第19章 几何证明 章节测试练习卷 - 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第19章 几何证明 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（　　） A． B． C． D．，， 2．一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动（　　） A．0m B．1m C．2m D．3m 3．下列尺规作图，能确定是的中线的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，的垂直平分线交于点，若，则的度数是（    ） A．25° B．20° C．30° D．15° 5．用下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（   ）． A．1cm, 2cm, 3cm B．cm, cm,cm C．9cm, 12cm, 15cm D．2cm, 3cm, 4cm 6．如图，笑笑将一张A4纸（M4纸的尺寸为210mm×297mm，AC＞AB）剪去了一个角，量得CF＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直角三角形的斜边长为（    ） A．50 mm B．120 mm C．160 mm D．200 mm 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．在△ABC中，AB=AC，O为平面上一点，且OB=OC，点A到BC的距离为8，点O到BC的距离为3，则AO的长为 ． 8．在中，，的垂直平分线交于点M﹐交于点N，，则的长为 ． 9．如图，牧童在A处放牛，牛棚在B处，A、B到河岸的距离相等，即，若点A到河岸的距离为，C、D两点间的距离为，则牧童从A处把牛牵到河边饮完水，再把牛送回牛棚的最短路程是 ． 10．如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ； 11．如图，在中，平分，交于点D．已知，则的面积为 ． 12．如图，在平面直角线坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上运动，且始终保持线段的长度不变，M为线段的中点，连接，则线段的长度最小值是 ． 13．某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米． 14．如图，已知等边三角形，D是延长线上的一点，点E在边上．若，，，则的长为 ． 15．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为 ． 16．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是32，AB＝9cm，AC＝7cm，则DE= ． 17．如图，中，边的垂直平分线交于点D，垂足为点F，边的垂直平分线交于点E，垂足为点G．设为，为． （1）如图1，与满足的等量关系式为 ； （2）如图2，与满足的等量关系式为 ． 18．如图，在中，，、分别为边、上的点，与相交于点，，在下列结论中： ①； ②； ③连接，则所在的直线为的对称轴； ④四边形的面积与的面积相等． 其中正确的是 （填写所有正确结论的序号） ．    三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知 米， 米， ，米， 米．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米 100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？    20．已知：如图，的面积为，现将沿直线向右平移个单位到的位置． (1)求边上的高； (2)若， ①求线段的长； ②连接，当时等腰三角形时，求a的值． 21．已知，从点O引射线OC，使，作的角平分线OD． （1）依题意画出图形； （2）求的度数. 22．为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．    (1)请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定的依据； (2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 23．如图，和分别平分的内角和外角，交于点F，连接． (1)求证：平分； (2)若，请判断的形状，并证明你的结论． 24．如图，架在消防车上的云梯长为，云梯底部离地面的距离为，，求出云梯顶端离地面的距离．    25．一艘轮船自西向东以每小时10海里的速度航行，上午．轮船在A处测得小岛C在北偏东方向上，到达B处，半径为15海里的范围内遍布暗礁，试问轮船继续向东航行是否有触礁的危险？请通过计算说明（参考数据：，） 26．如图，吊车是一种多功能的起重机械，它常用于搬运重型机械、物品等大型物体．现有一个大型物体要用吊车放到楼房的顶层去，吊车的吊臂需要伸长到米，吊车到楼房的水平距离为米，吊车车身的高为米、求楼房的高度． 27．某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，，斜坡长米，，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当斜坡的角度不超过时，可确保山体不滑坡． (1)求改造前坡B到地面的垂直距离的长； (2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿削进到F处，问至少是多少米？ ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 几何证明 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（　　） A． B． C． D．，， 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理判断A和D即可；根据三角形的内角和定理判断B和C即可． 【详解】解：A．∵， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴最大角， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴， ∴以a，b，c为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容和三角形的内角和定理等于180°是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边a、b的平方和等于第三边c的平方，即，那么这个三角形是直角三角形． 2．一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动（　　） A．0m B．1m C．2m D．3m 【答案】B 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】在Rt△ACB中，运用勾股定理，求出AC的长；根据题意，在Rt△A'CB'中，再利用勾股定理，求出B'C的长，从而求出BB'即为所求． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=5 m，BC=3 m． 由勾股定理，得AB2=AC2+BC2． ∴AC2=AB2-BC2=52-32=42． ∴AC=4． 在Rt△A'CB'中，∠C=90°，A'C=AC-AA'=4-1=3，A'B'=5． 由勾股定理，得A'B'2=A'C2+B'C2． ∴B'C2=A'B'2-A'C2=52-32=42． ∴B'C=4． ∴BB'=B'C-BC=4-3=1(m)． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键． 3．下列尺规作图，能确定是的中线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】根据5种基本作图对各选项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A． AD为BC边的中线，所以A选项符合题意； B．点D为AB的垂直平分线与BC的交点，则DA=DB，所以B选项不符合题意； C．AD为∠BAC的平分线，所以C选项不符合题意； D．AD为BC边的高，所以D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了三角形的平分线、中线和高． 4．如图，的垂直平分线交于点，若，则的度数是（    ） A．25° B．20° C．30° D．15° 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】根据等要三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果． 【详解】解：∵AB=AC，∠C=∠ABC=65°， ∴∠A=180°-65°×2=50°， ∵MN垂直平分AB， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=50°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理． 5．用下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（   ）． A．1cm, 2cm, 3cm B．cm, cm,cm C．9cm, 12cm, 15cm D．2cm, 3cm, 4cm 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可． 【详解】A、∵12+22≠32，∴不能构成直角三角形； B、∵2+2≠2，∴不能构成直角三角形； C、∵92+122=152，∴能构成直角三角形； D、∵22+32=≠42，∴不能构成直角三角形． 故选C． 【点睛】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即只要三角形的三边满足a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形． 6．如图，笑笑将一张A4纸（M4纸的尺寸为210mm×297mm，AC＞AB）剪去了一个角，量得CF＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直角三角形的斜边长为（    ） A．50 mm B．120 mm C．160 mm D．200 mm 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答． 【详解】解：延长BE、CF相交于D，则△EFD构成直角三角形， 运用勾股定理得： EF2＝（210﹣90）2+（297﹣137）2＝1202+1602＝40000， 所以EF＝200． 则剪去的直角三角形的斜边长为200mm． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题要延长BD、DC相交于F,构造直角三角形，然后用勾股定理进行计算． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．在△ABC中，AB=AC，O为平面上一点，且OB=OC，点A到BC的距离为8，点O到BC的距离为3，则AO的长为 ． 【答案】5或11． 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】先利用，可判断点、都在的垂直平分线上，然后分类讨论：当点在的内部时，易得；当点在的外部时，易得． 【详解】解：如图所示： ， 点在的垂直平分线上， 而， 点在的垂直平分线上， 当点在的内部时，； 当点在的外部时，． 故答案为：5或11． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等，等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 8．在中，，的垂直平分线交于点M﹐交于点N，，则的长为 ． 【答案】7 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】连接MA，根据垂直平分线的性质可知MA=MB，再由等边对等角可得∠1=∠B，根据外角的性质可得出∠2的度数．在Rt△ACM中根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得出结论． 【详解】解：连接MA． ∵MN是线段AB的垂直平分线， ∴MA=MB=14cm， ∴∠1=∠B=15°． ∵∠2是△ABM的外角， ∴∠2=∠1+∠B=15°+15°=30°． 在Rt△ACM中，∵∠2=30°， ∴ACMA12=7cm． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质，掌握30°角所对直角边等于斜边的一半是解答本题的关键． 9．如图，牧童在A处放牛，牛棚在B处，A、B到河岸的距离相等，即，若点A到河岸的距离为，C、D两点间的距离为，则牧童从A处把牛牵到河边饮完水，再把牛送回牛棚的最短路程是 ． 【答案】/200米 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】根据轴对称的性质和” 两点之间线段最短，连接得到最短距离为，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：作出A关于的对称点，连接与相交于M， 则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是的长， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定和性质，正确的作出最短距离是解题的关键． 10．如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ； 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可得，然后利用的周长为和等量代换可得，即可解答． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． ∴， ∵的周长为， ， ， ， ∴的长为； 故选：． 11．如图，在中，平分，交于点D．已知，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 过点D作于E，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵，平分， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在平面直角线坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上运动，且始终保持线段的长度不变，M为线段的中点，连接，则线段的长度最小值是 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】如图，当时，线段长度的最小．首先证明点A与点B关于直线对称，因为点A，B在反比例函数的图象上，，所以可以假设，则，则，整理得，推出，，可得，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，因为反比例函数关于直线对称，观察图象可知：当线段与直线垂直时，垂足为M，此时，的值最小， ∵M为线段的中点， ∴， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点A与点B关于直线对称， ∵， ∴设，则， ∴， 整理得， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合，勾股定理，垂直平分线的性质，轴对称性质，判断取得最小值时A，B两点的位置，熟练掌握对称两点坐标的设法，函数解析式代入求值，由坐标计算线段长度的方法是解题的关键． 13．某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米． 【答案】2 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键． 如图：过点D作于点E，构造，再利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图：过点D作于点E，则米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得到：（米）， 故答案为：2． 14．如图，已知等边三角形，D是延长线上的一点，点E在边上．若，，，则的长为 ． 【答案】1 【知识点】含30度角的直角三角形、根据三线合一证明、等边三角形的性质 【分析】过D作DF⊥AB于F，根据等边三角形的性质得到∠A=60°，求得∠ADF=30°，得到AD=2AF，可得AF=2，根据等腰三角形的性质得到EF=BF=1，由AE=AB−BF−EF即可得到结论． 【详解】解：过D作DF⊥AB于F， ∵DE=DB， ∴EF=BF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=60°，AB=AC=3， ∴∠ADF=30°， ∴AD=2AF， ∵AC=3，CD=1， ∴AD=4，AF=2， ∵BF=EF=3−2=1， ∴AE=AB−BF−EF=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为 ． 【答案】13 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的定义 【详解】试题分析：因为等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，所以AB=AC=8，又DE垂直平分AB，所以AE=BE,所以△BEC的周长为=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13． 考点：1．等腰三角形的性质；2．垂直平分线的性质． 16．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是32，AB＝9cm，AC＝7cm，则DE= ． 【答案】4cm 【详解】试题解析：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB×DE+AC×DF ∴S△ABC=（AB+AC）×DE 即×（9+7）×DE=32， 故DE=4cm． 17．如图，中，边的垂直平分线交于点D，垂足为点F，边的垂直平分线交于点E，垂足为点G．设为，为． （1）如图1，与满足的等量关系式为 ； （2）如图2，与满足的等量关系式为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得到BD=AD，AE=CE，∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再由∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE，即可得到∠DAE=2∠BAC-180°，由此求解即可； （2）先根据垂直平分线的性质得到BD=AD，AE=CE，∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再由∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=∠BAD+∠CAE-∠DAE，即可得到∠DAE=180°-2∠BAC，，由此求解即可； 【详解】解：（1）由题意得：DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线， ∴BD=AD，AE=CE， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE， ∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE， ∴∠BAC-∠DAE+∠BAC=180°， ∴∠DAE=2∠BAC-180°， ∵， ∴ ； （2）由题意得：DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线， ∴BD=AD，AE=CE， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE， ∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=∠BAD+∠CAE-∠DAE ∴∠BAC+∠DAE+∠BAC=180°， ∴∠DAE=180°-2∠BAC， ∵， ∴ ； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 18．如图，在中，，、分别为边、上的点，与相交于点，，在下列结论中： ①； ②； ③连接，则所在的直线为的对称轴； ④四边形的面积与的面积相等． 其中正确的是 （填写所有正确结论的序号） ．    【答案】①②③ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定 【分析】可利用证明①；由全等三角形的性质及等腰三角形的性质可得，进而可证明②；利用线段垂直平分的判定可得是的垂直平分线，进而可判定③；当时，利用三角形的中线的性质可得，再证明可得，进而可证明④． 【详解】解：在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确； 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 直线是的垂直平分线， 即所在的直线为的对称轴，故③正确； ④当时，则， 在和中， ， ， ， ， 由于缺乏条件，故不能判定，故④错误， ∴正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知 米， 米， ，米， 米．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米 100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？    【答案】铺满这块空地共需花费元 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形面积，勾股定理逆定理的应用，解答此题的关键是求出区域面积．连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理求出，求出空地面积，即可求出答案． 【详解】解：连接，如图所示：    在Rt中，，米，米， 由勾股定理得：米， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 该空地面积为：平方米， 即铺满这块空地共需花费元．. 20．已知：如图，的面积为，现将沿直线向右平移个单位到的位置． (1)求边上的高； (2)若， ①求线段的长； ②连接，当时等腰三角形时，求a的值． 【答案】(1)边上的高为4； (2)①；②当是等腰三角形时，的值为5或6或． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平移的性质求解 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握勾股定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）作于，根据三角形的面积公式计算； 根据勾股定理求出、，根据平移的性质解答； 分、、三种情况，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：作于， 的面积为16，， ， 解得，即边上的高为4； （2）解：在中，， ， 在中，， 由平移的性质可知，； 当时，； 当时，， 则； 当时，， 在中，， 即， 解得， 则当是等腰三角形时，的值为5或6或． 21．已知，从点O引射线OC，使，作的角平分线OD． （1）依题意画出图形； （2）求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）80°或40° 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】（1）根据题意画出符合的两种情况； （2）根据角平分线定义求出∠AOD，即可求出答案. 【详解】（1）分两种情况讨论：当在的外部时，如图1所示；当在的内部时，如图2所示. 图1   图2 （2）如图1，因为射线OD平分， 所以. 所以； 如图2，因为射线OD平分， 所以， 所以. 所以，的度数为80°或40°. 【点睛】此题考查角平分线的定义，解题关键在于求出∠AOD，分情况讨论. 22．为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．    (1)请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定的依据； (2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 【答案】(1)施工人员测量的是AC的距离，见解析 (2)12540元 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】（1）直接利用勾股定理的逆定理分析得出答案； （2）直接利用勾股定理的逆定理得出，再利用直角三角形的面积公式求出答案． 【详解】（1）施工人员测量的是AC的距离．依据：若，则． 在中，，， ∴， ∴为直角三角形，且． （2）在中，，， ∴为直角三角形，且． ∴， ∴（元）． 答：该学校建成这块塑胶场地需花费12540元．    【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，正确应用勾股定理的逆定理是解题的关键． 23．如图，和分别平分的内角和外角，交于点F，连接． (1)求证：平分； (2)若，请判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，证明见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）过D作于Q，于R，于W，根据角平分线的性质可得，进而可得，最后根据角平分线的性质即可证明； （2）根据，可得，再根据平分，，进而可得，则，可得，最后证明，即可得到是等腰三角形． 【详解】（1）证明：过D作于Q，于R，于W， ∵和分别平分的内角和外角， ∴， ∴， ∵， ∴点D在的平分线上，即平分； （2）结论：是等腰三角形． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、等边对等角的性质和平行线的判定与性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 24．如图，架在消防车上的云梯长为，云梯底部离地面的距离为，，求出云梯顶端离地面的距离．    【答案】 【知识点】化为最简二次根式、利用平行线间距离解决问题、求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，平行线间间距相等，先利用勾股定理求出，再证明，则由平行线间间距相等得到，据此可得． 【详解】解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴云梯顶端离地面的距离为． 25．一艘轮船自西向东以每小时10海里的速度航行，上午．轮船在A处测得小岛C在北偏东方向上，到达B处，半径为15海里的范围内遍布暗礁，试问轮船继续向东航行是否有触礁的危险？请通过计算说明（参考数据：，） 【答案】轮船继续向东航行没有触礁的危险 【知识点】用勾股定理解三角形、解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形． 过点C作于点D，，海里，推出，则海里，再得出，则海里，根据勾股定理可得：（海里），即可得出结论． 【详解】解：过点C作于点D， 由题意可知，，海里， ∴， ∴， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里， 根据勾股定理可得：（海里）， ∵， ∴轮船继续向东航行没有触礁的危险． 26．如图，吊车是一种多功能的起重机械，它常用于搬运重型机械、物品等大型物体．现有一个大型物体要用吊车放到楼房的顶层去，吊车的吊臂需要伸长到米，吊车到楼房的水平距离为米，吊车车身的高为米、求楼房的高度． 【答案】米 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点作，可得平行四边形是矩形，得到米，米， 即可由勾股定理得米，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，则， ， ∴四边形是矩形， 米，米， 由勾股定理得，米， 米， ∴楼房的高度为米． 27．某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，，斜坡长米，，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当斜坡的角度不超过时，可确保山体不滑坡． (1)求改造前坡B到地面的垂直距离的长； (2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿削进到F处，问至少是多少米？ 【答案】(1) (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正确作出辅助线是关键． （1）根据题意及勾股定理进行求解即可得BE的长． （2）当是时，作于点H，连接，在直角、中，求得的长，则即可求得． 【详解】（1）解：∵， ∴设，则， 则 解得：， 则，； （2）作于点H，连接， 则， 当时，， 则， 则至少是米． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$