精品解析：广东省揭阳市揭东区第三中学2024-2025学年高一上学期10月期中数学试题

揭东区第三中学2024-2025学年第一学期 高一年级期中考试数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.答案须做在答卷上；选择题填涂须用2B铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.考试结束后只需交答卷. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图形中，不是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知全集，集合，，则 A. B. C. D. 4. 设集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件. C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知命题：，那么是（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调增区间是（ ）. A. B. C. D. ， 8. 若函数为偶函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列关系中，正确的有（ ） A.  B. C. D. 10. 下面命题正确的是（    ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“任意，则”的否定是“存在，则” C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 函数满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________． 13. 设函数则_______． 14. 某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，.求： （1）； （2）. 16. 已知函数． （1）证明在(1，+∞)上是减函数； （2）当时，求的最小值和最大值． 17. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 18. 已知为定义在上的奇函数，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最小值. 19. 已知有限集，若，则称为“完全集”. （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于； （3）若为“完全集”，且，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 揭东区第三中学2024-2025学年第一学期 高一年级期中考试数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.答案须做在答卷上；选择题填涂须用2B铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.考试结束后只需交答卷. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据Venn图，明确阴影部分表示的集合的含义，即可求得答案. 【详解】由题意,可知Venn图中阴影部分表示的集合是 , 故选：D 2. 下列四个图形中，不是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的定义一一分析选项即可. 【详解】对于A，B，C选项中的图象，每一个的取值均有唯一的一个值与其对应， 符合函数定义，则A，B，C中图象均为函数图象； 对于D选项，每一个的取值，都有两个值与其对应，不符合函数的定义， 则D中图象不是函数图象． 故选：D 3. 已知全集，集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】，则 故选：A 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 4. 设集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件. C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】解：当时，，满足，故充分性成立； 当时，或，所以不一定满足，故必要性不成立. 故选：A. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，是基础题. 5. 已知命题：，那么是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解. 【详解】量词命题的否定是改变量词，否定结论， 故“”的否定是“”. 故选：C. 6. 已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过代入特殊值可判断A,B,C三个选项，从而可选出正确答案. 【详解】解：若，此时，，则A、B错误； 若，则，则C错误；由不等式的性质可知D正确， 故选:D. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题. 7. 函数的单调增区间是（ ）. A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 8. 若函数为偶函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数是偶函数得出参数恒成立，再结合函数定义域计算求参即可. 【详解】函数为偶函数，所以， 即得， 的定义域为， 在 或其子集上，即得， 所以恒成立，所以，，可得. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列关系中，正确的有（ ） A.  B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据集合与集合的关系，元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】根据集合间关系可得正确，错误 根据元素与集合之间的关系可得正确，错误 故选：AB. 10. 下面命题正确的是（    ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“任意，则”的否定是“存在，则” C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义判断A；根据全称命题的否定判断B；根据必要不充分条件的定义判断C，D. 【详解】解：对于A，“”“”， 由不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题“任意，则”的否定是“存在，则，故B正确； 对于C，当“且”成立，则“”成立， 但“”成立时，“且”不一定成立，如：，，故C错误； 命题：且，故“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 函数满足，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域的求法求解可判断A；利用同一函数的定义判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域可判断C；利用方程组法求解函数解析式判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为， 对于函数，则，解得，即函数的定义域为，故A正确； 对于B，定义域为，定义域为R， 所以和不是同一个函数，故B错误； 对于C，令，则，， 所以 因为，所以在上单调递减，所以， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，因为①， 所以②， ②得③， ①③得，， 解得，故D正确； 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式、根式以及零次方的意义列式求解即可. 【详解】令，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 设函数则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先计算出，进而计算出. 【详解】，. 故答案为： 14. 某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设每件衬衫提价元，则每件衬衫的售价为元，表示出每天出售衬衫的净收入，由不等关系列出不等式，解出的范围，即可得件衬衫的售价的取值范围. 【详解】设每件衬衫提价元，则每件衬衫的售价为元， 则每天出售衬衫的净收入为：（元）， 由题可知，， 整理得，，解得， ， 每件衬衫的售价的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，.求： （1）； （2）. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出，再由补集定义计算即可； （2）分别求出的补集，再由并集定义计算即可． 【小问1详解】 因为集合，， 所以， 所以或； 【小问2详解】 因为集合，， 所以或，或， 所以或． 16. 已知函数． （1）证明在(1，+∞)上是减函数； （2）当时，求的最小值和最大值． 【答案】（1）设，则 == ， ∵，，∴，， ∴， ∵，∴， ∴∴， ∴在上是减函数． （2） 【解析】 【分析】（1）利用单调性的证题步骤：取值、作差、变形定号、下结论，即可证得； （2）根据（1）中的结果在上是减函数，即可求的最小值和最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，∴在上是减函数， ∴，． 17. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】（1）7； （2）①36；②. 【解析】 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由题. 当且仅当，即时取等号； 【小问2详解】 ①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 18. 已知为定义在上的奇函数，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最小值. 【答案】（1）； （2）当时， 当时， 当时， 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义即可求函数的解析式． （2）根据函数的解析式，先画出图象，然后对进行分类讨论即可求出函数的值域． 【小问1详解】 ∵ 函数是定义在上的奇函数， ∴，且， ∴， 设，则， ∴， ∴ 【小问2详解】 可画出分段函数的图象如图所示，令，可解得 结合图象可知： （1）当时， （2）当时， （3）当时， 19. 已知有限集，若，则称为“完全集”. （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于； （3）若为“完全集”，且，求. 【答案】（1）是，理由如下： 由， ， 所以， 故集合是“完全集”. （2）由题设，令， 则，是方程的两个不同的正实数根， 所以或（舍），即， 又，，若，都不大于2，则，矛盾， 所以，至少有一个大于2. （3） 【解析】 【分析】（1）由“完全集”的定义判断即可； （2）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设，得到，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨令，则， 所以， 当，即，故，显然无解，不满足； 当，即，只能有，，， 故存在一个“完全集”； 当，， 即， 又， 且， 此时，显然有矛盾， 所以时不存在“完全集”； 综上，. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $