线l解析式为， 在中，当时，， ∴， 设， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P不与顶点重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．其中，．    (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标； (3)如图2，为抛物线上任意一点，过做直线与抛物线有唯一交点（不与轴平行）交抛物线对称轴于点，为对称轴上一点，若始终满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，全等三角形的判定和性质，交点问题等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）利用待定系数法代入求解即可确定函数解析式； （2）根据函数解析式确定，，在坐标系中取点，连接并延长交抛物线与点E，过点M作轴于点H，根据全等三角形的判定和性质得出，，设直线的函数解析式为，然后确定一次函数解析式，联立求解即可； （3）设，直线l解析式为，联立两个函数得出，确定直线l解析式为，得出，设，根据，建立方程求解即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， ∴设抛物线的解析式为：， 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）， 当时， 解得：， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 根据题意，在坐标系中取点，连接并延长交抛物线与点E，过点M作轴于点H，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为，将点代入得： ，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立两个函数为：， 解得：或， ∴； （3）解：设，直线l解析式为， 联立得， ∵直线l与抛物线只有一个交点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线l解析式为， 在中， 当时，， ∴， 设， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于两点，交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E． ①当时，求点E的坐标； ②当取得最大值时，求点P的坐标． 【答案】(1)二次函数解析式为：； (2)①点E的坐标为；②点P的坐标为． 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数，二次函数解析式，解一元二次方程，二次函数图象的性质求最值的方法，掌握二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，二次函数与线段的数量关系是解题的关键． （1）把A，C的坐标代入，运用待定系数法即可求解； （2）①根据二次函数图象的性质可得，运用待定系数法求出直线的解析式，设，则，由此可得，关于p的代数式，根据列式求解即可；②根据，运用二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：把A，C的坐标代入得：， 解得，， ∴二次函数解析式为：； （2）解：①由（1）可得二次函数解析式为， ∴令时，， ， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵点P是第一象限内抛物线上点， ∴设， ∵轴交直线于点E， ， ， 当时，， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，， ， ∴当时，点E的坐标为； ②已知， ， ∴当时，有最大值，且最大值为， 此时， ∴点P的坐标为． 6．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拋物线的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)存在， 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形面积的计算，点的对称性，有一定的综合性，难度不大． （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与y轴的交点为点H，求出直线，抛物线与y轴的交点坐标，再由三角形的面积公式，即可求解； （3）由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小，进而求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴点， 把点代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线与y轴的交点为点H， 对于， 当时，， ∴直线与y轴的交点坐标为， 联立得：， 解得：或， ∴点， 对于，当时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在， 由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点A关于对称轴的对称点为点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：， ∴点E的坐标为． 7．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上找一点E，使的值最小，求出此时点E的坐标，并求的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点，的最小值为 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）如图1，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小，即可求解； （3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解． 【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、， 将点B、C的坐标代入二次函数表达式得： ，解得：， 故函数的表达式为：， 令，则或3，故点； （2）解：如图1中，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小， 函数顶点D坐标为，点， 设直线的解析式为，将、D的坐标代入得： ，解得， 直线的表达式为：， 当时，， 故点， 则的最小值为； （3）解：①当点P在x轴上方时，如图中， ∵，则，， 过点B作于点H，则， 设， 则， 由勾股定理得：，即， 解得：， 则， 则； ②当点P在x轴下方时， 同理可得； 故点P的坐标为或． 8．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，已知抛物线经过两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，直线的解析式是 ； (3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标，并求出此时的最小值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据对称性得到，进而得到当点在线段上时，的值最小，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故答案为：． （3）∵， ∴对称轴为直线， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小，为的长， 由（2）知：直线的解析式为：， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 9．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：如图1，抛物线与x轴相交于点，点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线第三象限上的一点，若，求点P的坐标； (3)如图2，点M为抛物线在点A左侧上的一点，点M与点N关于抛物线的对称轴对称，直线、分别交y轴于点E、D，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点，点，点代入解方程组即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，取的中点，连接，作于，轴于，如图，设，根据三角形面积公式得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到； （3）设，求得，求得直线的解析式为，得到，，同样可得直线的解析式为，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：把点，点，点代入 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， 取的中点，连接，作于，轴于，如图1， 设， ， ， ， ， 为斜边上的中线， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得， ； （3）解：设， 与两点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得， 直线的解析式为， ， 同样可得直线的解析式为， ， ． 10．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连结，，如图． (1)求直线与抛物线的函数表达式； (2)点是第一象限内直线上的一个动点，过点作轴，与抛物线交于点，试求出线段的长度的最大值； (3)在第一象限内，抛物线上是否存在一点，使得点到直线的距离为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)有最大值为 (3)存在，或 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法，利用二次函数解决最值问题，属于中考压轴题． （1）由可得，则，利用待定系数法即可求解； （2）设点的坐标为，则的坐标为，构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案； （3）过作轴交于点，交轴于点，作于，可得，则，设，则，则，由点在第一象限得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 点坐标为， 又抛物线 与轴交于，两点， 设抛物线解析式为， 点在抛物线上， ，解得， 抛物线解析式为， 即， 点坐标为， 可设直线解析式为， 把点坐标代入可得，解得， 直线解析式为； （2）解：设，则， ， ，函数图像开口向下， 当时，有最大值为； （3）解：如图，过作轴交于点，交轴于点，作于， 设，则， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当中边上的高为时，即， ， 点在第一象限， ， 解得或， 或， 综上可知，存在满足条件的点，其坐标为或． 二次函数图象上的三角形在解题中的应用 1．（黑龙江省龙东地区2024-2025学年上学期九年级数学期中联考试卷）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并直接写出此时点P的坐标； (3)Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，， (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】本题为二次函数综合题，涉及到待定系数法求函数表达式、二次函数最值、直角三角形的性质等． （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）设点，得到，，，分当为斜边时，当为斜边时，两种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 当时，， ， 设直线的表达式为将，代入，得， ， 解得， ， 设，， ， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 故设点， 由点的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：； 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点Q的坐标为或． 2．（24-25九年级上·海南·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为． ①当时，求点P的坐标； ②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值； ③当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)①；②，S有最大值6；③满足条件的t的值为或或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）①由，则，求出，再由即可求解； ②分三种情况讨论：当时，；当时，过点C作交于M，则M为的中点；当时，过点P作交于N，则N是的中点；分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：直线与x轴，y轴的交点坐标分别为， ∵抛物线与x轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴所求抛物线的函数表达式为，即； （2）解：①，则， ∴，， 当时，， 解得：或（与A重合，舍去）， 当时，， 故； ②∵，， ∴ ， ， ∵， ∴当时，S有最大值6； ③∵， 分三种情况讨论： 当时，， 解得或（舍）； 当时，过点C作交于M，则M为的中点，如图1， ∴， 解得或（舍）； 当时，过点P作交于N，则N是的中点，如图2， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述：满足条件的t的值为或或． 3．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），点P是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，直线交点的确定，用待定系数法求直线的解析式是解本题的关键，确定点的位置是解本题的难点． （1）用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先将求的周长最小就转化为求的最小值，确定出最小时的点的位置，再确定出直线的解析式即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 在抛物线上，， 解得． 抛物线的解析式为； （2）解： 中， 令，则 解得，， ，． ∵是定值， ∴求的周长最小就转化为求的最小值， 由抛物线的对称性，知点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴，当点三点共线时，取得最小值， 连接交直线于点，此时的值最小． 设直线的解析式为， ， 解得： 故直线的解析式为． 当 时，． ． 4．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知抛物线 经过两点． 与y轴交于点 C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一点，若 求出此时点P的坐标． (3)在对称轴上是否存在点Q，使 周长最小，若存在，求出点Q坐标和 周长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)的周长最小为，点的坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、轴对称的性质等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）将两点代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出，设点P的纵坐标为m，再列绝对值方程可求得；然后再分和两种情况求解即可； （3）先确定抛物线的对称轴为，如图：作点C关于对称轴为的对称点，则，连接，易得，则此时的周长最小；然后再运用两点间距离公式求得进而求得最小周长；再运用待定系数法求得直线的解析式为，然后令令，可得，即可确定点Q的坐标． 【详解】（1）解：将两点代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线 经过两点， ∴， 设点P的纵坐标为m， ∵， ∴，即，解得：； 当，有，解得：或4， ∴点P的坐标为或； 当，有，即， ∵， ∴方程无解． 综上，点P的坐标为或． （3）解：∵抛物线 ， ∴对称轴为， 如图：作点C关于对称轴为的对称点，则，连接 ∴， ∴， ∴周长为，此时的周长最小， ∵，，， ∴ ∴的周长最小为； 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 令，可得，即点； 综上，的周长最小为，点的坐标为． 5．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，全等三角形的性质等等： （1）根据题意把顶点代入到解析式的顶点式中，即可求解； （2）设，则，根据全等三角形的性质得到，求出的值，当 时，点位于直线的右侧，此时， ，求出点的坐标为，即可求解； 当 时，点位于直线的左侧，同理可解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴设抛物线的表达式为：； （2）解：在中，当 时，， ∴， 当时，即，解得：， 俗， ， 设，则， ∵和全等，且， ∴， ， 或． ①当 时，点位于直线的右侧， 此时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴对应点的坐标为或． ②当 时，点位于直线的左侧， 此时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴对应点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或，点的坐标为或． 6．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为抛物线顶点，Q为抛物线的对称轴上任意一点，若是等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)8； (3)，   ， ， 【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线的解析式，求出a、c的值，即可得出结果； （2）设直线的解析式为，根据点，的坐标求出解析式，过点P作x轴的垂线交于点H，求出，根据，即可； （3）先求出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：把点，点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵直线经过， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，如图所示： 设， ∴， ∴， ∵面积， ∴， ∴当时，面积最大值为8， 此时． （3）解：抛物线整理得：， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线， 设点Q的坐标为， ∴，，， 当时，则， 解得：，， ∴此时点Q的坐标为：，   ； 当时，则， 解得：， ∴点的坐标为：； 当时，， 解得：，， 当时，P、Q重合，不符合题意舍去， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，点的坐标为：，   ， ，． 7．（24-25九年级上·全国·期中）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为线段上的一动点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）设点的坐标为，则可表示出与，根据题意，列式求解得，则当时，有最大值，则可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、两点， ， 解得， 抛物线的解析式； （2）解：令，则， ， 设点的坐标为， 则有，，，，， 根据题意， ， ， 当时，有最大值， 此时，，， ，， ． ， 点的坐标为． 8．（24-25九年级上·全国·期中）直线与轴、轴分别交于点、点，抛物线经过点、，且轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限内抛物线上的一动点． ①如图1，若，求点的坐标； ②如图2，与交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2)①点的坐标为；② 【分析】（1）先利用一次函数解析式求点和点的坐标，再设出交点式，将点的坐标代入求解； （2）①先利用等腰直角三角形的性质可判定点在直线上，则可设设，然后把代入中求出点的坐标；②作轴交于，轴交直线于，先证明，再结合三角形面积公式得到，设得到，求出，进而求解． 【详解】（1）解：当时，， 则， 当时，， 解得x＝， 则， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即； （2）解：①， 为等腰直角三角形， ， ∴点在的垂直平分线上， 即点在直线上， 设， 把代入 得， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为； ②作轴交于，轴交直线于，如图2， ， ， ． ， ， 当时，， 则． 设， 则， ， ， ∴当时，的最大值为． 9．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第二象限内的一个动点，连接，，设点P的横坐标为m． (1)求线段的长； (2)请用含m的代数式表示的面积； (3)若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】（1）令，求出，，即可得解； （2）连接，求出，得到，求出，由题意得：，求出，，再由即可得解； （3）根据题意结合（2）得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， ∴； （2）解：如图，连接， ， 在中，令，则，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴，， ∴； （3）解：由（2）可得：， 由题意得：， 解得：，， ∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 10．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为8 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 二次函数图象上的四边形在解题中的应用 1．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图，抛物线图象经过点，对称轴，与y轴相交于点，与x轴相交于点 A、B． (1)求抛物线的表达式，及A、B两点的坐标； (2)点F 是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数与轴的交点，二次函数与特殊的四边形的综合．熟练掌握二次函数的解析式，二次函数与轴的交点，二次函数与特殊的四边形的综合是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，则，可求，则抛物线的表达式为；当时，，计算求解，进而可求； （2）设，由，可知当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，分，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， ∵抛物线图象经过点，对称轴，与y轴相交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 当时，， 解得，，， ∴； （2）解：设， ∵， ∴当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，分，两种情况求解； 当时，，，如图1， ∴关于对称轴直线对称， ∴； 当时，如图2，记的交点为， ∴， 解得，， ∴，， 综上所述，存在，点F 的坐标为或或． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质． （1）先求得两点的坐标，再根据对称轴是直线，列方程组求解即可； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）设点P的坐标为：，根据勾股定理求出，根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 又∵对称轴是直线：， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得：，， ∴点B的坐标为， 又∵点，点， ∴，，， 过D作轴于E，交于E， ∵点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m， ， ， ， ， ， ， 当时，S有最大值，， 当时， ； （3）存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下： ∵点P在抛物线的对称轴上， ∴可设点P的坐标为：， ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴，与互相垂直平分， 设直线与x轴交于点F，过点P作轴，与交于点K， ∵点， ∴，，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 设点K的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 设点Q的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 解得：，， ∴点Q的坐标为． 3．（24-25九年级上·河南·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴，垂足为点M，交直线于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或； (3)存在，或或或 【分析】本题属于二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴是直线，再把点、代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出，再运用待定系数法求得直线的解析式为；设点D坐标为，则点，进而得到，，，再分、、三种情况分别求解即可； （3）设，再求得，然后分以为对角线和边两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A， ∴，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式． （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得：， ∴直线的解析式为； 设点D坐标为，则点， ∵， ∴，，， ①当时，， ∴，解得（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为； ②当时，， ∴，解得：，（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为； ③当时，， ∴，解得：， ∴点N的坐标为． 综上，存在，点N的坐标为或或． （3）解：设， ∵， ∴， ①以为对角线时，， ∴，解得：，或， ∴或， ∵， ∴，或 ∴，或， ∴点F的坐标为或； ②以为边时，或， ∴或， 解得：或， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， ∴点F的坐标为或， 综上所述：存在，点F的坐标为或或或． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点D是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)当的面积等于的面积的时，求的值； (4)在（）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)； (3)的值为； (4)存在，点的坐标为或或或． 【分析】（）把、代入列方程组求出的值即可； （）连接交抛物线的对称轴于点，连接，先求得直线的函数表达式为，根据轴对称的性质和两点之间线段最短证明点与点重合时， 的周长最小，求出此时点的坐标即可； （）作轴于点，交于点，求出直线的函数表达式，则 ，再用含的代数式表示的长及 的面积，根据的面积等于的面积的列方程求出的值即可； （）先证明当点的纵坐标与点的纵坐标相等或互为相反数, 且时，以点为顶点的四边形是平行四边形，按点在轴上方或点在轴下方分类讨论，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接交抛物线的对称轴于点，连接， ∵点，代入关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线，且直线垂直平分线段， ∴，， ∵， ∴当点与点重合时，， 此时，可知的值最小， 在中，的边为定值， ∴当的值最小时，则的周长最小， 由抛物线的解析式为，当时，， ∴， 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，， ∴； （3）解：如图，作轴于点，交于点， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， 整理得， 解得（不符合题意，舍去），， ∴的值为； （4）解：存在，设， 当时，， 如图，四边形、四边形都是平行四边形，点的纵坐标， ∵点与点关于抛物线的对称轴直线对称， ∴点， ∵， ∴，； 如图，四边形、四边形都是平行四边形，点的纵坐标， ∴， 整理得， 解得，， ∴，， 作轴于点，轴于点，轴于点， 则，，，， ∵，，， ∴， ∴， 同理 ∴，， 综上所述，点的坐标为或或或． 5．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)的最大值为 (3) (4)的值为或 【分析】（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （3）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可表示出M点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （4）由条件可得出，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过A、C两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为， 令可得，，解， ∵B点在A点右侧， ∴B点坐标为， 设直线解析式为， 把B、C坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （2）∵轴，点P的横坐标为m， ∴， ∵P在线段上运动， ∴M点在N点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （3）∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴M点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （4）∵轴， ∴， 当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有， 当点P在线段上时，则有， ∴，此方程无实数根， 当点P不在线段上时，则有， ∴，解得或， 综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或． 