上海市位育中学2024-2025学年高二上学期10月期中数学试卷

位育中学2024学年第一学期高二年级数学期中 2024.10 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分） 1.直线1和平面相交于点A,用集合符号表示为， 2.已知空间两个角∠ABC和∠A'B'C',若AB∥A'B,BC∥B'C',∠ABC=40°，则 ∠A'B'C= 3.一个水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积为」 4.将长为3，宽为2的矩形绕着较长边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积 为 5.已知球的表面积为36π，则该球的体积为， 6.已知因锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个图锥的侧面积为 7.如图，在三棱台ABC-AB,C,的9条棱所在直线中，与直线 A,B是异面直线的共有 条 8。已知两点A、B都在平面a外，A、B到平面a的距离分别 为2和4，则线段AB的中点到平面的距离为 9.因柱底面半径为3，母线长为5，一只小蜘蛛从某条母线上的一端点出发，沿着圆柱表 面爬行两周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短路程 为 10.三棱锥的4个面无限延展后把空间分成 个部分. 11.如图，在正方体ABCD-A1B,C,D,中，AB=1,DD,中点为 D 2,过A、2、B,三点的截面面积为 12,在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm 的小球.无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的部分的体 B 积是 cm3. 二、选释题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 13.设a、b为平面M外的两条直线，且a∥M,那么a∥b是b∥M的（）条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分非必要 14.已知a,b表示两条不同的直线，a,B表示两个不同的平面，下列说法错误的是( A.若a⊥oa,b⊥B,a∥B,则a∥b B.若a⊥，b⊥B,a⊥b,则a⊥B C.若a⊥，a⊥b,∥B,则b∥B D.若a∩B=a,a∥b,则b∥a或b∥ 15.如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱 上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋 转一周的过程中，直线P?与直线AB垂直的次数为（） A.2 B.4 C.6 D.8 16.如图所示，正三棱柱ABC-A,B,C,的所有棱长为1，点P、M、 N分别为棱A4,AB,AB,的中点，点2为线段MN上的动点（含 端点).当点？由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（） A.直线C,2与直线CP可能相交 B.直线CQ与直线CP始终异面 C.直线C2与直线CP可能垂直 D.直线C,2与直线BP不可能垂直 三、解答题（本大题共有5题，满分42分） 17.(本题满分8分)用文字语言表述“线面平行的判定定理”，写出已知、求证并证明. 18。(本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分) 已知三梭锥r-ABC满足C=M=BA=BC=4C=2,B= 2 (1)证明：直线AB与直线VC是异面直线； V (2)求异面直线AB与VC所成角大小. 19.(本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分) 如图，已知点P在圆柱O,O的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为20π， 0A=2,∠A0P=120°. (1)求直线A,P与平面ABP所成角的大小； 01 A (2)求点A到平面A,BP的距离. A 0 …B 20。(本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分) 如图，几何体EF-ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD, AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°. (1)求证：AC⊥平面FBC; (2)求几何体EF-ABCD的体积. B 21.(本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分) 如图，在四面体ABCD中，AB=BD=CD=3,AB⊥平面BCD,CD⊥BD,点M为AD 上一点，且AM=2MD,连接BM,CM. (1)BM⊥CD; (2)求二面角M-BC-D的大小， 参考答案 一、填空题 1.1∩=A; 2.40°或140°； 36 4.12π； 5.36π； 6.2π； 7.3; 8.3或1；9.√25+36π2；10.15 9 11. 12.56- 40π 8 3 11.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=1,DD,中点为2，过A、2、B三点 的截面面积为 D D E C, B B Q B 【答案】 9-8 【解析】截面是如图所示的等腰梯形QEB,A,其中E为C,D,的中点， 因为D=只，A8=反，40=AE=5,所以该稀形的商为3。 12.在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm的小球.