2.2 有理数的加减运算 课件 2024-2025学年 北师大版数学七年级上册

第5课　有理数的加法(1) 示例：先赚2元，后赚5元，结果共赚了7 元， 列式：(＋2)＋(＋5)＝＋(2＋5)＝7. (1)先亏2元，后亏5元，结果共亏了7 元， 列式：___________________________； (2)先亏2元，后赚5元，结果共赚了3元， 列式：___________________________； 探究有理数的加法法则 (－2)＋(－5)＝－(2＋5)＝－7 (－2)＋(＋5)＝＋(5－2)＝3 (3)先赚2元，后亏5元，结果共亏了3元， 列式：___________________________； (4)先亏2元，后不赚不亏，结果共亏了2元， 列式：______________； (5)先亏5元，后赚5元，结果不赚不亏， 列式：_______________. (＋2)＋(－5)＝－(5－2)＝－3 (－2)＋0＝－2 (－5)＋(＋5)＝0 加法法则： (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. (3)互为相反数的两个数相加得0. (4)一个数同0相加，仍得这个数. 口诀：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑. 计算： (1)(＋4)＋(＋7)＝_________＝____； (－4)＋(－7)＝_________＝_____； (2)(－4)＋(＋3)＝_________＝____； (＋4)＋(－3)＝__________＝____； (3)(－2 024)＋2 024＝____； (－2 024) ＋0＝________； (4)(－a)＋a＝____；a＋0＝____. 有理数加法法则的应用 ＋(4＋7) 11 －(4＋7) －11 －(4－3) －1 ＋(4－3) 1 0 －2 024 0 a 计算： (1)(－8)＋(－3)＝______； (2)8＋(－6)＝____； (3)(－8)＋6＝_____； (4)0＋m＝____. －11 2 －2 m 计算： (1)(＋0. 2)＋(－1. 3)＝______________＝_______； (2) ＝__________＝____； (3)－1＋(－ )＝__________＝______. －(1. 3－0. 2) －1. 1 计算： (1)(－4. 3)＋2. 9＝______________＝______； (2) ＝__________＝_____； (3) ＝_________＝______. －(4. 3－2. 9) 方法总结：(1)先定号；(2)再计算；(3)异号相加符号跟“老大”跑. －1. 4 用算式表示结果： (1)收入10元，支出3元； 解：(1)规定收入为＋，支出为－， 有理数加法的应用 依题意，得(＋10)＋(－3)＝ 7(元). (2)温度由－5 ℃上升8 ℃； 解：(2)规定温度上升为＋，温度下降为－， 依题意，得(－5)＋(＋8)＝3(℃). 解：(3)规定向右为＋，向左为－， 依题意，得0＋(＋3)＋(－5)＝－2. (3)如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是－2，请列式说明. (1)一潜艇所在高度为水下60米，上升20米； 解：(1)规定水平面为0，上升为＋，下降为－， 用算式表示结果： 依题意，得(－60)＋(＋20)＝－40(米). (2)小明先向西走了50米，再向东走了30米. 解：(2)规定向东为＋，向西为－， 依题意，得(－50)＋(＋30)＝－20(米). 1. 计算(－2)＋(－3)的结果是 ( ) A. －2 B. －3 C. －5 D. 3 C 2. 下面的数与－3的和为0的是 ( ) A. －3 B. 3 C. 0 D. 6 B 3. 若一天早晨的气温是－2 ℃，中午上升了9 ℃，则中午的气温是 ( ) A. －11 ℃ B. 7 ℃ C. 18 ℃ D. －7 ℃ B 4. 计算： (1)(－9)＋(－2)； (2)(－5)＋3； (3)(－0. 9)＋1； 解：(－9)＋(－2)＝－(9＋2)＝－11. 解：(－5)＋3＝－(5－3)＝－2. 解：(－0. 9)＋1＝＋(1－0. 9)＝0. 1. (4)(－9)＋9； (5)－ ＋(－ ). 解：(－9)＋9＝0. 解： 5. 在－1，－2，3 这三个数中，任意两数之和的最大值是 ( ) A. 1 B. 2 C. 0 D. －3 B 6. 请用新情境举例说明(－5)＋(－10)的结果. 解：小明先向西走了5米，再继续向西走了10米，他一共向西走了多少米？ 规定向东为正，向西为负. 列式：(－5)＋(－10)＝－15(米). (另法)利用数轴上移动、温度升降都可以. (答案不唯一) 7. (分类讨论·方法)已知|a|＝8，|b|＝2. (1)当a，b同号时，求a＋b的值； (2)当a，b异号时，求a＋b的值. 解：(1)依题意，得a＝8，b＝2或a＝－8，b＝－2， 所以a＋b的值为10或－10. 解：(2)依题意，得a＝8，b＝－2或a＝－8，b＝2， 所以a＋b的值为6或－6. 　有理数的加法(2)——运算律 1. 加法交换律：a＋b＝b＋a. 2. 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 加法运算律 计算：(＋7)＋(－10)＋(－7). 解：(＋7)＋(－10)＋(－7) ＝(＋7)＋(－7)＋(－10) ＝0＋(－10) ＝－10. 计算：(－0. 25)＋1＋(－0. 75). 解：(－0. 25)＋1＋(－0. 75) ＝(－0. 25)＋(－0. 75)＋1 ＝(－1)＋1 ＝0. 解：(－1. 7)＋3. 2＋(－1. 3)＋4. 8 ＝[(－1. 7)＋(－1. 3)]＋(3. 2＋4. 8) ＝(－3)＋8 ＝5. 计算： (1)(－1. 7)＋3. 2＋(－1. 3)＋4. 8； (2) 解： 解：(－4. 5)＋5. 7＋(－7. 5)＋(－1. 7) ＝[(－4. 5)＋(－7. 5)]＋[5. 7＋(－1. 7)] ＝(－12)＋4 ＝－8. 计算： (1)(－4. 5)＋5. 7＋(－7. 5)＋(－1. 7)； (2) 解： 总结：多个有理数相加，一般采用运算律把“相反数”(凑零)“分数与分数”“小数与小数”(同形)放一组凑整，渗透分类思想. 解：依题意，得 (－0. 1)＋(－0. 2)＋(＋0. 3)＋(＋0. 1)＋(＋0. 5) ＝0. 6(千克). 有理数加法运算律的应用 一批货品每箱的标准质量为2千克，质量检验员抽查其中5箱，质量(千克)超过标准的记为“＋”，不足的记为“－”，分别记为－0. 1，－0. 2，＋0. 3，＋0. 1，＋0. 5，问这5箱货品的总质量比标准质量多了多少千克？ 答：这5箱货品的总质量比标准质量多了0. 6千克. 已知某粮库已存有粮食100吨，本周内粮库购进和卖出粮食的记录如表(购进为正)： (1)本周内哪天粮库存有的粮食最多？ 解：(1)星期一：100＋(＋35)＝135(吨)；星期二：135＋(－20)＝115(吨)；星期三：115＋(－30)＝85(吨)；星期四：85＋(＋25)＝110(吨)；星期五：110＋(－24)＝86(吨)；星期六：86＋(＋40)＝126(吨)；星期日：126＋(－16)＝110(吨). 所以本周星期一粮库存有的粮食最多. (2)若粮库购买粮食的价格为每吨2 000元，计划卖出粮食的价格为每吨2 200元，则这一周粮库的利润为多少元？ 解：(2)(20＋30＋24＋16)×2 200－(35＋25＋40)×2 000 ＝－2 000(元). 答：这一周粮库的利润为－2 000元. 1. 计算： (1)(－42)＋10＋(－58)； 解：(－42)＋10＋(－58) ＝(－42)＋(－58)＋10 ＝－100＋10 ＝－90. (2)5＋(－20)＋95＋(－30)； 解：5＋(－20)＋95＋(－30) ＝(5＋95)＋[(－20)＋(－30)] ＝100＋(－50) ＝50. (3) 解： 2. (BS七上P37尝试·思考改编)计算： (1)30＋(－13)＋25＋(－20)； 解：30＋(－13)＋25＋(－20) ＝(30＋25)＋[(－13)＋(－20)] ＝55＋(－33) ＝22. (2)(－4. 8)＋(－6. 5)＋(－3)＋6. 5； 解：(－4. 8)＋(－6. 5)＋(－3)＋6. 5 ＝[(－6. 5)＋6. 5]＋[(－4. 8)＋(－3)] ＝0＋(－7. 8) ＝－7. 8. (3)(－23)＋44＋(－37)＋56； 解：(－23)＋44＋(－37)＋56 ＝[(－23)＋(－37)]＋(44＋56) ＝(－60)＋100 ＝40. (4) 解： 3. (BS七上P37 T2改编)潜水员原来在水下15米处，后来上浮了8米，又下潜了20米，这时他在什么位置？ 解：依题意，记下潜为正，上浮为负， 则有15－8＋20＝27(m). 答：这时他在水下27 m处. 4. (创新意识·核心素养)计算： 1＋(－2)＋3＋(－4)＋…＋99＋(－100). 解：原式＝[1＋(－2)]＋[3＋(－4)]＋…＋[99＋(－100)] ＝(－1)＋(－1)＋…＋(－1) ＝－50. 　有理数的减法 引入：探究有理数减法法则 (1)观察：4－1＝3，4＋(－1)＝3； 发现：4－1＝4＋(－1)；(2)类比：5－3＝2，5＋(－3)＝2； 发现：5－3＝5＋(－3). 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a－b＝a＋(－b). 计算： (1)9－(－5)＝_______＝____； (2)－3－1＝___________＝_____； (3)0－8＝___________＝_____； (4)(－5)－0＝__________＝______； (5) . 有理数减法法则 9＋5 14 －3＋(－1) －4 0＋(－8) －8 (－5)＋0 －5 解： 计算： (1)2－7＝_________＝_____； (2)4－(－3)＝______＝___； (3)0－5＝__________＝_____； (4)－8－(－5)＝_________＝_____； (5) 2＋(－7) －5 4＋3 7 0＋(－5) －5 －8＋5 －3 解： 方法总结：“两变”——减法变加法，减数变相反数； “一不变”——被减数不变. 若甲地海拔是300米，乙地海拔是－200米，丙地比甲地低50米，丁地比乙地高50米，求： (1)丙地海拔为多少？丁地海拔为多少？ 解：(1)依题意，得 300－50＝250(米)；－200＋50＝－150(米). 有理数减法的应用 答：丙地海拔为250米，丁地海拔为－150米. (2)哪个地方最高？哪个地方最低？ 解：(2)因为300>250>－150>－200， 所以甲地最高，乙地最低. (3)最高处比最低处高多少米？ 解：(3)依题意，得300－(－200)＝300＋200＝500(米). 答：最高处比最低处高500米. (1)某日记录哈尔滨冰雪大世界温度为－10 ℃～－3 ℃，请计算温差； 解：(－3)－(－10)＝7(℃). 用算式表示下面的结果： (2)某地某日早晨的温度是－10 ℃，中午上升了6 ℃后，半夜又下降7 ℃. 两次变化后，半夜的气温是多少摄氏度？ 解：(－10)＋6－7＝－11(℃). 1. 比－2小5的数是 ( ) A. 3 B. －3 C. －7 D. 7 C 2. 用算式表示“比－3 ℃低10 ℃的温度”正确的是 ( ) A. －3－(－10)＝7 B. －3＋10＝7 C. (－3)－10＝－13 D. 3－10＝－7 C 3. 某冷库额定最低气温为－3 ℃，最高气温为2 ℃，该冷库温度调节的范围温差为___℃. 4. 计算： (1)1－4＝_____； (2)10－(－3)＝____； (3)(－1)－(－6)＝___； (4)(－2. 1)－0. 7＝______. 5 －3 13 5 －2. 8 5. 计算： (1)( )＋11＝27； (2)7＋( )＝4； (3)(－9)＋( )＝9； (4)12＋( )＝0； (5)(－8)＋( )＝－15； (6)( )＋(－13)＝－6. 16 －3 18 －12 －7 7 6. 一种零件标明直径的要求是 Φ 30 (单位：mm)，这种零件的合格品中直径的差距最大是______mm. 7. (数形结合·方法)利用数轴求下列每组数在数轴上对应点之间的距离： (1)如图1所示，A，B两点的距离为___； (2)如图1所示，C，D两点的距离为___； (3)如图1所示，A，D两点的距离为___； 2 1 7 0. 07 (4)若在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，如图2所示. 则点M与点N的距离为_______. n－m 8. (运算能力·核心素养)下表列出几个城市与北京的时差(带正号的数表示同一时刻比北京早的时数). 解：(1)现在的纽约时间是9月19日20∶30，东京时间是9月20日9∶30. 如果现在北京时间是9月20日8∶30，那么： (1)现在的纽约时间是多少？现在的东京时间是多少？ (2)小明现在想给远在伦敦的表哥打电话，你认为合适吗？ 解：(2)伦敦时间是9月20日1∶30，不合适. 　有理数加减混合运算 知识储备：带括号符号的化简(即：去括号) 化简：　　　　　　　　　　 (1)－(＋9)＝______；　(2)－(－9)＝____； (3)＋(＋9)＝____; (4)＋(－9)＝____. 