精品解析：内蒙古赤峰市名校2024-2025学年高三上学期联合考试数学试题

高三数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册，必修第二册第六章至第七章，选择性必修第二册第五章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合一元二次不等式求出集合A，根据集合的交集运算，即得答案. 【详解】依题意可得，， 则， 故选：B 2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ） A. 2i B. 4 C. 2 D. 4i 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据复数的概念求解即可. 【详解】由，故z的虚部为4． 故选：B. 3. 已知，，，若A，B，C三点共线，则m=（ ） A. 11 B. 9 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由三点共线转换为向量共线，由向量共线的充要条件即可求解. 【详解】由题意与共线，所以，解得． 故选：A. 4. 已知曲线C：在点A处的切线与直线平行，则该切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设切点坐标，再根据导数的几何意义得切点坐标，最后用点斜式求出直线方程即可. 【详解】根据题意可得，设，则，解得， 所以，所以， 故所求切线方程为，即. 故选：D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据已知求得，，进一步由对称中心得关于的表达式，结合的范围即可求解. 【详解】根据题意可得，将代入，得， 则.因为，所以. 将代入，得， 因为是单调递减区间上的零点，所以， 解得.因为，所以． 故选：D. 6. 已知在中，M是线段BC上异于端点的任意一点．若向量，则的最小值为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据三点共线的结论可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可得答案. 【详解】由题意M是线段BC上异于端点的任意一点，向量可得， 且，，所以， 当且仅当，结合，即，时，等号成立， 故的最小值为18． 故选：C 7. 把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度满足.若不变，在后该物体的温度分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则；若，则 D. 若，则；若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对数互化，结合复合函数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以. 若，则是减函数，因为，所以； 若，则是增函数，因为，所以. 故选：D 8. 在中，，点在内部，且，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正余弦定理可得，平方后利用齐次式即可得求解. 【详解】由题意可得.在中，, 在中，， 即，化简得， 两边平方得，则， 所以，化简可得， 解得. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知命题；命题，则（ ） A. 是真命题 B. 是真命题 C. 是真命题 D. 是真命题 【答案】BC 【解析】 【分析】分别比较与的大小关系，即可判断命题的真假，即可判断AB；根据诱导公式即可判断命题的真假，即可判断CD. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以命题是假命题，是真命题， 由诱导公式可得， 所以是真命题，是假命题. 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 的最大值为 C. 在上单调递减 D. 在上有6个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义即可求解A，根据三角函数的性质即可求解B，根据复合函数的单调性即可判断C，利用三角函数的周期性即可求解D. 【详解】因为的定义域为，且， 所以为偶函数，A正确. 的最大值为，B错误. 令函数在上单调递增，且当时，的值域为. 因为函数在上单调递减，所以在上单调递减，C正确. 当时，的值域为， 函数在上有5个零点，所以在上有5个零点，D错误. 故选：AC 11. 已知奇函数的定义域为，其导函数为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】应用赋值法判断A，B选项；对求导，得到，赋值法得到，判断C；根据函数的周期性结合赋值法得出再计算即可求解判断D. 【详解】由已知有为R上的奇函数，所以， 令时，， 故，故A选项正确； 令时，， 故，故B选项错误； 由已知有：在R上可导， 对求导有：， 即，， 令时，，则， 又因为是奇函数，故是偶函数，所以 故， 所以也是一个周期为4的周期函数，，C选项错误； 令，则恒成立， 由已知是奇函数，故， 故，则， 所以是一个周期为4的周期函数， 又因为，奇函数的定义域为，所以， 令时，，，所以， 令时，，所以， 令时，，所以, ，故D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则=______． 【答案】1 【解析】 【分析】先求出，再利用模长公式求. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 13. 如图，在边长为的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质，得到，并求解正切值，最后代入向量数量积公式，即可求解. 【详解】因为，所以．因为， 所以． 故答案为： 14. 已知函数，若，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据和差角公式可得，即可根据三角函数的性质求解，进而可求解. 【详解】根据三角函数的周期性和对称性，不妨设. 故，， 因为 ，所以 ，即，所以，即， 当且仅当时，等号成立. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，且向量在轴非负半轴上的投影向量为． （1）求的坐标； （2）求； （3）求的面积及外接圆的半径． 【答案】（1） （2） （3）4， 【解析】 【分析】（1）设，由求出可得答案； （2）利用向量的夹角公式计算可得答案； （3）利用三角函数的平方关系求出，由三角形面积公式求出的面积；由正弦定理求出外接圆的半径． 【小问1详解】 因为向量在x轴非负半轴上的投影向量为， 所以可设， 因为，所以，即，则； 【小问2详解】 因为，， 所以； 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 故的面积为， 因为， 所以， 则外接圆的半径为． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知的周长为15，且，． （1）求B的大小； （2）求a，b，c的值． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得. （2）用表示，由余弦定理列方程，求得，进而求得. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即． 因为，所以，则． 因为，所以． 【小问2详解】 由得 由余弦定理得，即， 所以，解得或（舍去）， 故，． 17. 已知向量，，函数. （1）将化简成的形式； （2）将的图象向左平移个最小正周期的单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求的单调递增区间； （3）在（2）的条件下，若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算及两角和的正弦公式、二倍角公式化简函数即可. （2）利用三角函数变换法则求得，根据正弦函数的性质求解单调区间即可. （3）令，则，从而，利用诱导公式和二倍角公式求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为的最小正周期， 所以， 则． 令，得， 故的单调递增区间为． 【小问3详解】 根据题意可得， 令，则，. 由， 故． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）证明：. （2）已知C为钝角，记. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若BD为AC边上的中线，求的取值范围. 【答案】（1）证明：由，可得， 由余弦定理可知，所以. （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理将条件化为，然后利用余弦定理化简即可证明. （2）（ⅰ）根据三角形三边关系列不等式求解即可； （ⅱ）根据中线关系得，结合数量积的运算律及将化为，根据二次函数的性质求解范围即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 （ⅰ）由，可得，． 根据三角形三边关系，知即 则解得， 所以的取值范围为． （ⅱ）因为BD为AC边上的中线，所以， 则， 所以． 令，则，因为在上单调递增， 所以，故的取值范围为． 19. 已知函数与的定义域的交集为．若对恒成立，则称与为同号函数，例如，则函数与为同号函数．若存在区间，使得对恒成立，则称与为区间同号函数． （1）设函数，试问这三个函数中是否任意两个都互为区间同号函数？请说明你的理由． （2）设函数． （ⅰ）证明：与为同号函数． （ⅱ）若恒成立，证明：． 【答案】（1）这三个函数中任意两个都互为区间同号函数，理由如下： 因为，，， 所以， 则与为区间同号函数. 而，， 则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以对恒成立， 又，对都恒成立， 所以存在，使得，对都恒成立， 所以这三个函数中任意两个都互为区间同号函数. （2）（ⅰ）证明：因为函数与的定义域的交集为， 当时，，则， 所以，即； 当时，，则， 所以，即， 所以恒成立，则与为同号函数． （ⅱ）证明：因为， 所以由， 整理得到， 令， 则， 当时，，可得， 当时，，可得. 对于函数，， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，， 所以函数在和上各有一个零点， 不妨设，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 且时，， 而，即时，， 则 ， 设， 则， 所以函数在上单调递减， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）结合题设分析可得，进而得到与为区间同号函数，再结合导数分析函数的单调性可得对恒成立，进而结合题意求证即可； （2）（ⅰ）结合函数新定义直接分析求证即可； （ⅱ）转化问题为，令，分析可得当时，，当时，，进而结合导数分析函数的单调性及零点分步情况，进而求证即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是利用导数研究函数的单调性等相关的知识点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册，必修第二册第六章至第七章，选择性必修第二册第五章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ） A. 2i B. 4 C. 2 D. 4i 3. 已知，，，若A，B，C三点共线，则m=（ ） A. 11 B. 9 C. 7 D. 6 4. 已知曲线C：在点A处的切线与直线平行，则该切线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 6. 已知在中，M是线段BC上异于端点的任意一点．若向量，则的最小值为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 7. 把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度满足.若不变，在后该物体的温度分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则；若，则 D. 若，则；若，则 8. 在中，，点在内部，且，记，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知命题；命题，则（ ） A. 是真命题 B. 是真命题 C. 是真命题 D. 是真命题 10. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 的最大值为 C. 在上单调递减 D. 在上有6个零点 11. 已知奇函数的定义域为，其导函数为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则=______． 13. 如图，在边长为的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，则=______． 14. 已知函数，若，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，且向量在轴非负半轴上的投影向量为． （1）求的坐标； （2）求； （3）求的面积及外接圆的半径． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知的周长为15，且，． （1）求B的大小； （2）求a，b，c的值． 17. 已知向量，，函数. （1）将化简成的形式； （2）将的图象向左平移个最小正周期的单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求的单调递增区间； （3）在（2）的条件下，若，求的值. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）证明：. （2）已知C为钝角，记. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若BD为AC边上的中线，求的取值范围. 19. 已知函数与的定义域的交集为．若对恒成立，则称与为同号函数，例如，则函数与为同号函数．若存在区间，使得对恒成立，则称与为区间同号函数． （1）设函数，试问这三个函数中是否任意两个都互为区间同号函数？请说明你的理由． （2）设函数． （ⅰ）证明：与为同号函数． （ⅱ）若恒成立，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $