第08讲 二项分布与超几何分布、正态分布(讲义) -2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第08讲 二项分布与超几何分布、正态分布 1 二项分布 ① 重伯努利试验 （1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验； （2）将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验, （3）重伯努利试验具有如下共同特征 第一：同一个伯努利试验重复做次； 第二：各次试验的结果相互独立； ② 二项分布 (1) 概念 一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为用表示事件发生的次数,则 此时称随机变量服从二项分布,记作 并称为成功概率. 随机变量的分布列如下 (其中) 由二项定理,可得 这也许是这分布为什么叫做二项式定理的原因吧！ （2） 二项分布的期望与方差 一般地,如果那么. 2 超几何分布 （1）概念 一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为： 其中. 如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布. （2） 超几何分布的期望 设随机变量服从超几何分布,则. 注：超几何分布的模型是不放回抽样 3 正态分布 （1） 正态分布的概念 若连续型随机变量的概率密度函数为 其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为. 的图象称为正态曲线. （2）正态分布的期望与方差 若，则 （3） 正态曲线的性质 ① 曲线在轴的上方，与轴不相交； ② 曲线关于直线对称； ③ 曲线在时达到峰值； ④ 曲线与轴之间的面积为； ⑤ 当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线，向它无限靠近； ⑥ 曲线的形状由确定， 越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，峰值越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． （4） 原则 假设，对于给到的,是一个只与有关的定值，特别地， 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量只取之间的值，并简称之为 原则. 【题型1】 超几何分布及其应用 【典题1】 （2024·广东江门·二模）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典题2】（2024·河南信阳·模拟预测）袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球. (1)若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为，求的分布列和数学期望； (2)若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率. 【巩固练习】 1. （2025·浙江·模拟预测）已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为(    ) A． B． C．1 D． 2（2022·广东·模拟预测）国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 3（2024·河南·模拟预测）某校组织建国75周年知识竞赛，在决赛环节，每名参赛选手从答题箱内随机一次性抽取2个标签.已知答题箱内放着写有类题目的标签4个，类题目的标签4个，类题目的标签2个，每个标签上写有一道不同的题目，且标签的其他特征完全相同. (1)求选手抽取的2个标签上的题目类型不相同的概率； (2)设抽取到写有类题目的标签的个数为，求的分布列和数学期望. 4（2025·浙江·模拟预测）随着疫情防控政策的优化，国内演唱会市场迅速升温，一众热门歌手的演唱会现场更是“一座难求”．小林是林俊杰的粉丝，他很想参与林俊杰“JJ20”世界巡回演唱会-杭州站．主办方被小林的真诚打动，特为小林开辟了一个抢票通道，共100人从该通道参与抢票，每个人能抢到票的概率均，且抢票结果相互独立 (1)为保证该抢票通道不会出现故障（不存在抢到票却没有座位的人），主办方至少要为该通道预留多少张票； (2)由于主办方非常喜欢小林创立的数海漫游微信公众号，于是允许多个人帮小林一同抢票，但如果存在两个人都帮小林抢到了票（包括小林自己），则小林因为“一人多票”，无法观看演出．那么，你建议小林额外找几个人帮他一起抢票呢?请说明理由． 5（2024·河北沧州·三模）双十一网购狂欢节源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.某工厂现有工人50人，将他们的年产量进行统计，将所得数据按照，，，分成4组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值及年产量的第75百分位数； (2)假设年产量在中的工人中有名女性，从该区间的人中随机抽取10人进行奖励，其中女性恰有人，记，则当为何值时，取得最大值. 【题型2】 二项分布及其应用 【典题1】 （2025·广东·模拟预测）已知随机变量，若，则（ ） A． B． C． D． 【典题2】（2025·广东·模拟预测）设离散型随机变量X，Y的取值分别为， ．定义X关于事件“”的条件数学期望为：．已知条件数学期望满足全期望公式：．解决如下问题： 为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）： ①直接死亡；②分裂为2个个体． 设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，． (1)求； (2)求； (3)已知 ，证明：随着n的增大而增大． 【巩固练习】 1. （2024·全国·模拟预测）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 2（2023·内蒙古包头·二模）某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响．设随机变量X为该射手在n次射击中击中目标的次数，若，则P的值为（    ） A． B． C． D． 3（2023·湖南长沙·一模）若，则当，1，2，…，100时（    ） A． B． C． D． 4（2024·河北邯郸·模拟预测）某人投掷两枚骰子，取其中一枚的点数记为点的横坐标，另一枚的点数记为点的纵坐标，令事件“”，事件“为奇数”. (1)证明：事件相互独立； (2)若连续抛掷这两枚骰子三次，求点在圆内的次数的分布列与期望. 5（2023·四川凉山·一模）体育课上，同学们进行投篮测试.规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行30次投篮训练.已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立. (1)求甲同学通过测试的概率； (2)若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立.经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X，求X的分布列与数学期望. 【题型3】 正态分布及其应用 角度1 正态曲线的性质 【典题1】 （2023·湖南娄底·模拟预测）据统计，在某次联考中，考生数学单科分数X服从正态分布，考生共50000人，估计数学单科分数在130～150分的学生人数约为（    ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A．1070 B．2140 C．4280 D．6795 【巩固练习】 1. （2025·全国·模拟预测）已知某地区中学生的身高X近似服从正态分布，若，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 2（2024·江西新余·模拟预测）已知连续型随机变量与离散型随机变量满足，，若与的方差相同且，则（    ）. A． B． C． D． 3（2024·安徽合肥·三模）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（    ） 参考数据： A． B． C． D． 4（2025·安徽·专练）每袋食盐的标准质量为500克，现采用自动流水线包装食盐，抽取一袋食盐检测，它的实际质量与标准质量存在一定的误差，误差值为实际质量减去标准质量．随机抽取100袋食盐，检测发现误差X（单位：克）近似服从正态分布，，则X介于~2的食盐袋数大约为（    ） A．4 B．48 C．50 D．96 5（2024·河南·三模）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 角度2 正态分布的实际应用 【典题1】 （2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【巩固练习】 1. （2024·陕西商洛·模拟预测）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下： 脐橙数量/盒 购物群数量/个 12 18 32 18 (1)求实数的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数； (2)假设所有购物群销售脐橙的数量，其中为（1）中的平均数，.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在（单位：盒）内的群为“级群”，销售数量小于256盒的购物群为“级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“级群”奖励100，对“级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数） 附：若，则， ，. 2（2024·安徽合肥·二模）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表： 性别 参加考试人数 平均成绩 标准差 男 30 100 16 女 20 90 19 在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为． (1)证明：； (2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）； (3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值．如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）． 附：． 3（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2024年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球，已知这种球的质量指标（单位：）服从正态分布，其中.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜均概率为. (1)令，则，且，求，并证明：； (2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点； (3)以（2）中作为的值，在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列. 参考数据：，则，. 1（多选）（2024·广东江苏·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 2（多选）（2024·广东江苏·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 3（多选）（2023·全国·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 4（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二项分布与超几何分布、正态分布 1 二项分布 ① 重伯努利试验 （1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验； （2）将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验, （3）重伯努利试验具有如下共同特征 第一：同一个伯努利试验重复做次； 第二：各次试验的结果相互独立； ② 二项分布 (1) 概念 一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为用表示事件发生的次数,则 此时称随机变量服从二项分布,记作 并称为成功概率. 随机变量的分布列如下 (其中) 由二项定理,可得 这也许是这分布为什么叫做二项式定理的原因吧！ （2） 二项分布的期望与方差 一般地,如果那么. 2 超几何分布 （1）概念 一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为： 其中. 如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布. （2） 超几何分布的期望 设随机变量服从超几何分布,则. 注：超几何分布的模型是不放回抽样 3 正态分布 （1） 正态分布的概念 若连续型随机变量的概率密度函数为 其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为. 的图象称为正态曲线. （2）正态分布的期望与方差 若，则 （3） 正态曲线的性质 ① 曲线在轴的上方，与轴不相交； ② 曲线关于直线对称； ③ 曲线在时达到峰值； ④ 曲线与轴之间的面积为； ⑤ 当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线，向它无限靠近； ⑥ 曲线的形状由确定， 越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，峰值越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． （4） 原则 假设，对于给到的,是一个只与有关的定值，特别地， 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量只取之间的值，并简称之为 原则. 【题型1】 超几何分布及其应用 【典题1】 （2024·广东江门·二模）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解. 【详解】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 故选：B. 【典题2】（2024·河南信阳·模拟预测）袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球. (1)若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为，求的分布列和数学期望； (2)若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由超几何分布的概率公式以及期望公式求解可得答案； （2）设事件“最后得分为8分”；事件“恰取到一个红球”，求出，，再根据条件概率的概率公式计算可得答案. 【详解】（1）由题意得的可能取值为：， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望； （2）设事件“最后得分为8分”；事件“恰取到一个红球”； 由题意，最后得分为8分有两种情况：摸出2个白球1个红球或1个黑球2个红球， 所以，， 所以. 【巩固练习】 1. （2025·浙江·模拟预测）已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为(    ) A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】服从超几何分布，求出的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可． 【详解】方法一：可能取0，1，2，其对应的概率为， ∴． 方法二：由题可知，服从超几何分布，故． 故选：D． 2（2022·广东·模拟预测）国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可直接写出对应事件的概率. 【详解】由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为． 故选：B 3（2024·河南·模拟预测）某校组织建国75周年知识竞赛，在决赛环节，每名参赛选手从答题箱内随机一次性抽取2个标签.已知答题箱内放着写有类题目的标签4个，类题目的标签4个，类题目的标签2个，每个标签上写有一道不同的题目，且标签的其他特征完全相同. (1)求选手抽取的2个标签上的题目类型不相同的概率； (2)设抽取到写有类题目的标签的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，. 【分析】（1）选手抽取的2个标签上的题目类型不相同有三种情况：类题目的标签1个，类题目的标签1个；类题目的标签1个，类题目的标签1个；类题目的标签1个， 类题目的标签1个；根据组合公式与古典概型即可求解； （2）利用超几何分布即可求分布列，利用公式可求期望. 【详解】（1）所求概率为； （2）的取值可能为0，1，2， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望. 4（2025·浙江·模拟预测）随着疫情防控政策的优化，国内演唱会市场迅速升温，一众热门歌手的演唱会现场更是“一座难求”．小林是林俊杰的粉丝，他很想参与林俊杰“JJ20”世界巡回演唱会-杭州站．主办方被小林的真诚打动，特为小林开辟了一个抢票通道，共100人从该通道参与抢票，每个人能抢到票的概率均，且抢票结果相互独立 (1)为保证该抢票通道不会出现故障（不存在抢到票却没有座位的人），主办方至少要为该通道预留多少张票； (2)由于主办方非常喜欢小林创立的数海漫游微信公众号，于是允许多个人帮小林一同抢票，但如果存在两个人都帮小林抢到了票（包括小林自己），则小林因为“一人多票”，无法观看演出．那么，你建议小林额外找几个人帮他一起抢票呢?请说明理由． 【答案】(1)100 (2)18或19 【分析】（1）因为这100人均有可能抢到票，根据极大化原则分析判断； （2）设小林额外找个人帮他一起抢票，可得抢到票的概率为，进而求其最大值即可判断. 【详解】（1）因为这100人均有可能抢到票，若要保证该抢票通道不会出现故障， 所以主办方至少要为该通道预留100张票. （2）若小林额外找个人帮他一起抢票， 则抢到票的概率为， 可得， 令，解得；令，解得；令，解得； 即， 所以小林额外找18或19个人帮他一起抢票. 5（2024·河北沧州·三模）双十一网购狂欢节源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.某工厂现有工人50人，将他们的年产量进行统计，将所得数据按照，，，分成4组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值及年产量的第75百分位数； (2)假设年产量在中的工人中有名女性，从该区间的人中随机抽取10人进行奖励，其中女性恰有人，记，则当为何值时，取得最大值. 【答案】(1)0.010，180 (2)6 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求得a的值，结合百分位数的含义即可求得第75百分位数； （2）求出产量在中的工人人数，根据超几何分布的概率计算可求出的表达式，判断其单调性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得， 设产量的第75百分位数为，前两组频率之和为0.6，前三组频率之和为0.9， 则，，解得， 年产量的第75百分位数为180； （2）产量在中的工人有（人）， ，， 若，则， 解得， 若，则， 故当时，；当时，， 故当时，取得最大值. 【题型2】 二项分布及其应用 【典题1】 （2025·广东·模拟预测）已知随机变量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的期望、方差公式列方程，从而求得. 【详解】依题意满足二项分布，且， 即， 即，解得，（舍去）. 故选：D 【典题2】（2025·广东·模拟预测）设离散型随机变量X，Y的取值分别为， ．定义X关于事件“”的条件数学期望为：．已知条件数学期望满足全期望公式：．解决如下问题： 为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）： ①直接死亡；②分裂为2个个体． 设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，． (1)求； (2)求； (3)已知 ，证明：随着n的增大而增大． 【答案】(1)6 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）如果在第五天下午加入药物后，有K个个体分裂，可得，可求； （2）随机变量Z表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目，则且，可得设的取值集合为，则由全期望公式可求得结论； （3）由（2）可知 ，可求得，进而可得. 【详解】（1）在事件发生的条件下，如果在第五天下午加入药物后，有K个个体分裂， 则，， 所以，． （2）由（1）可类似得到：在事件发生的条件下，如果在第天下午加入药物之后， 有个个体分裂，则的取值为． 在事件发生的条件下，令随机变量Z表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目， 则且． 因此． 设的取值集合为，则由全期望公式可知 ． 这表明是常数列，所以． （3）由（2）可知 ， 这表明是公差为10的等差数列． 又因为，所以， 从而． 可以看出，随着n的增大而增大． 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是理解期望与方差的计算公式以及题意，尤其是二项分布的期望公式. 【巩固练习】 1. （2024·全国·模拟预测）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可求解，进而根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以． 故选：C． 2（2023·内蒙古包头·二模）某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响．设随机变量X为该射手在n次射击中击中目标的次数，若，则P的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合二项分布的期望和方差公式运算求解. 【详解】由题意可得：， 则，解得. 故选：C. 3（2023·湖南长沙·一模）若，则当，1，2，…，100时（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用比大小的方法，即可求出k的值. 【详解】解：由题意得： 即， 化简得：， 又k为整数,可得,所以， 故选：C． 4（2024·河北邯郸·模拟预测）某人投掷两枚骰子，取其中一枚的点数记为点的横坐标，另一枚的点数记为点的纵坐标，令事件“”，事件“为奇数”. (1)证明：事件相互独立； (2)若连续抛掷这两枚骰子三次，求点在圆内的次数的分布列与期望. 【答案】(1)证明见解析, (2)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）要证明事件相互独立的充要条件是，所以先要去求出，，，然后再根据充要条件加以判断； （2）先求出抛掷这两枚骰子一次，满足点在圆内的概率，然后根据连续抛掷三次，说明，即可用二项分布的概率公式计算分布列和求出期望. 【详解】（1）证明：由题意可知点的坐标有种，其中事件所包含的基本事件有 ，，，，，，共6种，所以， 事件所包含的基本事件有种，所以， 积事件有，，，共3种，所以， 满足，所以事件A、B相互独立； （2）点P在圆内的基本事件有：，，，，，，共6种 ， 所以点P在圆内的概率为， 由题意可知，， ， ， ， ， 所以，X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 5（2023·四川凉山·一模）体育课上，同学们进行投篮测试.规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行30次投篮训练.已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立. (1)求甲同学通过测试的概率； (2)若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立.经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）求出甲同学在3次投篮中，投中2次或3次的概率，得到答案； （2）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列，得到数学期望. 【详解】（1）记事件A：甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次， 则. （2）若乙通过测试，则前两次投中或者三次投篮中，第三次投中，前两次有一次投中， 所以乙通过测试的概率为， 由题意可知，随机变量的可能取值有0，30，60， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 30 60 故. 【题型3】 正态分布及其应用 角度1 正态曲线的性质 【典题1】 （2023·湖南娄底·模拟预测）据统计，在某次联考中，考生数学单科分数X服从正态分布，考生共50000人，估计数学单科分数在130～150分的学生人数约为（    ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A．1070 B．2140 C．4280 D．6795 【答案】A 【分析】利用区间上的概率及正态分布的对称性求，进而估计区间人数. 【详解】由题设 ， 所以数学单科分数在130～150分的学生人数约为人. 故选：A 【巩固练习】 1. （2025·全国·模拟预测）已知某地区中学生的身高X近似服从正态分布，若，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【分析】由正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】. 故选：B. 2（2024·江西新余·模拟预测）已知连续型随机变量与离散型随机变量满足，，若与的方差相同且，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正态分布和二项分布的性质可得结果. 【详解】，，， ，由对称性：， 故. 故选：A. 3（2024·安徽合肥·三模）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（    ） 参考数据： A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意， 所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为 ． 故选：A． 4（2025·安徽·专练）每袋食盐的标准质量为500克，现采用自动流水线包装食盐，抽取一袋食盐检测，它的实际质量与标准质量存在一定的误差，误差值为实际质量减去标准质量．随机抽取100袋食盐，检测发现误差X（单位：克）近似服从正态分布，，则X介于~2的食盐袋数大约为（    ） A．4 B．48 C．50 D．96 【答案】D 【分析】根据求出和即可求解. 【详解】，， 则，， 则. 故选：D． 5（2024·河南·三模）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性求出的概率，即可得解. 【详解】由题意得， ， ， 所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293. 故选：B. 角度2 正态分布的实际应用 【典题1】 （2024·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【答案】(1) (2)分 (3)甲能获得高薪，理由见解析 【分析】（1）依题意，令，得到，根据及所给条件求出； （2）由（1）可得，设最录取分数为，根据，求得，即可得到答案； （3）考生甲的成绩为 ，得到甲能被录取概率为，从而推导出分以上的人数，即可得解. 【详解】（1）依题意，令，则， 所以可得，， ， 又因为，则，解得； （2）由（1）可得， 设最录取分数为，则， ，，所以， 即最低录取分数线为分． （3）考生甲的成绩为分分， 所以甲能被录取概率为， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有， 即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪. 【巩固练习】 1. （2024·陕西商洛·模拟预测）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下： 脐橙数量/盒 购物群数量/个 12 18 32 18 (1)求实数的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数； (2)假设所有购物群销售脐橙的数量，其中为（1）中的平均数，.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在（单位：盒）内的群为“级群”，销售数量小于256盒的购物群为“级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“级群”奖励100，对“级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数） 附：若，则， ，. 【答案】(1)20；平均数为376 (2)奖金约为95700元 【分析】（1）利用频数之和等于样本总数易得值，利用与频数分布表有关的平均数公式计算即得； （2）由题意，结合（1）的结果易得的值，根据“级群”， “特级群”的范围，利用正态分布曲线的对称性，求出对应的概率，再计算出需准备的奖金即可. 【详解】（1）由题意得，，解得. 则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为. （2）由题意，则， 故 ， 故“级群”约有个； ， 故“特级群”约有个； 则依题意，需要资金为元，即该脐橙基地大约需要准备95700元. 2（2024·安徽合肥·二模）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表： 性别 参加考试人数 平均成绩 标准差 男 30 100 16 女 20 90 19 在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为． (1)证明：； (2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）； (3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值．如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）． 附：． 【答案】(1)证明见解析； (2)平均数为96分，标准差为18分； (3)将定为等级，定为等级，定为等级，定为等级． 【分析】（1）利用平均数及方差公式即可求解； （2）利用平均数及方差公式，结合标准差公式即可求解； （3）根据（2）的结论及正态分布的特点即可求解. 【详解】（1） ， 同理． 所以. （2）将该班参加考试学生成绩的平均数记为，方差记为， 则， 所以 又，所以． 即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分． （3）由（2）知，所以全年级学生的考试成绩服从正态分布， 所以． ． 故可将定为等级，定为等级，定为等级，定为等级． 3（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2024年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球，已知这种球的质量指标（单位：）服从正态分布，其中.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜均概率为. (1)令，则，且，求，并证明：； (2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点； (3)以（2）中作为的值，在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列. 参考数据：，则，. 【答案】(1)0.02275；证明见解析. (2)； (3)分布列见解析 【分析】（1）利用正态分布的对称性即可求得结果； （2）由题意可得，利用导数即可求得； （3）利用二项分布求概率公式求出X对应的概率，写出分布列即可求得结果. 【详解】（1），又， 所以. 因为，根据正态曲线对称性，， 又因为，所以. （2）， . 令，得. 当时，在上为增函数； 当时，在上为减函数. 所以的最大值点，从而. （3）的可能取值为. ， 所以的分布列为 3 2 1 0 1（多选）（2024·广东江苏·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 2（多选）（2024·广东江苏·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 3（多选）（2023·全国·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】ABD 【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答. 【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，A正确； 对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，B正确； 对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和， 它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误； 对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率， 单次传输发送0，则译码为0的概率，而， 因此，即，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 4（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ． 【答案】/． 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$