化简：　　　　　　　　　　　 (1)＋(＋8)＝____；　　 (2)＋(－8)＝____； (3)－(＋8)＝____. 总结：“－”的个数决定结果的符号：奇“－”偶“＋”. －9 9 9 －9 8 －8 －8 省略算式中的括号和加号，并指出化简后的式子的读法： (－1)＋(－2)＋(＋3)－(－4)＝______________. 读作：________________________， 或读作：______________. 简化算式的符号(去括号)并能解读算式 －1－2＋3＋4 负1、负2、正3、正4的和 负1减2加3加4 省略算式中的括号和加号，并指出化简后的式子的读法： －1＋(－2)－(－3)－(＋4)＝______________. 读作：_________________________， 或读作：______________. －1－2＋3－4 负1、负2、正3、负4的和 负1减2加3减4 有理数的加减混合运算 (BS七上P40例5改编)计算： (1) 解： (2) 解： (BS七上P41例6改编)计算： (1) (2) 解： 解： 总结：方法1：先把减法变加法； 方法2：简化算式的符号(去括号)，进行加减混合运算时可运用运算律简化运算. (BS七上P44 T5改编)一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶. 某一天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正，向南为负，当天记录如下(单位：千米)：－4. 3，－9. 5，＋7，－14，－6. 7，＋13，－6，－8. 5. (1)问B地在A地何处？相距多少千米？ 解：(1)－4. 3－9. 5＋7－14－6. 7＋13－6－8. 5 ＝－29(千米). 有理数加减混合运算的实际应用 答：B地在A地南方，相距29千米. (2)若汽车每行驶一千米耗油0. 2升，求这一天共耗油多少升. 解：(2)|－4.3|＋|－9.5|＋|＋7|＋|－14|＋|－6.7|＋|＋13|＋ |－6|＋|－8.5|＝69(千米)， 69×0. 2＝13. 8(升). 答：这一天共耗油13. 8升. 10袋大米，以每袋50 kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的记作负数，记录如下(单位：kg)：0. 5，0. 3，0，－0. 2，－0. 3，1. 1，－0. 7，－0. 2，0. 6, 0. 7. (1)最重的一袋大米与最轻的一袋大米相差多少千克？ 解：(1)1. 1－(－0. 7)＝1. 8(kg). 答：相差1. 8 kg. (2)这10袋大米的平均质量是多少千克？ 解：(2)0. 5＋0. 3＋0－0. 2－0. 3＋1. 1－0. 7－0. 2＋0. 6 ＋0. 7＝1. 8(kg). 50×10＋1. 8＝501. 8(kg)，501. 8÷10＝50. 18(kg). 答：这10袋大米的平均质量是50. 18 kg. 总结：理解行走路程和终点与出发地的距离关系. 1. 计算： (1)(－10)－(－20)＋(－30)－(－40)； 解：原式＝－10＋20－30＋40 ＝－10－30＋20＋40 ＝－40＋60 ＝20. (2)(－2. 4)＋5. 3－(－7. 6)－(－3. 7). 解：原式＝－2. 4＋5. 3＋7. 6＋3. 7 ＝－2. 4＋16. 6 ＝14. 2. 2. 计算： (1) 解： (2) 解： 3. 小明和小红在游戏中规定：初始均为0，长方形表示加，圆形表示减，结果小者为胜. 列式计算，小明和小红谁为胜者？ 解：小明：－4. 5＋3. 2－1. 1＋1. 4＝－1， 小红：－8＋2－(－6)＋(－7)＝－7， －7<－1. 答：小红为胜者. 4. 若 ，…，照此规律试求： (1)计算： (2)计算： 解：(2) (3)计算： 解：(3) 　有理数加减混合运算的综合应用 某水库上周日的水位是30 m，下表是该水库一周内水位高低的变化情况(用正数记水位比前一日上升量，用负数记水位比前一日下降量)，那么本周水位最低的是 ( ) A. 星期日 B. 星期四 C. 星期五 D. 星期六 与前一对象对比 D (BS七上P47 T21改编)一个病人每天上午8点需要测量一次血压，下表是该病人星期一至星期五血压的变化情况. (1)本周星期三与星期一相比较，血压上升还是下降了？ 解：(1)本周星期三的血压较上周星期日上升了＋30－18＋15＝27，本周星期一的血压较上周星期日上升了30，因为27－30＝－3，所以本周星期三与星期一相比较，血压下降了. (2)将本周的变化情况用折线图反映在如图所示的网格中. 解：(2)本周的变化情况如图所示. (3)如果该病人本周五的血压为185，那么他上周星期日的血压为多少？ 解：(3)185＋25－12－15＋18－30＝171， 所以他上周星期日的血压为171. 总结：注意计算结果都是与前一对象对比再加减得到变化后的. 有8筐白菜，以每筐20千克为标准重量，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录(单位：千克)如下：1. 5，3，2，－0. 5，1，－1. 5，－2，－2. 5. 解答下列问题： (1)这8筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重_____千克. 与统一标准对比 19. 5 (2)与标准重量相比较，8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？ 解：(2)因为1. 5＋3＋2＋(－0. 5)＋1＋(－1. 5)＋(－2)＋ (－2. 5)＝7. 5＋(－6. 5)＝1(千克)， 所以总计超过1千克. (3)若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 解：(3)这8筐白菜可卖(20×8＋1)×2＝322(元). 答：出售这8筐白菜可卖322元. 解：(1)最好成绩是＋14＋35＝49(个). 体育课上全班女生进行了一分钟仰卧起坐测验，达标成绩为35个. 下面是第一组8名女生的成绩记录(其中“＋”表示超过达标成绩的个数，“－”表示不足达标成绩的个数)：－5，0，＋7，＋12，－9，－1，＋6，＋14. (1)第一组8名女生中最好成绩是多少个？ 答：第一组8名女生中最好成绩是49个. (2)求第一组8名女生的平均成绩为多少. 解：(2)(－5)＋0＋7＋12＋(－9)＋(－1)＋6＋14 ＝－15＋39＝24(个)， 24÷8＝3(个)， 35＋3＝38(个). 答：第一组8名女生的平均成绩为38个. 总结：注意变化后的计算结果都是按统一标准进行加减. 1. 今年五一小长假期间，合肥某公园在5天假期中每天旅游的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数；单位：万人)： (1)5月1日的游客人数是多少万人？ 解：(1)依题意，得0. 5＋1. 6＋0. 8－0. 4＝2. 5(万人). 答：5月1日的游客人数是2. 5万人. (2)这5天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？相差多少万人？ 解：(2)4月29日：0. 5＋1. 6＝2. 1(万人)，4月30日：2. 1＋0. 8＝2. 9(万人)，5月1日：2. 9－0. 4＝2. 5(万人)，5月2日：2. 5－0. 8＝1. 7(万人)，5月3日：1. 7＋0. 2＝1. 9(万人)， 所以2. 9－1. 7＝1. 2(万人). (3)求今年五一小长假期间，该公园的游客总人数. 解：(3)依题意，得 2. 1＋2. 9＋2. 5＋1. 7＋1. 9＝11. 1(万人). 答：今年五一小长假期间，该公园的游客总人数为11. 1万人. 2. 下表是嘉嘉记录的今年雨季某河流一周的水位变化情况(上周末的水位恰好达到警戒水位)： 其中正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降. (1)本周星期____该河流的水位最高，与警戒水位的距离是_____米；星期____河流的水位最低，与警戒水位的距离是______米； (2)与上周末相比，本周末河流的水位______(选填“上升”或“下降”)了； 二 1. 11 日 0. 35 上升 (3)某市遭遇暴雨袭击，需要抗洪抢险，抢救灾民，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东走为正方向，当天航行路程记录(单位：千米)如下：12，－8，－15，－6，12，－7，11，－4. 若冲锋舟每千米耗油0. 5升，出发前冲锋舟油箱有油25升，求途中至少需补充多少升油. 解：(3)依题意，得|12|＋|－8|＋|－15|＋|－6|＋|12|＋|－7| ＋|11|＋|－4|＝75(千米)， 75×0. 5＝37. 5(升)，37. 5－25＝12. 5(升). 答：途中至少需补充12. 5升油. $$