精品解析：贵州省六盘水市水城区2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年第一学期高一质量监测试卷 数学 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知某公司研发部的人数比客服部多，客服部的人数比营销部多，且营销部人数的3倍多于研发部的人数，若该公司营销部有5人，则该公司研发部、营销部和客服部的总人数的最大值是（ ） A. 18 B. 32 C. 25 D. 34 6. 若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 或 7. 用长的铁丝折成一个矩形，则该矩形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（ ） A. 128个 B. 127个 C. 256个 D. 255个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在四边形中，“四边形是梯形”的一个充分不必要条件可能是（ ） A. 平行于，且等于 B. 平行于，且不等于 C. 平行于，且不平行于 D. 平行于或平行于 10. 已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（ ） A. 3 B. C. 3.5 D. 6 11. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______． 13. 若，则函数的最小值是______． 14. 8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕．中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩，小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，. （1）求的取值范围； （2）证明：. 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 17. 已知，，且． （1）求的最小值； （2）证明：． 18. （1）若关于的不等式的解集为，求的值； （2）解关于的不等式． 19. 笛卡尔积是集合论中的一个基本概念，由法国数学家笛卡尔首次引入.笛卡尔积在计算机科学、组合数学、统计学等领域中有广泛的应用.对于非空数集，定义且，将称为“与的笛卡尔积”. （1）若，，求. （2）若集合是有限集，将的元素个数记为.已知是非空有限数集，，且对任意的集合恒成立，求的取值范围，并指明当取到最值时，和满足的关系式及应满足的条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高一质量监测试卷 数学 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用含一个量词的命题的否定进行判定. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：B 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解集合A中的不等式，再由交集的定义求解. 【详解】集合，又， 所以. 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】由不能推出，但由必有， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值讨论各选项即可求解. 【详解】因为，所以， 对于A，， 所以，A选项正确； 对于BCD，当时，，，无意义，故BCD选项错误. 故选：A. 5. 已知某公司研发部的人数比客服部多，客服部的人数比营销部多，且营销部人数的3倍多于研发部的人数，若该公司营销部有5人，则该公司研发部、营销部和客服部的总人数的最大值是（ ） A. 18 B. 32 C. 25 D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】设研发部有人，客服部有人，依题意列出不等式，求出的最大值即可. 【详解】设研发部有人，客服部有人，则有， 得最大值为14，最大值为13， 该公司研发部、营销部和客服部的总人数的最大值是. 故选：B. 6. 若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，一元二次不等式对一切实数都成立， 所以，解得， 所以的取值集合为. 故选：A 7. 用长的铁丝折成一个矩形，则该矩形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设该矩形相邻的两边长为，列出等量关系，然后结合均值不等式求解即可. 【详解】设该矩形相邻的两边长为，则，即. 由，，则，得， 当且仅当时，等号成立. 故该矩形面积的最大值为. 故选：A. 8. 我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（ ） A. 128个 B. 127个 C. 256个 D. 255个 【答案】D 【解析】 【分析】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身，先得出集合的子集个数，类比可得不同全子集族、不同子集族个数. 【详解】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身， 一般地，设集合中有个元素，则它有个子集， 我们对所有子集按元素个数分类为：， 则集合不同的全子集族个数为个， 从而集合不同的子集族个数为个， 若集合B中有3个元素， 从而B的不同子集族有个. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键在于对新定义的理解，由此即可顺利得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在四边形中，“四边形是梯形”的一个充分不必要条件可能是（ ） A. 平行于，且等于 B. 平行于，且不等于 C. 平行于，且不平行于 D. 平行于或平行于 【答案】BC 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法，对各选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由“平行于且等于”推出“四边形是平行四边形”，所以选项A错误， 对于选项B，因为“平行于，且不等于”可以推出“四边形是梯形”， 但“四边形是梯形”推不出“平行于，且不等于”，如图所示， 当，且时，是梯形，但不满足“平行于，且不等于”，所以选项B正确， 对于选项C，“平行于且不平行于” 可以推出“四边形是梯形”， 但“四边形是梯形”推不出“平行于且不平行于”，如图所示， 当，且不平行时，是梯形，但不满足“平行于且不平行于”，所以选项C正确， 对于选项D，由“平行于或平行于”不能推出“四边形是梯形”，所以选项D错误， 故选：BC. 10. 已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（ ） A. 3 B. C. 3.5 D. 6 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用真子集概念，得出关于的不等式，解之即可判断选项正误. 【详解】因是的真子集， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 故需使或，解得或； 综上所述：或； 故选：BCD. 11. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式求的取值范围，可判断A选项；利用“1”的代换，结合基本不等式，可判断B选项；由和并用它们等成立的条件来判断C选项；将代入，进而用配方法求可求最小值，即判断D选项. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，即，当且仅当，即时，等号成立，故A错误. 对于B：因为，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确. 对于C：因为，所以，当且仅当时，等号成立. 因为，当且仅当时，等号成立，所，故C错误. 对于D：因为，所以， 所以，当且仅当，时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______． 【答案】-4 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系和集合中元素的互异性求解. 【详解】若，由元素与集合的关系和集合中元素的互异性， 则有且，或者且， 解得. 故答案为：-4 13. 若，则函数的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】将函数化为，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】，则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值是. 故答案为：. 14. 8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕．中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩，小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为______． 【答案】46 【解析】 【分析】根据给定条件，画出韦恩图，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为， 喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为，喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为， 喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为，如图， 则，后三个方程相加得， 与第一个方程消去得， 所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为. 故答案为：46 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，. （1）求的取值范围； （2）证明：. 【答案】（1） （2） 由题意得， 则，， 得， 所以. 【解析】 【分析】（1）应用不等式的性质计算可得范围 （2）应用不等式的性质计算即可证明. 【小问1详解】 由题意得，， 所以. 【小问2详解】 略 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式得到集合，代入集合中，由补集和交集的定义求解； （2）依题意有，利用集合的包含关系列不等式求的取值范围． 【小问1详解】 不等式解得或，即或， 则有， 当时，， 所以. 【小问2详解】 ，则有， 由，， 则有或，解得或， 所以的取值范围为. 17. 已知，，且． （1）求的最小值； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明:， 当且仅当，即时取等号，所以. 【解析】 【分析】（1）变换得到，再利用均值不等式计算得到答案； （2）变换，展开利用均值不等式即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， ，，故，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最小值为8； 【小问2详解】 略 18. （1）若关于的不等式的解集为，求的值； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）0 （2）时，不等式解集为：； 时，不等式解集为： ； 时，不等式解集为：. 【解析】 【分析】（1）已知二次不等式解集，需要转化为解集两端点是对应方程的两根，再由根与系数的关系得出结论； （2）解二次不等式需要对不等式进行因式分解，再讨论两根的大小关系，得到解集. 【详解】（1）由题意可知是方程的两根， ∴，∴， ∴， （2）， ∴， ∴， ①当，即时，解得； ②当，即时，解得 ； ③当，即时，解得. 综上所述：时，不等式解集为：； 时，不等式解集为： ； 时，不等式解集为：. 19. 笛卡尔积是集合论中的一个基本概念，由法国数学家笛卡尔首次引入.笛卡尔积在计算机科学、组合数学、统计学等领域中有广泛的应用.对于非空数集，定义且，将称为“与的笛卡尔积”. （1）若，，求. （2）若集合是有限集，将的元素个数记为.已知是非空有限数集，，且对任意的集合恒成立，求的取值范围，并指明当取到最值时，和满足的关系式及应满足的条件. 【答案】（1） （2）；当时，， 【解析】 【分析】（1）根据的定义运算，再求交集即得； （2）设，则，先化简，再运用基本不等式求的范围，并结合根式分析求解. 【小问1详解】 因，， 则， ， 故； 【小问2详解】 设， 则（*），， 则当且仅当时，等号成立； 因对任意的集合恒成立，故得，即； 当时，，即， 则由（*）可得，则，故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $