第13章 分式 章节测试练习卷 - 2024-2025学年七年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第13章 分式（2024） 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．约分：（    ） A． B． C． D． 2．下列式子①，②3；③；④中，分式有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．分式的值可能等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 4．若（，），则的值为（    ） A． B． C．1 D． 5．下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 6．下列算式中，你认为正确的是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．计算： ． 8．方程 的解为 ． 9．的运算结果是 ． 10．化简： ． 11．已知，且3x-2y+z≠0，求= ． 12．若方程有增根，则m＝ ． 13．计算：（2﹣5π）0+（）﹣2＝ ． 14．计算 ． 15．计算的结果是 ． 16．若，则代数式的值为 ． 17．某种罐装凉茶一箱的价格为元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜元，设每箱中有凉茶罐，则可列方程： ． 18．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”． （1）最小的“如意数”是 ； （2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ． 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．化简： 20．计算：． 21．某班级为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳．已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费300元，购买排球共花费450元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多10个，求跳绳的单价． 22．修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元． (1)求甲、乙两个工程队每天各修建多少米； (2)为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由． 23．列分式方程解应用题：某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售的这种饮料每箱多少瓶？ 24．如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值也为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 25．疫苗是防控疫情的重要手段，是国际抗疫合作的重要内容．中国将新冠疫苗作为全球公共产品，并加入了世界卫生组织新冠肺炎疫苗实施计划，这既是为国际社会战胜疫情作出贡献．也是在践行人类命运共同体理念．某制药厂计划生产1200万份因产疫苗，在实际生产中，该制药厂提高了生产速度，每天生产的疫苗数变为原来的1.5倍，结果比原计划提前4天完成任务． (1)求原计划每天生产疫苗多少万份？ (2)在生产中，如果要求比原计划提前2天完成任务，直接写出实际平均每天生产的疫苗数比原计划增加百分之几？ 26．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式：反之、称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； (1)下列分式中、属于真分式的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将假分式化成整式与真分式的和的形式； (3)当整数 时，分式的值为整数． 27．【问题呈现】 为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？ (1)【分析交流】 某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整； 生产量 时间 原先 现在 生产总量（单位：万剂） 240 每天生产量（单位：万剂） x ___________ (2)【建模解答】 （请你完整解答本题） (3)【解题收获】 通过本问题的解决，请简述你对模型观念有何感想？ ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 分式（2024） 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．约分：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】约分 【分析】原式约分即可得到结果． 【详解】解：原式． 故选：A． 【点睛】此题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键是找出分子分母的公因式． 2．下列式子①，②3；③；④中，分式有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】形如（A、B均为整式，B中有字母，），这样的式子是分式，根据分式的定义解答即可． 【详解】解：式子①，②3；③；④中，分式有，，共2个， 故选B 【点睛】本题考查的是分式的定义，熟记分式的定义是解本题的关键． 3．分式的值可能等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式有意义的条件 【分析】首先化简分式，进而利用分式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：， ，故选项A不符合题意； ，则，存在，故选项B符合题意； ，则，此时原式无意义，故选项C不符合题意； ，则，此时原式无意义，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式的乘除，正确化简分式是解题关键． 4．若（，），则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】分式化简求值 【分析】根据（，），设，则，然后代入计算即可． 【详解】解：∵（，）， ∴设，则， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的定义 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断． 【详解】解：A. 方程分母中含未知数x，所以是分式方程     B.方程分母中不含未知数，故不是分式方程     C. 方程分母中含未知数x，所以是分式方程     D. 方程分母中含未知数x，所以是分式方程 故选：B． 【点睛】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 6．下列算式中，你认为正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】根据分式的加减，乘除的法则，进行通分、约分，计算可得答案． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项正确，符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意， 故选：B． 