6．（24-25九年级上·全国·期中）已知二次函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，如图． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)点的坐标为； (3)存在，以四点为顶点的四边形为平行四边形时点坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法，设顶点式求出二次函数的表达式； （）根据轴对称最短路径问题得到点的位置，利用待定系数法求出直线的函数解析式，令代入计算得到答案； （）根据平行四边形的性质和平面直角坐标系中点坐标特点分三种情况当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时分析即可解答； 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想，掌握待定系数法求二次函数是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设函数表达式为， ∵图象过点点， ∴，解得，， ∴二次函数的表达式为，即； （2）解：如图，连接， 由（）得：二次函数的表达式为， 当时，， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵关于对称轴直线对称，点在对称轴上， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，的周长最小， 设直线的函数解析式为， 则，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：存在，理由： ∵点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上， ∴设，， 当为对角线时， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时， ∴，解得：， ∴； 综上可知：以四点为顶点的四边形为平行四边形时点坐标为或或． 7．（2024九年级下·全国·专题练习）已知抛物线经过点，与x轴交于，B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点，以A，E，C，D为顶点作平行四边形，若C，D（点C在点D的左侧）两点都在抛物线上，求C，D两点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿x轴平移，使其顶点在y轴上，得到抛物线，过定点的直线交抛物线于M，N两点，过点M，N的直线与抛物线都只有唯一公共点．求证：点R在定直线上运动． 【答案】(1) (2)点或点 (3)见解析 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）将点和点代入抛物线，解方程组即可得到结论； （2）若为平行四边形的边，设，，若为平行四边形的对角线，设，由平移得，解方程组即可得到结论； （3）求得的顶点坐标为，根据平移的性质得到，设抛物线上任意两点,，,所在直线解析式为，根据一元二次方程根与系数的关系的性质得到，，得，，；设两点横坐标为、，取，，得到解析式为；求得，即；取，，得到解析析为；取，，得到解析析为；解方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线，得， 解得， 故解析式为； （2）解：若为平行四边形的边，设，， 将点代入抛物线得， 解得， ，； 若为平行四边形的对角线，设， 由平移得， 将点代入抛物线得， 解得，或， ，（不符合题意，舍去）或，； 综上所述，，或，； （3）解：的顶点坐标为， 将抛物线沿轴平移，使其顶点在轴上，得到抛物线， ， 设抛物线上任意两点，，，所在直线解析式为， 与抛物线联立得：， ，，得，，； 设、两点横坐标为、， 取，， 则解析析为； 过， ，即； 取，，则解析析为； 取，，则解析析为； 解，得， 点在定直线上运动． 8．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】（1）设顶点式，展开得，解方程求出a即可得到抛物线解析式； （2）根据题意推出，为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，从而建立起的函数表达式，最终利用函数法求最值； （3）分、为边；、为边；、为边讨论，通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 即， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知， 当时，， ， ， 是等腰直角三角形，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ， P是抛物线上位于直线上方的一个动点，点P作轴交于点D， 设，则， ，其中， 如图，延长交于点G，则， 由题意可得是等腰直角三角形， ， ， ， 当时，取最大值，此时； （3）解：∵，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，即原函数向右平移2个单位，向上平移2个单位， ∴平移后的函数解析式为， 将与联立，得， 解得， ∴ ∴两条抛物线交点M的坐标为， 设，，连接， ，，， ①如图，以为边，作交对称轴于N，可构造矩形， ， ， 解得， ∴ 由A，M，N，H四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； ②以为边，作交对称轴于N，可构造矩形， ， ， 解得， ∴ 由A，M，N，H四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； ③如图，以为对角线，作交对称轴于N，可构造矩形， ， ， 解得， ∴或， 当N的坐标为时， 由A，M，N，H四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 当N的坐标为时， 由A，M，N，H四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 综上可知，H点的坐标为或或或． 9．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点时，的面积取得最大值，最大值为4； (3)或或． 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． （1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解； （3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得， 直线的解析式为：， 设点， ， ， ， ，且， 当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：，，设，， ①以、为对角线时，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线时，， ， 或， 或； 综上所述：或或． 二次函数图象上的相似三角形在解题中的应用 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； (3)如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）连接，过点作轴的对称点，角度推导得到，设直线表达式为：，代入得：，解得：，则，设直线表达式为：，求得直线表达式为： ，联立直线表达式和抛物线表达式，得：求解即可； （3）根据题意需要分两种情况，当时，当时，一种是发现，另一种过点作轴于点，得到为等腰直角三角形，则，建立方程，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将，点的坐标，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：连接，过点作轴的对称点， 对于，当，则， 解得：或， ∴， 则， 由对称得：， 当，， ∴，而由知， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴， 设直线表达式为：，代入得：， 解得：， ∴, ∴设直线表达式为：， 代入得：， 解得：， ∴直线表达式为： ， 联立直线表达式和抛物线表达式，得：， 解得：或（舍）， ∴； （3）解：存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，过点作轴于点， 由上知， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则, 则，， ∴， 解得：或； 当时，则 令， 解得：或（舍） 即， 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接、，A、C两点的坐标分别为．且当和时二次函数的函数值y相等．点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接，将沿MN翻折得到． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P恰好落在边上，求t的值及点P的坐标； (3)在点M、N运动过程中，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 或或或 【分析】1）先判断出抛物线的对称，从而可得到点的坐标，设抛物线的解析式为，将可求得的值，从而可得到抛物线的解析式； （2）先求得、、的长, 然后可得到和 的度数，然后再证明 、均为等边三角形，过点作轴，垂足为，则 然后依据，列方程求解即可； （3）先证明然后分为 三种情况画出图形，然后再利用特殊锐角三角函数值可求得点的坐标. 【详解】（1）解：∵当和时二次函数的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为， 又∴， ∴， 设抛物线的解析式为，将代入得： 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ， ， ， 又 为等边三角形， 由翻折的性质可知为等边三角形， ， 如图所示：过点作轴，垂足为， ， ， ， ， 解得：， ， （3）由翻折的性质可知， 又∵， ∴平分 ， ， 如图所示： 当时， ， ， ， ， ， ， ； 如图所示：当 ，， ， ， ， ， ， 如图所示：当时， ，， ， ， ， ， 当时, 设， 可得， ， 解得， ， 如图，延长交对称轴于，当时 可得， 综上所述，当 或或或时，二次函数图象的对称轴上存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似． 3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求的最小值以及此时点P的坐标； (3)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)最小值为6，点P的坐标为 (3)Q点坐标为 【分析】（1）令，解一元二次方程即可求得抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标；令，则可求得抛物线与y轴的交点C的坐标； （2）把点B向上平移1个单位到点D，连接，则四边形是平行四边形，从而有，故，当点P在线段上时，取得最小值，由勾股定理求得的长，即可求得最小值；再求出直线的解析式，即可求得点P的坐标； （3）设，则得P点坐标；分两种情况考虑，利用相似三角形的性质建立方程即可求得t的值，从而求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：令，解得：， ∴； 令，则， ∴； （2）解：把点B向上平移1个单位到点D，连接，如图； 则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当点P在线段上时，取得最小值，且最小值为； 由勾股定理得， ∴最小值为； 设直线的解析式为，把C、D坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即点P的坐标为； （3）解：设， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴，， ∴，； ∵轴， ∴，； ①当时， 则，即， ∴， 解得：， 此时，Q点坐标为； ②当时， 则，即， ∴， 整理得：， ， 则方程无解； 综上，Q点坐标为． 4．（九年级下·湖北十堰·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交y轴于点，点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线于点F，交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积最大时，求M点的坐标； (3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在， 或． 【分析】（1）将A，B，C三点的坐标代入，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组即可； （2）设，则，求得直线的解析式为，即可得到，根据三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得结论； （3）分和两种情况列式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：设，则， 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，即当时，； （3）解：存在以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下： 设，则，． ∴， 如图，过点作轴于点，则， 由（1）可得：，，则 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点， ①当时，则，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴； ②当时，，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴ 综上所述，或 5．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系内，点，点，点．连接． (1)求经过点A、B、C三点的抛物线的表达式； (2)点D在x轴正半轴上，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标． (3)在（1）的抛物线上找一点E，使得的值最小并求点E的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）设抛物线的表达式为：，将代入得，，可求，进而可得抛物线的表达式； （2）由题意知，，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解作答即可； （3）由题意知，当的值最小时，，在的垂直平分线上，如图，由，可得的垂直平分线过原点，且平分第一、三象限，进而可得表达式为：，联立，计算求解，进而可得点E坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 将代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：由题意知，， 当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，分，两种情况求解； 当时，，即， 解得，， ∴； 当时，，即， 解得，， ∴； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：由题意知，当的值最小时，，在的垂直平分线上，如图， ∵， ∴的垂直平分线过原点，并且平分第一、三象限， ∴表达式为：， 联立， 解得，，， ∴点E或． 6．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标； (3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值； (4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3) (4)存在，或 【分析】（1）求出，，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设与y 轴交于点E，求出点A的坐标是，得到，证明，则，得到，求出直线的解析式为，联立直线和抛物线解析式即可求出答案； （3）作轴于点K，交于点F，设点P的坐标为，则点F的坐标为，则，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用二次函数的性质即可得到答案； （4）求出．得到，．则，证明．则当N的坐标为时，．连接，过点C作，交x轴与点N．证明．得到．则，即，解．即可得到． 【详解】（1）把代入，得， ∴． 把代入得：， ∴， 将、代入得：， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）设与y 轴交于点E，如图， 当时，， 解得， ∴点A的坐标是， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，把，代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 联立得到，解得，， ∴点D的坐标是； （3）作轴于点K，交于点F，如图， 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）， ∴． 又∵、， ∴，． ∴， ∴． ∵， ∴．， ∴． 又∵， ∴． ∴当N的坐标为时，． 如图所示：连接，过点C作，交x轴与点N． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴，即，解得：． ∴， ∴． 综上所述，当N的坐标为或时，以A，C，N为顶点的三角形与相似． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点． (1)填空：写出下列点的坐标______；______；______； (2)设点是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接，求的面积的最大值； (3)点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)最大值为； (3)点坐标为或． 【分析】（）当时，解出的值，即可知道点坐标； 当时，解出的值，即可知道点坐标； （）过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点，设 ，求出长度，再转化的面积，得到 ，进而可求出面积最大值； （）通过计算可得，进而可知只可能存在和 两种情况，利用相似三角形性质进行分情况讨论即可； 本题考查了二次函数综合问题、面积最值问题以及相似三角形性质，能够正确做出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线 与轴交于两点，且与轴交于点， ∴当时，，解得，， 当时，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）如图，过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点， 由题意得， 解得 或， ∴， 设，则， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ∴当时，的面积的达到最大值，最大值为； （3）如图，过点作 轴，垂足为点， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， 又∵， ∴，，， 设，则， ∵， ∴只可能存在和 两种情况， 当时， ∴，即， 解得：； 当时， ∴，即， 解得， 综上点坐标为或． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，且与轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点． (1)填空：写出下列点的坐标A__________，B__________，C__________； (2)设点是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接、，求的面积的最大值； (3)点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)，，． (2)． (3)或． 【分析】（1）当时，解出的值，即可知道、点坐标；当时，解出的值，即可知道点坐标； （2）过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点，设，求出长度，再转化的面积，得到，进而可求出面积最大值； （3）通过计算可得，进而可知只可能存在和两种情况，利用相似三角形性质进行分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，且与轴交于点， ∴当时，，解得，， 当时，， ∴，，， 故答案为：，，． （2）如图，过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点， 由题意得， 解得， ∴， 设，则， ∵在直线上， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴当时，的面积的达到最大值，最大值为． （3）如图，过点作轴，垂足为点， ∵，，，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，，， 设，则， ∵， ∴只可能存在和两种情况， 当时，有，即，解得， 当时，有，即，解得， 综上点坐标可以为或． 二次函数图象上的字母的取值范围在解题中的应用 1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，．点P是抛物线上一点，其横坐标为m．点Q的坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的取值范围是______； (3)将抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点）记为图象G，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围值； (4)连结，以线段为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的性质等，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． （1）将、两点的坐标代入解析式，即可求解； （2）求出对称轴为直线，对称轴在自变量的取值范围内可求最小值，由越靠近顶点所对应的函数值越小，即可求解； （3）进行分类讨论：①当时， ②当时， ③当时， ④当时，结合图象即可求解； （4）进行分类讨论：①当时， ②当时，③当时， ④当时，画出图象，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ； （2）解：对称轴为直线， ， ， 当时， ， 当时， ， 故答案：； （3）解：①当时， 此时， 此种情况不存在； ②当时， 此时； ③当时， 此时， 此种情况不存在； ④当时， ， ， 解得：，（舍去）； 综上所述：或； （4）解：①当时， ， ， 如图， 不符合在矩形内的函数图象为y随x的增大而减小， 故此种情况不存在； ②当时， ， ， 如图， 不符合在矩形内的函数图象为y随x的增大而减小， 故此种情况不存在； ③当时， ， ， 如图， 不符合在矩形内的函数图象为y随x的增大而减小， 故此种情况不存在； ④当时， ， ， 如图， 在矩形内的函数图象为y随x的增大而减小， ， 解得：； 综上所述：． 2．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）【项目式学习】如图，抛物线与x轴分别交于A、B两点（A、B分别在原点左右两侧），与y轴交于点C，点P为抛物线上第一象限内一动点，过点A、点P的直线交y轴于点M，过点B、点P的直线交y轴于点N，连接，试探究之间的数量关系．为探究该问题，拟采用研究问题的一般路径一一由特殊到一般的研究方式： (1)设． ①若点P的横坐标为2，计算：______，______； 比较大小：______（填“>”、“=”或“<”）． ②若点P的横坐标为m，上述、之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (2)根据上述研究经验，当A、B两点的横坐标为、时，之间的数量关系仍然成立吗？请说明理由． (3)若，求出k的取值范围． 【答案】(1)①；②仍然成立，理由见详解 (2) (3) 【分析】（1）①由已知确定函数的解析式，求出的坐标，再由待定系数法求出直线与直线的解析式，从而得到点坐标，分别计算即可； ②同理①，由待定系数法求出直线与直线的解析式，从而得到点坐标，分别计算即可； （2）分别求出的坐标，由待定系数法求出直线与直线的解析式，从而得到点坐标，分别计算即可； （3）令，根据面积公式求出的表达式为，再求的范围即可． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， 解得：或， ， ， ， ∵点的横坐标为2， ， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ， 同理可求直线的解析式为， ， ， ， ， 故答案为：； ②仍成立，理由如下： ∵点的横坐标为， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ， 同理可求直线的解析式为， ， ， ， ； （2）解：∵A、B两点的横坐标为、， ∴， ， 设， ∴同（1）得直线的解析式为， 同理直线的解析式为， ， ， ； （3）解： ， 令， ， ， ， ． 3．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，，自M，N引直线的垂线，垂足分别为，． (1)若抛物线与直线，，，围成的正方形有公共点，求：实数的取值范围； (2)若a取（1）中范围的最小值； ①求证：； ②求证：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）先根据题意画出图形，分别把，代入抛物线的解析式，求出a的值，根据抛物线的性质，求出a的范围即可； （2）①当a取（1）中范围的最小值时，得出抛物线的解析式为：，根据题意得出，，求出，根据，得出，即可证明结论； ②设经过点F的直线为，联立，得出，根据根与系数的关系得出，根据两点间距离公式得出，证明为直角三角形，，即可得出结论． 【详解】（1）解：设直线，，，围成的正方形为，如图所示： 则，， 把代入得：， 把代入得：，解得：， ∵二次函数中越大开口越小， ∴当时，抛物线与直线，，，围成的正方形有公共点； （2）解：①当a取（1）中范围的最小值时，抛物线的解析式为：， ∵自M，N引直线的垂线，垂足分别为，，且，， ∴，， ∴， ∵点M在抛物线上， ∴，即， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； ②设经过点F的直线为， 联立， 则， 整理得：， ∵， ∴方程一定有两个不相等的实数根， ∴， ∵，，， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 4．（24-25九年级上·浙江·期中）如图1，抛物线经过点，，并交x轴于点E，F（点F在点E的右边）． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)如图2，为y轴上一动点，点D的坐标为，过三点P，E，F作抛物线，连接． ①当抛物线的顶点落在线段上时，求此时t的值． ②当抛物线与线段只有一个交点时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②t的取值范围为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求得点，，再求得抛物线的对称轴，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求得的函数表达式，即可求解； ②分情况讨论，当，且抛物线在点D的上方时，抛物线与线段只有一个交点；当抛物线与线段相切时；当，且抛物线在点B的下方时，抛物线与线段只有一个交点，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：把，代入， 得解得， ∴； （2）解：①在中， 令，解得，， ∴点，， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 把，代入得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴抛物线的顶点坐标为， 设的函数表达式为， 把，代入，解得， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴把代入，得； ②设的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴的函数表达式为， 当，且抛物线在点D的上方时，抛物线与线段只有一个交点， 此时，； 当抛物线与线段相切时， 联立得， 整理得， ， 解得或（舍去）， 当，且抛物线在点B的下方时，抛物线与线段只有一个交点， 把代入，得，解得 此时，； 综上，t的取值范围为或或． 5．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中O为坐标原点，抛物线与y轴的交点为，与x轴的一个交点为．P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，过点P作轴于点Q．以为边作矩形PQAM． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点O在矩形的边上时，求m的取值范围； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，求m的取值范围； (4)当时，设矩形垂直于y轴的边所在的直线分别为、，若该抛物线的顶点到这两条直线的其中一条直线的距离是到另一条直线的距离的2倍时，直接写出m的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得抛物线与x轴的另一个交点为，当点O在矩形的边上时，点P在x轴的上方，据此求解即可； （3）当时，函数值y随x的增大而增大，据此求解即可； （4）先求得顶点坐标为，设点，再求得点到直线的距离为，点到直线的距离为，分和两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴抛物线的函数关系式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 当点O在矩形的边上时， ∴点P在x轴的上方，此时； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，且开口向上， ∴当时，函数值y随x的增大而增大， ∵抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大， ∴； （4）解：∵， ∴顶点坐标为， 设点， ∴点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 当时， 则， 整理得， 解得； 当时， 则， 整理得， 解得； 综上，或． 6．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线与轴交于点． (1)当，，求该抛物线与轴交点坐标； (2)若，点在二次函数抛物线的图象上，且，试求的取值范围； (3)若点的坐标是，当时，抛物线与轴只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）由，可得抛物线解析式，令即可求解； （2）根据题意得到抛物线的对称轴为，且开口向下，根据抛物线对称性可得抛物线经过，再根据抛物线的增减性得到的取值范围； （3）由点坐标求出的值为，求出直线，直线与抛物线的交点坐标，分类讨论，，三种情况，列不等式求解． 【详解】（1）解：当，时，， 令，则，解得，， 抛物线与x轴交点坐标为，； （2）解：， 抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， 将代入得， 抛物线经过， 由抛物线对称性可得抛物线经过， 时，随增大而减小，时，随增大而增大，且， ． （3）解：点A的坐标是， ， ， 时，抛物线与轴只有一个公共点， 当时，， 直线与抛物线交点坐标为， 当时，， 直线与抛物线交点坐标为， ①当时，抛物线顶点在轴上，满足题意，解得（舍去）或； ②当时，若点在轴上或轴下方，点在轴上方满足题意， 则，无解； ③当时，若在轴上方，点在轴下方满足题意， ，解得． 综上所述，或． 7．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点是此抛物线上的点，其横坐标为，连结，取的中点，过点作轴的平行线交此抛物线于点，连接、． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)当抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大时，求的取值范围． (3)当点的纵坐标为1时，求点的坐标． (4)当的边与轴平行时，直接写出此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点纵坐标的差． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)1或 【分析】（1）根据点及抛物线的对称轴可进行求解； （2）由题意和抛物线的对称轴和增减性即可求解； （3）根据点的纵坐标为1，算出横坐标，即可求解； （4）由题意可分①当轴时，②当轴时，③当轴时，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴该抛物线对应的函数关系式为； （2）解：∵点的横坐标为为的中点， ∴点的横坐标为， ∵过点作轴的平行线交此抛物线于点， ∴点的横坐标为， ∴点、点都在对称轴的右侧时，即时，抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大； （3）解：当点的纵坐标为1时， ∵点的横坐标为为的中点，点的横坐标为， ∴， 解得：或， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上，或． （4）解：根据题意可得抛物线的函数关系式为， 故顶点坐标为， ①当轴时，点关于对称轴直线对称， 此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是两点，纵坐标是， 此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是顶点，纵坐标是， 故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为； ②当轴时，点关于对称轴直线对称， ∴点的坐标为， 此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是点，纵坐标是， 此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是，纵坐标是， 故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为； ③当轴时，点关于对称轴直线对称， 点的坐标为，点的坐标为， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点的坐标为， 此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是点，纵坐标是， 此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是，纵坐标是， 故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为； 综上，此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为1或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数的图象与性质问题 二次函数图象上的线段在解题中的应用 1．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为抛物线的顶点，点关于抛物线的对称轴的对称点为，点，分别在轴和轴上，则四边形周长的最小值为 ． 2．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数的图象如下，在第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作轴，垂足为N，连接交于点Q，则的最大值是 ． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点的直线与抛物线交于 F，G两点，点D 为抛物线的顶点，连接，将分成两部分的面积之差为1，求直线的解析式； (3)如图2，P为抛物线上异于顶点的任意一点，过点P 且与抛物线仅有一个交点的直线l与抛物线的对称轴交于点N，在抛物线的对称轴上有一点M，使得 求点 M的坐标． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．其中，．    (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标； (3)如图2，为抛物线上任意一点，过做直线与抛物线有唯一交点（不与轴平行）交抛物线对称轴于点，为对称轴上一点，若始终满足，求点的坐标． 5．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于两点，交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E． ①当时，求点E的坐标； ②当取得最大值时，求点P的坐标． 6．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拋物线的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 7．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上找一点E，使的值最小，求出此时点E的坐标，并求的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 8．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，已知抛物线经过两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，直线的解析式是 ； (3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标，并求出此时的最小值． 9．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：如图1，抛物线与x轴相交于点，点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线第三象限上的一点，若，求点P的坐标； (3)如图2，点M为抛物线在点A左侧上的一点，点M与点N关于抛物线的对称轴对称，直线、分别交y轴于点E、D，求的值． 10．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连结，，如图． (1)求直线与抛物线的函数表达式； (2)点是第一象限内直线上的一个动点，过点作轴，与抛物线交于点，试求出线段的长度的最大值； (3)在第一象限内，抛物线上是否存在一点，使得点到直线的距离为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数图象上的三角形在解题中的应用 1．（黑龙江省龙东地区2024-2025学年上学期九年级数学期中联考试卷）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并直接写出此时点P的坐标； (3)Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·海南·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为． ①当时，求点P的坐标； ②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值； ③当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的t的值． 3．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），点P是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当的周长最小时，求点P的坐标． 4．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知抛物线 经过两点． 与y轴交于点 C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一点，若 求出此时点P的坐标． (3)在对称轴上是否存在点Q，使 周长最小，若存在，求出点Q坐标和 周长，若不存在，请说明理由． 5．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标． 6．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点为抛物线顶点，Q为抛物线的对称轴上任意一点，若是等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 7．（24-25九年级上·全国·期中）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为线段上的一动点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，当的面积最大时，求点的坐标． 8．（24-25九年级上·全国·期中）直线与轴、轴分别交于点、点，抛物线经过点、，且轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限内抛物线上的一动点． ①如图1，若，求点的坐标； ②如图2，与交于点，求的最大值． 9．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第二象限内的一个动点，连接，，设点P的横坐标为m． (1)求线段的长； (2)请用含m的代数式表示的面积； (3)若，求点P的坐标． 10．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 二次函数图象上的四边形在解题中的应用 1．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图，抛物线图象经过点，对称轴，与y轴相交于点，与x轴相交于点 A、B． (1)求抛物线的表达式，及A、B两点的坐标； (2)点F 是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·河南·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴，垂足为点M，交直线于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点D是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)当的面积等于的面积的时，求的值； (4)在（）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 6．（24-25九年级上·全国·期中）已知二次函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，如图． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024九年级下·全国·专题练习）已知抛物线经过点，与x轴交于，B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点，以A，E，C，D为顶点作平行四边形，若C，D（点C在点D的左侧）两点都在抛物线上，求C，D两点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿x轴平移，使其顶点在y轴上，得到抛物线，过定点的直线交抛物线于M，N两点，过点M，N的直线与抛物线都只有唯一公共点．求证：点R在定直线上运动． 8．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由． 二次函数图象上的相似三角形在解题中的应用 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； (3)如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接、，A、C两点的坐标分别为．且当和时二次函数的函数值y相等．点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接，将沿MN翻折得到． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P恰好落在边上，求t的值及点P的坐标； (3)在点M、N运动过程中，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求的最小值以及此时点P的坐标； (3)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 4．（九年级下·湖北十堰·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交y轴于点，点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线于点F，交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积最大时，求M点的坐标； (3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系内，点，点，点．连接． (1)求经过点A、B、C三点的抛物线的表达式； (2)点D在x轴正半轴上，当以点D、O、C为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标． (3)在（1）的抛物线上找一点E，使得的值最小并求点E的坐标． 6．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标； (3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值； (4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点． (1)填空：写出下列点的坐标______；______；______； (2)设点是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接，求的面积的最大值； (3)点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，且与轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点． (1)填空：写出下列点的坐标A__________，B__________，C__________； (2)设点是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接、，求的面积的最大值； (3)点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 二次函数图象上的字母的取值范围在解题中的应用 1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，．点P是抛物线上一点，其横坐标为m．点Q的坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的取值范围是______； (3)将抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点）记为图象G，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围值； (4)连结，以线段为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围值． 2．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）【项目式学习】如图，抛物线与x轴分别交于A、B两点（A、B分别在原点左右两侧），与y轴交于点C，点P为抛物线上第一象限内一动点，过点A、点P的直线交y轴于点M，过点B、点P的直线交y轴于点N，连接，试探究之间的数量关系．为探究该问题，拟采用研究问题的一般路径一一由特殊到一般的研究方式： (1)设． ①若点P的横坐标为2，计算：______，______； 比较大小：______（填“>”、“=”或“<”）． ②若点P的横坐标为m，上述、之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (2)根据上述研究经验，当A、B两点的横坐标为、时，之间的数量关系仍然成立吗？请说明理由． (3)若，求出k的取值范围． 3．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，，自M，N引直线的垂线，垂足分别为，． (1)若抛物线与直线，，，围成的正方形有公共点，求：实数的取值范围； (2)若a取（1）中范围的最小值； ①求证：； ②求证：． 4．（24-25九年级上·浙江·期中）如图1，抛物线经过点，，并交x轴于点E，F（点F在点E的右边）． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)如图2，为y轴上一动点，点D的坐标为，过三点P，E，F作抛物线，连接． ①当抛物线的顶点落在线段上时，求此时t的值． ②当抛物线与线段只有一个交点时，直接写出t的取值范围． 5．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中O为坐标原点，抛物线与y轴的交点为，与x轴的一个交点为．P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，过点P作轴于点Q．以为边作矩形PQAM． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点O在矩形的边上时，求m的取值范围； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，求m的取值范围； (4)当时，设矩形垂直于y轴的边所在的直线分别为、，若该抛物线的顶点到这两条直线的其中一条直线的距离是到另一条直线的距离的2倍时，直接写出m的值． 6．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线与轴交于点． (1)当，，求该抛物线与轴交点坐标； (2)若，点在二次函数抛物线的图象上，且，试求的取值范围； (3)若点的坐标是，当时，抛物线与轴只有一个公共点，求的取值范围． 7．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点是此抛物线上的点，其横坐标为，连结，取的中点，过点作轴的平行线交此抛物线于点，连接、． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)当抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大时，求的取值范围． (3)当点的纵坐标为1时，求点的坐标． (4)当的边与轴平行时，直接写出此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点纵坐标的差． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$