专题训练：锐角三角函数相关计算问题-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（湘教版）

锐角三角函数相关计算问题 特殊角三角函数值的混合运算 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）计算： ． 2．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2)． 3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算∶ (1)； (2) 4．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）计算： (1) (2)． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）计算 (1)； (2) 6．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）计算：． 7．（24-25九年级上·全国·单元测试）计算： 8．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）计算： (1)； (2)． 9．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2)． 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 1．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 5．（四川自贡·一模）在中，若满足，则是 三角形． 6．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 7．（九年级上·河南漯河·期末）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 8．（九年级上·山东泰安·阶段练习）若，则以为内角的的形状是 ． 同角三角函数关系 1．（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 3．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 4．（九年级下·全国·课后作业）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    解非直角三角形的相关计算 1．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 2．（九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 3．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 4．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 6．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 7．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 8．（河南安阳·模拟预测）公交总站点与、两个站点的位置如图所示，已知km，，，求站点离公交总站的距离即的长结果保留根号． 9．（九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 锐角三角函数相关计算问题 特殊角三角函数值的混合运算 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的锐角函数值的计算，二次根式的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 先化简每一个锐角函数值，再进行二次根式的计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算∶ (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，解题的关键是将特殊锐角三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 4．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数值的实数的运算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘方再计算除法，最后进行减法计算； （2）根据题意，先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘法，绝对值，最后合并，整理，得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）计算 (1)； (2) 【答案】(1)； (2)2． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）代入特殊角的三角函数值计算即可． （2）根据零指数幂，整数指数幂的定义和特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ． 6．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的性质化简，再算加减即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝． 7．（24-25九年级上·全国·单元测试）计算： 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案． 【详解】解： 8．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键． （1）先运用特殊角的三角函数值以及绝对值化简，然后再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先运用特殊角的三角函数值以及绝对值化简，然后再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 9．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2)6.5 【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合计算： （1）将特殊角三角函数值代入计算即可； （2）将特殊角三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， ． 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 1．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 2．（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选B． 4．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 5．（四川自贡·一模）在中，若满足，则是 三角形． 【答案】等边/正 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；非负数的性质，等边三角形的判定．熟知特殊角的三角函数值是关键．先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值和，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：且， 则， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 6．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 7．（九年级上·河南漯河·期末）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰 【分析】根据绝对值和平方的非负性可得，，，求得，，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即，， 解得，，则 则为等腰三角形， 故答案为：等腰 8．（九年级上·山东泰安·阶段练习）若，则以为内角的的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】直接利用非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴，， 则，， ∴， ∴以为内角的的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 同角三角函数关系 1．（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，勾股定理，在中，，的a，的b，的c，则，，．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的概念，确定锐角三角函数值的取值范围用三角函数间的关系． 【详解】解：如图，在中，， A、∵，，又∵不能比较a、b大小，∴不能判定与的大小，∴错误；故此选项不符合题意； B、∵，又∵，，但不能比较a、b大小，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，又∵ ∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，又由勾股定理，得，∴，∴，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 【答案】(1)；；证明见解析 (2)；；证明见解析 【分析】（1）本小题要求找到规律并证明，要规律首先就应该准确的计算出，，，，，以及和的值；要证明结论就应该在一般的三角形中求解，在边长分别为、、的直角三角形中，，，计算的结果证明结论； （2）在边长分别为、、的直角三角形中计算，，看结论是否相同即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ，，， 规律：对于任意锐角有， 故答案为：，，1，，，1； 证明：如图所示，在中，， ，，， ． （2）解：，， ， 规律：对于任意锐角有， 证明：如图， ，， ． 故答案为：，，，． 3．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【答案】(1)成立，见解析 (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可； （2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论； （3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 4．（九年级下·全国·课后作业）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【答案】；，理由见解析 【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出． 【详解】存在的一般关系有：，， 证明：，， ， ，， ， ． 解非直角三角形的相关计算 1．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 2．（九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 3．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 4．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 【详解】解：如图，作边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 6．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 7．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 8．（河南安阳·模拟预测）公交总站点与、两个站点的位置如图所示，已知km，，，求站点离公交总站的距离即的长结果保留根号． 【答案】 【分析】过点C作交的延长线于D，易得是等腰直角三角形，由勾股定理可求得的长，再由含角直角三角形的性质求得，再由勾股定理可求得，从而求得． 【详解】过点C作交的延长线于D，如图， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ，， ， 由勾股定理得， ． 9．（九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$