【点睛】此题考查了分式的加减乘除运算，解题的关键是注意结果进行约分，化成最简分式． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．计算： ． 【答案】/ 【知识点】有理数的乘方运算、负整数指数幂、零指数幂 【分析】根据负整数指数幂以及零指数幂的运算法则计算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂以及零指数幂的运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． 8．方程 的解为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可． 【详解】解： 两边乘得，， ， ， 检验，当时，， 是原分式方程的解． 故答案为：． 9．的运算结果是 ． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算、同分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减运算，平方差公式，根据分式的加减法法则进行计算即可得答案． 【详解】 ， 故答案为：. 10．化简： ． 【答案】1 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式= = =1 故答案为：1． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 11．已知，且3x-2y+z≠0，求= ． 【答案】 【知识点】分式的求值 【分析】首先利用，设x=3a，y=5a．z=7a，进而代入求出即可． 【详解】解：∵，且3x-2y+z≠0， ∴设x=3a，y=5a．z=7a， ∴==， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的值，正确利用一个未知数表示出x，y，z的值是解题关键． 12．若方程有增根，则m＝ ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】根据题意可得x=5，然后把x=5代入整式方程中进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ． ∵方程有增根， ∴x=5， 把x=5代入中得： ， 故答案为． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键． 13．计算：（2﹣5π）0+（）﹣2＝ ． 【答案】5 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂计算，即可求解． 【详解】解：（2﹣5π）0+（）﹣2 ＝1+4 =5 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂法则是解题的关键． 14．计算 ． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】 ． 故答案为：. 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15．计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】负整数指数幂 【分析】根据负整数指数幂的意义计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算，任何不等于0的数的（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数． 16．若，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查的是分式的化简求值，由条件可得，再化简，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为： 17．某种罐装凉茶一箱的价格为元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜元，设每箱中有凉茶罐，则可列方程： ． 【答案】 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】解：本题考查了分式方程的应用，设每箱中有凉茶罐，根据题意，列出方程即可，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每箱中有凉茶罐， 依题意可得，， 故答案为：． 18．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”． （1）最小的“如意数”是 ； （2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ． 【答案】 【知识点】分式除法、分式有意义的条件 【分析】（1）根据“如意数”的定义进行判断即可得； （2）设两位数和的十位数字均为，的个位数字为，则的个位数字为，且m为1至9的自然数，从而可得，，再求出，根据，自然数M的个位数字不为0，以及 ，可得为5或者4 ，然后根据能被7整除分别求出、的值，由此即可得． 【详解】（1）∵自然数M的个位数字不为0， ∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：， 故答案为：； （2）由题意，设两位数和的十位数字均为，的个位数字为，则的个位数字为，且m为1至9的自然数， ，， ，， ∵，自然数M的个位数字不为0， ∴为5 、4或者3， ∵， ∴为5或者4 ， ，即的分子时奇数， 当时，，分子是奇数，分母时偶数，则该数不是整数， 不符合题意，舍去； 当时，， 能被7整除，且m为1至9的自然数， 满足条件的整数只有6， ，， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用、整式加减的应用等知识点，正确理解“如意数”的定义是解题关键． 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．化简： 【答案】x 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】此题考查了分式的化简．先把括号内通分、除法转化为乘法以及分子与分母因式分解，约分后即可化简后求解． 【详解】解：原式 20．计算：． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、含乘方的有理数混合运算 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键，直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解： 21．某班级为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳．已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费300元，购买排球共花费450元，购买跳绳的数量比购买排球的数量多10个，求跳绳的单价． 【答案】跳绳的单价是15元 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题主要考查分式方程的应用，设跳绳的单价为x元，则排球的单价为元，根据题中“购买跳绳的数量比购买排球的数量多10个”列方程即可解答，正确找到数量关系列出方程是解题的关键。 【详解】解：设跳绳的单价为x元，则排球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意． 答：跳绳的单价是15元． 22．修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元． (1)求甲、乙两个工程队每天各修建多少米； (2)为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由． 【答案】(1)甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米 (2)甲工程队所花费用较少；理由见解析 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、分式方程的实际应用 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确计算． （1）设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，列出方程，解方程即可； （2）分别求出两个工程队完成任务需要的时间和费用，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， （天）， 答：甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米． （2）解：甲工程队修建时间为：（天），需要花费： （万元）， 乙工程队修建时间为：（天），需要花费： （万元）， ∵， ∴两个工程队都能在天内完成， ∵， ∴甲工程队所花费用较少． 23．列分式方程解应用题：某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售的这种饮料每箱多少瓶？ 【答案】这家超市销售这种饮料每箱18瓶 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用，设品牌饮料每箱瓶，根据“买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售”列方程求解即可，根据题意找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设品牌饮料每箱瓶，则依据题意得： 解得： 经检验：是原方程的解 答：这家超市销售这种饮料每箱18瓶． 24．如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值也为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 【答案】(1)与互为“和整分式”，“和整值”为 (2)；或或 【知识点】异分母分式加减法、同分母分式加减法 【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算，理解新定义是解题的关键． （1）把与相加，根据同分母的分式的加减运算化简即可判断； （2）①把与相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据与互为“和整分式”且“和整值”求出答案； ②根据为正整数，分式的值也为正整数计算即可． 【详解】（1）解：，， ， 故与互为“和整分式”， “和整值”为； （2）解：①， 由于“和整值”， ， 即， ； ②， 分式的值也为正整数， 或或， 解得或或． 25．疫苗是防控疫情的重要手段，是国际抗疫合作的重要内容．中国将新冠疫苗作为全球公共产品，并加入了世界卫生组织新冠肺炎疫苗实施计划，这既是为国际社会战胜疫情作出贡献．也是在践行人类命运共同体理念．某制药厂计划生产1200万份因产疫苗，在实际生产中，该制药厂提高了生产速度，每天生产的疫苗数变为原来的1.5倍，结果比原计划提前4天完成任务． (1)求原计划每天生产疫苗多少万份？ (2)在生产中，如果要求比原计划提前2天完成任务，直接写出实际平均每天生产的疫苗数比原计划增加百分之几？ 【答案】(1)100 (2) 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】（1）设原计划每天生产疫苗万份，则提高生产速度后每天生产疫苗万份，根据时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前4天完成，即可得出关于的分式方程，解分式方程即可； （2）设实际平均每天生产的疫苗数为万份，由题意：在生产中，如果要求比原计划提前2天完成任务，列出分式方程，解方程，即可解决问题． 【详解】（1）设原计划每天生产疫苗万份，则提高生产速度后每天生产疫苗万份， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天生产疫苗100万份． （2）设实际平均每天生产的疫苗数为万份， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：实际平均每天生产的疫苗数比原计划增加． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 26．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式：反之、称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； (1)下列分式中、属于真分式的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将假分式化成整式与真分式的和的形式； (3)当整数 时，分式的值为整数． 【答案】(1)②④ (2) (3)或 【知识点】整式的判断、分式化简求值 【分析】本题考查了整式的定义，分式的化简，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意将四个分式分别化简，可以化简成整式与真分式的和的形式，为假分式，反之为真分式． （2）现将分子中凑出分母，即，再化简即可． （3）由于，故当分式的值为整数时，为整数即可，然后分情况讨论，或即可求解． 【详解】（1）①∵，故其是假分式． ②，分子整式的次数是，分母整式的次数是． ③，故其是假分式． ④，分子整式的次数是，分母整式的次数是． 根据真分式的定义，属于真分式的是：②④． 故答案为：②④． （2）按照题意可得． （3）∵， ∴当分式的值为整数时，为整数， ∵为整数， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 27．【问题呈现】 为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？ (1)【分析交流】 某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整； 生产量 时间 原先 现在 生产总量（单位：万剂） 240 每天生产量（单位：万剂） x ___________ (2)【建模解答】 （请你完整解答本题） (3)【解题收获】 通过本问题的解决，请简述你对模型观念有何感想？ 【答案】(1)（1+20%）x (2)见解析 (3)构建分式方程解决问题 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】(1)由题意即可得出结论； (2)设原先每天生产x万剂疫苗，则现在每天生产（1+20%）x万剂疫苗，由题意：现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，列出(3)分式方程，解方程即可； 构建分式方程即可． 【详解】（1）由题意得：原先生产x万剂疫苗，则现在每天生产（万剂疫苗， 故答案为：； （2）设原先每天生产x万剂疫苗，则现在每天生产万剂疫苗， 由题意得：， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：原先每天生产40万剂疫苗． （3）通过本问题的解决，我的收获是：构建分式方程解决问题， 故答案为：构建分式方程解决问题． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$