无论怎样摇动盒 子，小球在盒子中不能达到的部分的体积是 cm3 【答案】56-4 3 【解析】在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内， 小球不能到达的空间为：8-号-8 除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个1×1×4的正四棱柱空间内，· 小球不能到达的空间共为×1×4-{π×1)×4=48-12π其他空间小球均能到达. 故小球不能到达的空间体积为：(（8-+48-12r=56-碧(cm 答案为：56-r(om 40 二、选择题 13.A 14.C 15.A 16.B 15.如图所示，一个灯笼由一根提竿P2和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱 上下底面圆周上分别有两点A、B,AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋 转一周的过程中，直线P2与直线AB垂直的次数为（) A.2 B.4 C.6 D.8 B 【答案】A 【解析】作出平面CDEF,使得PO⊥平面CDEF,当PQ⊥AB时，ABII平面CDEF或 ABc平面CDEF,结合旋转分析可知有两次使得PO⊥AB.故选：A. 16.如图所示，正三棱柱ABC-A,B,C,的所有棱长为1，点P、M、N分别为棱AA,AB, A,B,的中点，点Q为线段MN上的动点（含端点）.当点2由点N出发向点M运动的过程 中，以下结论中正确的是（) A.直线C,2与直线CP可能相交 B.直线C,2与直线CP始终异面 C.直线CQ与直线CP可能垂直 D,直线C,Q与直线BP不可能垂直 【答案】B 【解析】在正三棱柱ABC-A,BC,中，'点M,N分别为棱AB,A,B,的中点A1,.MN IIAA, :MN￠平面AA,C,C,AA,c平面AA,C,C,∴.MNII平面AA,C,C, C1,P,C,2四点不共面，∴直线C,2与CP始终异面，故A错误，B正确； 对于C,设Ng=MW(0<≤1)， 则2C=示+G=入m++4G=a4+AC-店，=4A-4C, 若直线c,0与直线cP番直则c示=0，网+c-杯-C-0 2-C+C-元-丽+西c=0 2 ÷宁-1+分×1X1宁-0，解得-号， 2 0<≤1，“.不存在点Q使得直线C2与直线CP垂直，故C错误； 对于D,连接C,N,如图，C,A=C,B,N为AB,的中点，∴C,N⊥A,B, AA1⊥平面AB,C,C,NC平面AB,C,∴AA,⊥C,N, AA,∩AB=A1,∴.C,N⊥平面ABB,A1,又BPC平面ABB,A,∴.C,N⊥BP, “当点Q在N的位置时，直线C,2与直线BP垂直，故D错误故选：B. 三.解答题 17.平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行； 已知a￠a,bc,a/1b,求证a/1a;证明略 18.（1)证明略 (2)arccos 2 19.(1)arctan- 3 (2) 6N万 2 20.(本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分) 如图，几何体EF-ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD, AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°. (1)求证：AC⊥平面FBC; (2)求几何体EF-ABCD的体积， B 【答案】(1)见解析 (2)16 3 【解析】(1)由题意得，AD⊥DC,AD⊥DF,且DCODF=D, AD⊥平面CDEF,AD⊥FC,:四边形CDEF为正方形，DC⊥FC, 由DC∩AD=D,∴.FC⊥平面ABCD,∴.FC⊥AC, 又四边形ABCD为直角形，ABI1CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4, ·AC=2N2,BC=2N2,则有AC2+BC2=AB2∴AC⊥BC, 由BC∩FC=C,.AC⊥平面FCB, (2)连结EC,过B作CD的垂线，垂足为N,易见BN⊥平面CDEF,且BN=2, -m=a+a-片nnE+5wcN-号 1 3 16 、几何体EF-ABCD的体积为 21.(本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分) 如图，在四面体ABCD中，AB=BD=CD=3,AB⊥平面BCD,.CD⊥BD,点M为AD 上一点，且AM=2MD,连接BM,CM. (1)证明：BM⊥CD; (2)求二面角M-BC-D的大小. 【答案】(1)见解析 (2)arccos 3 【解析】(1)证明：因为AB⊥平面BCD,CDc平面BCD,所以AB⊥CD, 因为CD⊥BD,AB∩BD=B,AB,BDC平面ABD,所以CD⊥平面ABD, 因为BMc平面ABD,所以BM⊥CD; (2)取BC的中点N,连接DN,过M作MH⊥BD于H,过H作HE⊥BC于E, 连接ME,因为在平面ABD中，AB⊥BD,MH⊥BD,所以MH I/AB, 由(I)知AB⊥CD,所以MH⊥CD因为CD∩BD=D,CD,BDc平面BCD, 所以MH⊥平面BCD,因为BCc平面BCD,所以MH⊥BC 因为HE⊥BC,MH HE=H,MH,HEc平面MEH,所以BC⊥平面MEH, 因为MEc平面MEH,所以BC⊥ME,所以∠MEH为二面角M-BC-D的平面角， 因为M=2MD,MB=BD=CD=3,所以Mh=号AB=HE=号DN-号×点=反， 3 32 在Rt△MHE中，ME=VMH2+EH2=+2=5,所以co5∠MEH=HE-巨_N6 ME531 6 所以∠MEH=arccos 6 ,所以二面角M-BC-D的大小为arccos 3