第07讲 离散型随机变量及其分布列和数字特征(讲义) -2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第07讲 离散型随机变量及其分布列和数字特征 一 离散型随机变量及其分布列 1 随机变量 一般地，对于随机试验样本空间中每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量. 随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量. 2 离散型随机变量的分布列 ① 概念 一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值的概率，则称以下表格 为随机变量的概率分布列，简称的分布列. ② 性质 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质 二 离散型随机变量的数字特征 1 离散随机变量的均值（数学期望） 概念 一般地，随机变量的概率分布列为 则称 为的数学期望或均值，简称为期望. 它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平. 若 ，其中为常数，则也是变量 则 ，即(利用期望的概念可以证明) 2 离散型随机变量取值的方差和标准差 （1）一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为 则称 为随机变量的方差，有时候也记为，并称为随机变量的标准差，记为。 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，随机变量的取值越分散. 一般地，.(可用方差的概念证明) 【题型1】 离散型随机变量分布列的性质 【典题1】 （2025·河南·专练）已知随机变量的分布列如表： 0 2 其中成等差数列，则的值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2021·河南·三模）某一随机变量的概率分布如下表，且，则 （    ） 0 1 2 3 0.1 0.2 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 2（2025·广东·专练）若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 3（2025·全国·专练）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】 离散型随机变量的均值的性质 【典题1】 （2024·四川南充·一模）某一随机变量X的分布列如下表，且，则 . X 0 1 2 3 P 0.1 m 0.2 n 【巩固练习】 1. （2022·陕西宝鸡·二模）已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为： X 0 1 P a b 则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 2（2022·江苏南京·模拟预测）某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔可夫不等式，该不等式描述的是对非负的随机变量和任意的正数，都有，其中是关于数学期望和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据自己的理解，确定该形式为（    ） A． B． C． D． 3（2021·浙江绍兴·二模）已知随机变量的分布如下表，则 ， . 0 1 2 4（2023·上海·模拟预测）随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 . 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.1 【题型3】 离散型随机变量的方差的性质 【典题1】 （2022·全国·模拟预测）已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列方差值中最大的是（    ） －1 0 2 P a b A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2022·内蒙古包头·二模）设，随机变量的分布列如下表： 0 1 2 P 当a在内增大时，则（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 2（2021·浙江温州·模拟预测）随机变量X的分布列如下表所示，若，则（    ） X 0 1 P a b A．9 B．7 C．5 D．3 3（2021·浙江·模拟预测）已知随机变量的分布列如下表，则下列方差值最大的是（    ） 0 1 A． B． C． D． 4（多选）（2023·浙江台州·二模）已知,随机变量的分布列为: 则(    ) A． B． C． D． 【题型4】 求离散型随机变量的分布列 【典题1】 （2021·河南南阳·模拟预测）某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等． (1)求小张在三类中各选1个项目的概率； (2)设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列． 【典题2】 （2024·辽宁锦州·模拟预测）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立． (1)若，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率； (2)当时， （i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，求“甲学员赢得比赛”的概率（用表示）． 【巩固练习】 1. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 2（2025·河南·专练）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，20个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件． (1)求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率； (2)求该生两次投篮得分的分布列及数学期望． 3（2024·宁夏银川·二模）一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验;如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验;其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元)，求X的分布列． 4（2024·湖北黄冈·二模）某校高三年级拟派出甲､乙､丙三人去参加校运动会跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲､乙､丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲､乙､丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值； (3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列. 5（2024·安徽·一模）高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为.在一次模拟考试中： (1)小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p； (2)小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？ 1（2022·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， ． 2（2024·广东江苏·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 3（2022·全国·高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 4（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 5（2024·全国·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 离散型随机变量及其分布列和数字特征 一 离散型随机变量及其分布列 1 随机变量 一般地，对于随机试验样本空间中每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量. 随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量. 2 离散型随机变量的分布列 ① 概念 一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值的概率，则称以下表格 为随机变量的概率分布列，简称的分布列. ② 性质 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质 二 离散型随机变量的数字特征 1 离散随机变量的均值（数学期望） 概念 一般地，随机变量的概率分布列为 则称 为的数学期望或均值，简称为期望. 它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平. 若 ，其中为常数，则也是变量 则 ，即(利用期望的概念可以证明) 2 离散型随机变量取值的方差和标准差 （1）一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为 则称 为随机变量的方差，有时候也记为，并称为随机变量的标准差，记为。 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，随机变量的取值越分散. 一般地，.(可用方差的概念证明) 【题型1】 离散型随机变量分布列的性质 【典题1】 （2025·河南·专练）已知随机变量的分布列如表： 0 2 其中成等差数列，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用成等差数列、随机变量分布列的性质可得答案. 【详解】因为成等差数列，所以， 根据随机变量分布列的性质：， 所以， 所以. 故选：A. 【巩固练习】 1. （2021·河南·三模）某一随机变量的概率分布如下表，且，则 （    ） 0 1 2 3 0.1 0.2 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】C 【分析】由已知条件求出，然后根据分布列即可得出结果. 【详解】由题意可得：，解得， 故， 故选：C. 2（2025·广东·专练）若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【分析】根据题意，由分布列的性质可得的值，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可得，解得． 由，可得或4， 则（或）． 故选：B 3（2025·全国·专练）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，求出，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由， 得， 即，解得，故AB正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：D. 【题型2】 离散型随机变量的均值的性质 【典题1】 （2024·四川南充·一模）某一随机变量X的分布列如下表，且，则 . X 0 1 2 3 P 0.1 m 0.2 n 【答案】8 【分析】根据题意可得，即可求得的值，进而结合期望公式可求得，进而得到. 【详解】由题意，得，解得， 所以， 所以. 故答案为：8. 【巩固练习】 1. （2022·陕西宝鸡·二模）已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为： X 0 1 P a b 则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据期望的性质可求得，再根据期望公式及概率之和为1，列出方程组，解之即可得解. 【详解】解：因为， 所以， 则有， 解得. 故选：C. 2（2022·江苏南京·模拟预测）某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔可夫不等式，该不等式描述的是对非负的随机变量和任意的正数，都有，其中是关于数学期望和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据自己的理解，确定该形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据期望的计算公式,以及即可求解. 【详解】设非负随机变量的所有可能取值按从小到大依次为,对应的概率分别为设满足的有,, ,因为, 所以 故选：D 3（2021·浙江绍兴·二模）已知随机变量的分布如下表，则 ， . 0 1 2 【答案】 【分析】先由概率之和为，求出，进而可得；再由离散型随机变量的期望的概念，求出，最后根据期望的性质，即可得出结果. 【详解】由题意可得，，解得，所以； ， 因此. 故答案为：；. 4（2023·上海·模拟预测）随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 . 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.1 【答案】0 【分析】根据离散型随机变量的分布列的数学期望公式求解即可. 【详解】根据概率的性质可得解得， 所以， 所以. 故答案为:0. 【题型3】 离散型随机变量的方差的性质 【典题1】 （2022·全国·模拟预测）已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列方差值中最大的是（    ） －1 0 2 P a b A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意根据分布列的性质及期望公式求出、，即可求出，再根据方差的性质得到，再求出分布列，即可求出与； 【详解】解：依题意，解得， 所以的分布列为： －1 0 2 P 则，则； 所以的分布列为： 0 2 P 则，，所以； 故选：D 【巩固练习】 1. （2022·内蒙古包头·二模）设，随机变量的分布列如下表： 0 1 2 P 当a在内增大时，则（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】A 【分析】根据期望和方差公式表示出、，再根据函数的性质判断即可； 【详解】由题意，， 所以， 所以在上随增大而减小． 故选：A 2（2021·浙江温州·模拟预测）随机变量X的分布列如下表所示，若，则（    ） X 0 1 P a b A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得． 【详解】解：依题意可得，解得，所以 所以 故选：C 3（2021·浙江·模拟预测）已知随机变量的分布列如下表，则下列方差值最大的是（    ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，即可根据方差公式分别计算求解. 【详解】由分布列的性质得，得， 可得， ， 则，， ，. 综上，的值最大. 故选：B. 4（多选）（2023·浙江台州·二模）已知,随机变量的分布列为: 则(    ) A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据期望方差的相关公式，以及判断,再举特例判断D即可. 【详解】因为,所以错， 因为,所以对， 因为 ， 所以,所以,所以对， 举特例来说明错,取， 则， ， ， ,所以错. 故选:BC 【题型4】 求离散型随机变量的分布列 【典题1】 （2021·河南南阳·模拟预测）某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等． (1)求小张在三类中各选1个项目的概率； (2)设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）在三类项目中各选一个有种选法，总的选法数有种，由古典概型公式即可求得所求概率； （2）先分析X的可能取值，对于每一个的取值求得对应概率，由此可得的分布列. 【详解】（1）记事件M为“在三类中各选1个项目”，则， 所以小张在三类中各选1个项目的概率为． （2）由题知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，9， 则，， ，， ，． 所以X的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 P 【典题2】 （2024·辽宁锦州·模拟预测）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立． (1)若，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率； (2)当时， （i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，求“甲学员赢得比赛”的概率（用表示）． 【答案】(1) (2)(i)分布列见解析，，(ii) 【分析】（1）用事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”，记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，则事件N包括事件：共5种，即可求解； （2）（i）由题意得的所有可能取值为：，求出对应的概率，列出分布列及求出数学期望，并求出最大值； （ii）由（1）得前两局比赛结果可能有：，其中事件表示“甲学员赢得比赛”，事件表示“乙学员赢得比赛”，事件表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同，所以即可求解． 【详解】（1）用事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”， 则， 记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N， 则事件N包括事件：共5种， 所以 ． （2）（i）因为，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即， 由题意得的所有可能取值为：， ， ， ， 所以的分布列为： 2 4 5 所以的期望为： 因为，所以， 等号成立时，，所以， 所以， 故的最大值为：． （ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，则， 由（1）得前两局比赛结果可能有：， 其中事件表示“甲学员赢得比赛”，事件表示“乙学员赢得比赛”， 事件表示“甲、乙两名学员各得1分”， 当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同， 所以 ， 所以，得， 因为，所以. 【点睛】关键点点睛：第二问的第2小问中，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同，所以进行求解． 【巩固练习】 1. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 【答案】 【分析】先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望. 【详解】对于维坐标，其中.即有两种选择， 故共有种选择，即维“立方体”的顶点个数是个顶点； 当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足， 则满足的个数为. 所以. 故分布列为： 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，再由求出概率. 2（2025·河南·专练）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，20个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件． (1)求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率； (2)求该生两次投篮得分的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由已知得该生投投篮3分线外侧投入的概率，踩线及3分线内侧投入的概率，不能入篮的概率，由此能求出该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率． （2）由已知得的可能取值为0，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及数学期望． 【详解】（1）“3分线外侧投入”，“踩线及3分线内侧投入”，“不能入篮”分别记为事件，，， 由题意知，，， 因为每次投篮为相互独立事件，故4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率为. （2）两次投篮后得分的可能取值为0，2，3，4，5，6, 由于该生两次投篮互不影响，是相互独立事件， 表示两次投篮都不能入篮，即得分都为0， 则； 表示一次是踩线及3分线内侧投入，另一次不能入篮， 则； 表示一次是3分线外侧投入，另一次不能入篮， 则； 表示两次都是踩线及3分线内侧投入， 则； 表示一次是3分线外侧投入，另一次是踩线及3分线内侧投入， 则； 表示两次都是3分线外侧投入，则， 故的分布列为 0 2 3 4 5 6 所以. 3（2024·宁夏银川·二模）一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验;如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验;其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元)，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件，这批产品通过检验为事件，依题意有，且与互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得； （2）可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列． 【详解】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品全是优质品为事件， 第二次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件， 这批产品通过检验为事件，依题意有，且与互斥， 所以 ； （2）可能的取值为400，500，800，并且，， ，故的分布列如下： 400 500 800 4（2024·湖北黄冈·二模）某校高三年级拟派出甲､乙､丙三人去参加校运动会跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲､乙､丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲､乙､丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值； (3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列. 【答案】(1)甲； (2)； (3)分布列见解析. 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式分别求出甲乙丙进入决赛的概率，再比较大小即可. （2）利用互斥事件的加法公式及相互独立事件的概率公式，列式解方程即得. （3）利用（2）的结论，求出的可能值及对应的概率列出分布列. 【详解】（1）甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为，而，则， 所以甲进入决赛的可能性最大. （2）甲､乙､丙三人中恰有两人进入决赛的概率为 ， 整理可得，而，所以. （3）依题意，甲､乙､丙进入决赛的概率分别为， 随机变量的可能取值有， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 5（2024·安徽·一模）高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为.在一次模拟考试中： (1)小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p； (2)小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？ 【答案】(1) (2)② 【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可， （2）分别求解三种情况下的期望，即可比较期望大小求解. 【详解】（1）根据题意可知，， 若该题有2个选项正确，则， 若该题有3个选项正确，则， 则分布列如下： X 0 4 6 P 所以， 解之得； （2）不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件， “有3个选项正确”为事件， 若小明选择方案①， 记小明该题得分为，则的可能取值为2，3，对应概率为： ， 故； 若小明选择方案②， 记小明该题得分为，则的可能取值为，对应概率为： ， ， 故， 若小明选择方案③， 记小明该题得分为Z，则Z的可能取值为，对应概率为： ， . 故， ， 故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案②. 1（2022·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， ． 【答案】 ， / 【分析】利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望. 【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以， 由已知可得的取值有1，2，3，4， ，， ，     所以, 故答案为：，. 2（2024·广东江苏·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 【答案】/0.5 【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可. 【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举. 3（2022·全国·高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． （2）依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 4（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值 【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率; （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求. （ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解. 【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. 5（2024·全国·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$