专题突破：解直角三角形的应用问题（4大题型）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（湘教版）

专题突破：解直角三角形的应用问题 常用策略 1、解非直角三角形：可考虑适当添加辅助线构造直角三角形或其他特殊的四边形； 2、仰角、俯角问题：仰角、俯角是视线相对于水平线而言的，巧记“上仰下俯”，视线、水平线、物体的高构成直角三角形； 3、坡角与坡度问题：坡角是指坡面与水平面所成的夹角，坡度（坡比）是指坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫作坡度（坡比）； 4、方位角问题：先在每个位置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角函数解决问题。 题型一 解非直角三角形 【例1】（九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【变式1-1】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【变式1-2】（九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【变式1-3】（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 【变式1-4】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【变式1-5】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 【详解】解：如图，作边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 【变式1-6】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 【变式1-7】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 【变式1-8】（河南安阳·模拟预测）公交总站点与、两个站点的位置如图所示，已知km，，，求站点离公交总站的距离即的长结果保留根号． 【答案】 【分析】过点C作交的延长线于D，易得是等腰直角三角形，由勾股定理可求得的长，再由含角直角三角形的性质求得，再由勾股定理可求得，从而求得． 【详解】过点C作交的延长线于D，如图， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ，， ， 由勾股定理得， ． 题型二 仰角、俯角问题 【例2】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）【项目式活动探究】光岳楼位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），被誉为中国十大名楼，光岳楼为中国既古老又雄伟的木构楼阁，是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作，在中国古代建筑史上有着重要地位，1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉，某校数学实践小组利用所学数学知识测量光岳楼的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果.下面是两个方案及测量数据（不完整） 项目 测量光岳楼的高度 方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数.测量：距离，仰角，仰角 说明 、、三点在同一条直线上 、、三点在同一条直线上 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 【问题解决】 (1)“方案一”两次测量塔影长的平均值是 (2)根据“方案一”的测量数据，可求得光岳楼的高度为 (3)根据“方案二”的测量数据，求出光岳楼的高度；（参考数据：，，）注：结果保留1位小数 (4)请对本次实践活动进行评价（一条即可） 【答案】(1) (2) (3) (4)两种方案均可测量出光岳楼的近似高度，测量时取平均值是减少误差的方式（答案不唯一） 【分析】本题考查了关于求塔高的实践与探究，相似三角形的性质和锐角三角函数的实际应用． （1）根据平均值的公式求解即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可； （3）设，在中和在中，分别表示出，即可求解； （4）根据题目求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：“方案 ”两次测量塔影长的平均值是 （2）解：由题意得：， ∴， ∵，，， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， 答：光岳楼的高度约为 （4）评价：两种方案均可测量出光岳楼的近似高度，测量时取平均值是减少误差的方式.（答案不唯一，） 【变式2-1】（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图所示： 由题意得：米，米，，， ， ， ， 在中，米， 在中，米， 米， 米， 小李到古塔的水平距离即的长为米． 【变式2-2】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，线段、分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，求乙建筑物的高．（结果精确到） （参考数据：，，） 【答案】乙建筑物的高为 【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的实际应用：仰角俯角问题，解题的关键是掌握以上知识点． 根据四边形是矩形，由矩形的性质得，在中，由的正切函数可求出的长，进而根据即可算出答案． 【详解】解：过点A作， 由题意得：四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 答：乙建筑物的高为． 【变式2-3】（2024·陕西·模拟预测）小乐同学家住大楼甲中，某个周末，他站在阳台眺望远方，当看到正对面的大楼乙时，陷入了思考：对面的大楼乙有多高？于是小乐做了一个简易的测角仪用来观测大楼乙的顶端与底端．如图，小乐家在点处，当他抬头观察大楼乙的顶端时，记其仰角为，观测大楼乙的底端时，记其俯角为，整理所测数据：，．已知甲、乙两栋大楼的间距为．请根据题目数据帮助小乐计算出大楼乙的高度．（图中所有点在同一个平面内，，，结果保留根号） 【答案】大楼乙的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角与俯角的概念，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为，在中，通过算得，在中，通过算得，最后通过，算得答案． 【详解】如图，过点作，垂足为 根据题意可知， 在中， 在中， 故大楼乙的高度为． 【变式2-4】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发观，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想． (1)书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长． (2)如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，嘉嘉看点的俯角为，眼睛到桌面高度为点到点的距离为，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而利用弧长公式求解即可． （）过点作，于点、，则四边形是矩形，，在中，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴边缘点到走过的路径长． （2）解：过点作，于点、，则四边形是矩形，，， ∵，， ∴， ∴， ∵向下看的俯角为， ∴， ∴． 【变式2-5】（23-24九年级上·安徽·期末）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【答案】(1)的长为 (2)塔的高度约为 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用， （1）根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质可得，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，如图，过点作．垂足为，在中，，根据角的正切值可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，在中，，， ∴, ∴的长为． （2）解：由题意得，在中，，， ∴， 在中，设， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作．垂足为， 由题意得，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：塔的高度约为． 题型三 方位角问题 【例3】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资，甲货轮沿港的东北方向航行40海里到达港，再沿东南方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的南偏东方向航行后到达港，再沿北偏西方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） (1)求，两港之间的距离； (2)若甲货轮的速度为20海里/小时，乙货轮的速度为30海里/小时（停靠，两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】(1)，两港之间的距离约为40海里 (2)乙货轮先到达港，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题． （1）过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，再在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后在中，根据求解即可； （2）分别求出甲货轮航行的路程，乙货轮航行的路程，再求出各自的航行时间后比较大小即可． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵甲货轮沿港的东北方向航行40海里到达港，再沿东南方向航行一定距离到达港， ∴，，海里， ∴海里， ∴海里， ∵乙货轮沿港的南偏东方向航行后到达港，再沿北偏西方向航行一定距离到达港． ∴，， ∴， 在中，， （海里），（海里）， 在中，， （海里），海里， ，两港之间的距离约为40海里； （2）解：乙货轮先到达港，理由如下： ∵甲货轮航行的路程（海里）， ∴甲货轮航行的时间（小时）， ∵乙货轮航行的路程（海里）， ∴乙货轮航行的时间（小时）， ， 乙货轮先到达港． 【变式3-1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）周末妈妈和小明在位于小明家西北方向的书店看书．回家时，小明想先沿去位于家的正西方向、距家米的菜鸟驿站处取包裹，然后再沿回家；妈妈想先沿去位于家的北偏西方向的干洗店取衣服．然后再沿回家．已知书店位于菜鸟驿站的北偏东方向、干洗店的南偏西方向．（参考数据：，） (1)求小明家与书店的距离（结果保留整效）； (2)小明和妈妈回家的路程相差多少米（结果保留整数）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意，添加辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，则为等腰直角三角形， 则，可求，则，那么，继而； （2）由上知，则小明回家的路程为：，可得，，则，在中，由勾股定理得，那么妈妈的路程为，故路程差为：． 【详解】（1）解：由题意得，， 过点作于点， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由上知， ∴小明回家的路程为：， ∵，， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴妈妈的路程为， ∴路程差为：， 答：路程差为． 【变式3-2】（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 【答案】(1)妈妈步行的速度为 (2)明明从C处到D处的距离约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义． （1）根据正切函数求出的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可； （2）过点C作交延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形，可得，表示出，，进而得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴， ∴， 答：妈妈步行的速度为； （2）解：如图，过点C作交延长线于点E，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 过点D作于点F，得矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：明明从C处到D处的距离约为． 【变式3-3】（23-24九年级上·重庆·阶段练习）让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，米．点C在点B的北偏东；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东方向，米． (1)求的长度（精确到个位）； (2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：，，） 【答案】(1)3127米 (2)路线二较近，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作交的延长线于点M，过点B作交于点N，过点D作交于点H，则四边形、四边形、四边形都是矩形，是等腰直角三角形，在中求出的长，进而可求的长，在中，即可求出的长度； （2）分别求出和的长度，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：过点C作交的延长线于点M，过点B作交于点N，过点D作交于点H． 由题可知：，，． ∴四边形、四边形、四边形都是矩形，是等腰直角三角形． 在中， ∵，米， ∴米，米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米米， 答：BC的长度为3127米． （2）解：路线一：米米 ∵米， ∴米， ∴路线二：米米， ∵， ∴路线二较近． 【变式3-4】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米） (2)大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离． 【答案】(1)、两地的距离约为339.4米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）过点作于点，可求出，利用含的直角三角形的性质得出，在中，利用正弦定义可求出，即可求解； （2）过点作于点，在中，利用正弦定义可求出、，在中，利用含的直角三角形的性质可求出，即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意知，， ，， ，， 在中，米， （米）， （米）． 答：、两地的距离约为339.4米； （2）解：过点作于点， 由（1）得（米）， ，，， ， ， 在中，，， （米）， 在中，， （米）， （米）． 【变式3-5】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，A，B两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量．森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上．已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问：计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？请说明理由．（参考数据） 【答案】不会，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 过点P作，E是垂足．与都可以根据三角函数用表示出来．根据的长，得到一个关于的方程，解出的长．从而判断出这条路会不会穿越保护区． 【详解】解：如图，过点P作，E是垂足． 则线段的长，就是点P到直线的距离， 根据题意，，， 则在和中， ， ， 而， 即， ∴， ∵，即保护区中心到公路的距离大于半径100千米， ∴公路不会穿越保护区． 【变式3-6】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东，在M的南偏东方向上有一点A，以A为圆心、为半径的圆形区域为居民区．取上的另一点B，测得的方向为南偏东．已知，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区． 【答案】输水管道会穿过居民区 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作于C，由题意得，，设，解直角三角形得到，，则可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于C， 由题意得，， 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴输水管道会穿过居民区． 【变式3-7】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在南北方向的海岸线上，有、两艘巡逻船，现均收到故障船的求救信号．已知、两船相距海里，船在船的北偏东60°方向上，船在船的东南方向上，上有一观测点，测得船正好在观测点的南偏东75°方向上． (1)分别求出与，与之间的距离和（如果运算结果有根号，请保留根号）． (2)已知距观测点处100海里范围内有暗礁．若巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：，） 【答案】(1)与之间的距离为200海里；与之间的距离为海里； (2)巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中无触暗礁危险． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键． （1）作于，设海里，根据正切的概念求出，根据题意列方程，解方程即可；作于，设，用表示出，根据三角形面积公式列式计算即可求解； （2）由（1）的结果，即可作出判断． 【详解】（1）解：作于， 设海里， 在中，， 在中，， ， 则， 解得，， ， ，，， 作于， 设，则， ，， ， ， 则， 解得，，则， ∵， ∴， 答：与之间的距离为200海里；与之间的距离为海里； （2）解：由（1）得 ∴巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中无触暗礁危险． 题型四 坡度、坡比问题 【例4】（浙江温州·期中） 探究堤坝结构和计算堤坝维修的截面面积 素材1 如图1是一个堤坝的截面图，背水坡的坡比是，迎水坡的坡比是，坚硬夹层的最大厚度是6米． 素材2 图1中的堤坝，由于受到夏季洪水的冲刷，坡面受损严重，工程师给出整修加固方案图纸（图2），在原坡底部处回推1.5米，做新的迎水坡，并在坡面上铺上导渗材料，做高为1米的块石固脚等腰梯形，铺设离水平地面高度4米的土撑梯形（，坡面和的坡比都为），块石固脚的点落在原坡面上． 问题解决 任务1 确定堤坝截面中相关坡面的长度． 求堤坝截面图中和的长度． 任务2 探究整修图纸中的一些相关数据． 求块石固脚和土撑的面积． 【答案】任务一：米，米 任务二：1平方米，平方米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，涉及平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形和三角形的面积计算公式，解题的关键是正确作出辅助线，理解坡比的概念． 任务一：①根据坡比的概念和勾股定理即可求解；②作于点，根据坡比的概念和勾股定理即可求解； 任务二：过作于点，于点，交延长线于点，交于点，求出等腰梯形的上底即可得出结论；将土撑梯形转化为即可． 【详解】[任务一] ①由题意得，，， ， （米）； ②如图，作于点， 由题意得，， ， （米）． [任务二] 如图，过作于点，过E作于点M，于点，交延长线于点，交于点， 由题意得，，，， 点落在BC上， ， ，， ， （）， 在梯形中，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， （）． 【变式4-1】（九年级下·吉林长春·自主招生）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B．已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．（参考数据：，，） 【答案】112 【分析】本题主要考查解直角三角形，坡度坡角问题，锐角三角函数等知识，解直角三角形即可求解． 【详解】解：在中，米， ∴米 ， ∴这名滑雪运动员的高度下降了112米， 故答案为：112 【变式4-2】（2024·全国·二模）高楼和斜坡的纵截面如图所示，斜坡的底部点C与高楼的水平距离为30米，斜坡CD的坡度（坡比），坡顶D到BC的垂直距离米，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为，求楼的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】高楼的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中得仰角俯角问题，坡度坡角问题，矩形的判定和性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，根据题意可得米，，先利用斜坡的坡度，求出的长，从而求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而即可解答． 【详解】解：如图，过D作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，， 由题意，得， ∴米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米． 答：高楼的高度AB为17.2米． 【变式4-3】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为60°．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为45°，已知山坡的坡度，米，米． (1)求点距水平面的高度； (2)求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：，） 【答案】(1)5米 (2)宣传牌高约为2.7米 【分析】本题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． （1）在中，通过解直角三角形求出； （2）过B作的垂线，设垂足为G，在中解直角三角形求出的长，进而可求出，即的长，在中，，则，由此可求出的长，然后根据即可求出宣传牌的高度． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴米； （2）解：过B作于G， 由（1）得，米，米， ∴米， 在中，， ∴米； 在中，，米， ∴米， ∴米， 所以，宣传牌高约为2.7米 【变式4-4】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为计算即可； （2）设的对边为，作于F，根据矩形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为， ∴， ， 即台阶的高度为； （2）解：如图所示，设的对边为，作于F， ∴由题意得，四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 【变式4-5】（2024·海南海口·一模）如图，时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号在坡度（即）的山坡上加装了信号塔，信号塔底端Q到坡底A的距离为．当太阳光线与水平线所成的夹角为时，且． (1)　　　，　　　； (2)求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：，，） 【答案】(1)13，37 (2)信号塔的高度大约为米 【分析】（1）根据题意即可求出，作，垂足为S，根据题意，即可求得； （2）根据题意和作图可知四边形为矩形，根据坡度的定义设米，在中，由勾股定理可得，代入求出的长，利用锐角三角函数关系，得出的长，进而得出答案． 【详解】（1）解：信号塔底端Q到坡底A的距离为， ； 如图，作，垂足为S， 根据题意， ∴； （2）解：根据题意和作图可知四边形为矩形， ∴． 由，可得， 设米，则米， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得（负值舍去）， ∴（米），（米）， ∴， ∵， 在中， ， 即， ∴（米）， ∴（米）， 答：信号塔的高度大约为米． 【变式4-6】（2024·贵州黔东南·二模）镇远古镇位于贵州省黔东南苗族侗族自治州镇远县，河水蜿蜒，以“S”形穿城而过．为助力乡村振兴，该河旁有一座小山，山高，，坡面的坡度（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C，A与河岸E，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为，． (1)求山脚A到河岸E的距离； (2)试求此处河宽（结果精确到．参考数据：，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意可得：，，从而可得，再根据已知易得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）先利用平行线的性质可得，从而可得在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：（1）由题意得：，， ， 坡面的坡度， ， ， ， 在中，， ， 山脚到河岸的距离为； （2）解：， ， 在中，， ， ， ， 此处河宽约为． 【变式4-7】（2024九年级下·辽宁·专题练习）图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面的坡度，坡面的长为． (1)计算坡面的铅直高度； (2)如图3，为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高的测角仪，测得纪念碑碑身顶端A的仰角是，继续向纪念碑前进到达点K处，此时测得纪念碑顶端，求纪念碑的实际高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)坡面的铅直高度为； (2)纪念碑的实际高度为． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用， （1）过点D作于点H，根据坡比设，，由勾股定理得到，则，解方程即可求出答案； （2）设，证明，由得到，由得到，解得，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 过点D作于点H， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去）， ∴， ∴坡面的铅直高度为； （2）设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴纪念碑的实际高度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：解直角三角形的应用问题 常用策略 1、解非直角三角形：可考虑适当添加辅助线构造直角三角形或其他特殊的四边形； 2、仰角、俯角问题：仰角、俯角是视线相对于水平线而言的，巧记“上仰下俯”，视线、水平线、物体的高构成直角三角形； 3、坡角与坡度问题：坡角是指坡面与水平面所成的夹角，坡度（坡比）是指坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫作坡度（坡比）； 4、方位角问题：先在每个位置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角函数解决问题。 题型一 解非直角三角形 【例1】（九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【变式1-1】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【变式1-2】（九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【变式1-3】（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 【变式1-4】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【变式1-5】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【变式1-6】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【变式1-7】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【变式1-8】（河南安阳·模拟预测）公交总站点与、两个站点的位置如图所示，已知km，，，求站点离公交总站的距离即的长结果保留根号． 题型二 仰角、俯角问题 【例2】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）【项目式活动探究】光岳楼位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），被誉为中国十大名楼，光岳楼为中国既古老又雄伟的木构楼阁，是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作，在中国古代建筑史上有着重要地位，1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉，某校数学实践小组利用所学数学知识测量光岳楼的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果.下面是两个方案及测量数据（不完整） 项目 测量光岳楼的高度 方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数.测量：距离，仰角，仰角 说明 、、三点在同一条直线上 、、三点在同一条直线上 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 【问题解决】 (1)“方案一”两次测量塔影长的平均值是 (2)根据“方案一”的测量数据，可求得光岳楼的高度为 (3)根据“方案二”的测量数据，求出光岳楼的高度；（参考数据：，，）注：结果保留1位小数 (4)请对本次实践活动进行评价（一条即可） 【变式2-1】（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 【变式2-2】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，线段、分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，求乙建筑物的高．（结果精确到） （参考数据：，，） 【变式2-3】（2024·陕西·模拟预测）小乐同学家住大楼甲中，某个周末，他站在阳台眺望远方，当看到正对面的大楼乙时，陷入了思考：对面的大楼乙有多高？于是小乐做了一个简易的测角仪用来观测大楼乙的顶端与底端．如图，小乐家在点处，当他抬头观察大楼乙的顶端时，记其仰角为，观测大楼乙的底端时，记其俯角为，整理所测数据：，．已知甲、乙两栋大楼的间距为．请根据题目数据帮助小乐计算出大楼乙的高度．（图中所有点在同一个平面内，，，结果保留根号） 【变式2-4】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发观，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想． (1)书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长． (2)如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，嘉嘉看点的俯角为，眼睛到桌面高度为点到点的距离为，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 【变式2-5】（23-24九年级上·安徽·期末）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 题型三 方位角问题 【例3】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资，甲货轮沿港的东北方向航行40海里到达港，再沿东南方向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的南偏东方向航行后到达港，再沿北偏西方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） (1)求，两港之间的距离； (2)若甲货轮的速度为20海里/小时，乙货轮的速度为30海里/小时（停靠，两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【变式3-1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）周末妈妈和小明在位于小明家西北方向的书店看书．回家时，小明想先沿去位于家的正西方向、距家米的菜鸟驿站处取包裹，然后再沿回家；妈妈想先沿去位于家的北偏西方向的干洗店取衣服．然后再沿回家．已知书店位于菜鸟驿站的北偏东方向、干洗店的南偏西方向．（参考数据：，） (1)求小明家与书店的距离（结果保留整效）； (2)小明和妈妈回家的路程相差多少米（结果保留整数）？ 【变式3-2】（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 【变式3-3】（23-24九年级上·重庆·阶段练习）让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，米．点C在点B的北偏东；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东方向，米． (1)求的长度（精确到个位）； (2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：，，） 【变式3-4】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米） (2)大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离． 【变式3-5】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，A，B两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量．森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上．已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问：计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？请说明理由．（参考数据） 【变式3-6】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东，在M的南偏东方向上有一点A，以A为圆心、为半径的圆形区域为居民区．取上的另一点B，测得的方向为南偏东．已知，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区． 【变式3-7】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在南北方向的海岸线上，有、两艘巡逻船，现均收到故障船的求救信号．已知、两船相距海里，船在船的北偏东60°方向上，船在船的东南方向上，上有一观测点，测得船正好在观测点的南偏东75°方向上． (1)分别求出与，与之间的距离和（如果运算结果有根号，请保留根号）． (2)已知距观测点处100海里范围内有暗礁．若巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：，） 题型四 坡度、坡比问题 【例4】（浙江温州·期中） 探究堤坝结构和计算堤坝维修的截面面积 素材1 如图1是一个堤坝的截面图，背水坡的坡比是，迎水坡的坡比是，坚硬夹层的最大厚度是6米． 素材2 图1中的堤坝，由于受到夏季洪水的冲刷，坡面受损严重，工程师给出整修加固方案图纸（图2），在原坡底部处回推1.5米，做新的迎水坡，并在坡面上铺上导渗材料，做高为1米的块石固脚等腰梯形，铺设离水平地面高度4米的土撑梯形（，坡面和的坡比都为），块石固脚的点落在原坡面上． 问题解决 任务1 确定堤坝截面中相关坡面的长度． 求堤坝截面图中和的长度． 任务2 探究整修图纸中的一些相关数据． 求块石固脚和土撑的面积． 【变式4-1】（九年级下·吉林长春·自主招生）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B．已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．（参考数据：，，） 【变式4-2】（2024·全国·二模）高楼和斜坡的纵截面如图所示，斜坡的底部点C与高楼的水平距离为30米，斜坡CD的坡度（坡比），坡顶D到BC的垂直距离米，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为，求楼的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【变式4-3】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为60°．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为45°，已知山坡的坡度，米，米． (1)求点距水平面的高度； (2)求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：，） 【变式4-4】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 【变式4-5】（2024·海南海口·一模）如图，时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号在坡度（即）的山坡上加装了信号塔，信号塔底端Q到坡底A的距离为．当太阳光线与水平线所成的夹角为时，且． (1)　　　，　　　； (2)求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：，，） 【变式4-6】（2024·贵州黔东南·二模）镇远古镇位于贵州省黔东南苗族侗族自治州镇远县，河水蜿蜒，以“S”形穿城而过．为助力乡村振兴，该河旁有一座小山，山高，，坡面的坡度（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C，A与河岸E，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为，． (1)求山脚A到河岸E的距离； (2)试求此处河宽（结果精确到．参考数据：，，）． 【变式4-7】（2024九年级下·辽宁·专题练习）图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面的坡度，坡面的长为． (1)计算坡面的铅直高度； (2)如图3，为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高的测角仪，测得纪念碑碑身顶端A的仰角是，继续向纪念碑前进到达点K处，此时测得纪念碑顶端，求纪念碑的实际高度．（结果精确到，参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$