第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式(讲义)- 2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 1 事件的相互独立性 ① 独立事件 对任意两个事件与，如果成立，则我们称事件与事件相互独立，简称独立. ② 个事件独立 个事件两两独立时，等式成立. 2 条件概率 ① 定义 一般地，设为两个事件,且 ,称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率. 备注 (1) 求“事件已发生，事件发生的概率”，可理解：如图，事件已发生，则为样本空间，此时事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值，即 (通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，就是以为样本空间计算的概率) Eg: 某地7月份吹南风(事件)的概率是，下雨(事件)的概率是，即吹南风又下雨的概率是，那在吹南风的条件下下雨的概率是, 在下雨的条件下吹南风的的概率是. (2) 当时，当且仅当事件与相互独立时，有； ② 概率的乘法公式 对任意两个事件与，若，则 设，则 (1)； (2) 如果和互斥，那么 ； (3) 设和互为对立事件，则. 3 全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有 我们称它为全概率公式. 贝叶斯公式： 设 【题型1】 相互独立事件的判断 【典题1】 （2024·湖南衡阳·一模）已知古典概型的样本空间，“事件”，则命题“事件”是命题“事件与事件相互独立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习】 1. （2025·湖南·专练）若，，，则事件A与事件B的关系是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B互为对立 C．事件A与事件B相互独立 D．事件A与事件B互斥又独立 2（2024·上海奉贤·二模）有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（    ）． A．甲与乙相互独立 B．乙与丙相互独立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 3（2025·广东·专练）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（    ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 4 （2024·山东菏泽·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分配一名同学.设事件“恰有两人在同一个社区”，事件“甲同学和乙同学在同一个社区”，事件“丙同学和丁同学在同一个社区”，则下面说法正确的是（    ） A．事件与相互独立 B．事件与是互斥事件 C．事件与相互独立 D．事件与是对立事件 5（2024·山东泰安·三模）盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件“两次均未摸出红球”，事件“两次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的两个球中有红球”，事件“第二次摸出的两个球中有白球”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【题型2】 独立事件的乘法公式 【典题1】 （2024·江苏盐城·一模）已知随机事件A，B相互独立，且，则（    ） A． B． C． D． 【典题2】（2024·山东·模拟预测）某班元旦晚会中设置了抽球游戏，盒子中装有完全相同的3个白球和3个红球.游戏规则如下：①每次不放回的抽取一个，直至其中一种颜色的球恰好全部取出时游戏结束；②抽取3次完成游戏为一等奖，抽取4次完成游戏为二等奖.则甲同学获得二等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2024·辽宁·模拟预测）某疾病全球发病率为，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为，检测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为，则某人检测成阳性的概率约为（    ） A． B． C． D． 2（2024·山东烟台·三模）一袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球，从中不放回的每次取出1个小球，连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 3（2024·广东·二模）拋掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中至多有一次反面朝上”，事件“次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若与独立，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型3】 条件概率 【典题1】 （2024·上海奉贤·三模）如果分别是的对立事件，下列选项中不能判断件与事件相互独立的是（    ） A． B． C． D． 【典题2】 （2024·河北衡水·三模）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2024·山东济南·二模）设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 2 （2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 3（2024·辽宁沈阳·三模）甲､乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中的情况下，甲､乙同时击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 4（2023·广东·模拟预测）《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件“两卦的六根线中恰有三根阳线”，“至少有一卦恰有两根阳线”，则（    ） A． B． C． D． 5（2024·广西·模拟预测）在某电路上有C，D两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.3，需要更换D元件的概率为0.2，则在某次通电后C，D有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（    ） A． B． C． D． 6（2024·江苏南通·模拟预测）某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军.已知甲、乙两人水平相当，记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了五局”，则（    ） A． B． C． D． 7（2025·安徽·模拟预测）某公司进行招聘，甲、乙、丙被录取的概率分别为，，，且他们是否被录取互不影响，若甲、乙、丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为（    ）． A． B． C． D． 【题型4】利用全概率公式求概率 【典题1】 （2023·湖南郴州·模拟预测）已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球，一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个绿球（球的大小质地相同）．若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2025·全国·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2（2025·湖南·专练）若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（    ） A．0.02 B．0.98 C．0.049 D．0.05 3（2024·河南·模拟预测）袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母个标有字母.甲先从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到标有字母的球的概率分别为，则（    ） A． B． C． D． 4（2023·广东广州·一模）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（    ） A． B． C． D． 5（2024·云南昆明·三模）在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是，则（    ） A． B． C． D． 6（2024·山东日照·模拟预测）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为0.01，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（    ） A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99 7（2024·云南昆明·三模）在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是，则（    ） A． B． C． D． 【题型5】 利用贝叶斯公式求概率 【典题1】 （2024·江西南昌·一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2024·甘肃武威·模拟预测）某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人．现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（    ） A． B． C． D． 2（2024·湖南常德·三模）设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（    ） A． B． C． D． 3（2024·河南信阳·二模）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 4（2023·安徽·模拟预测）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ） A． B．事件与事件B相互独立 C． D． 1（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 2（2022·全国·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 3（多选）（2023·全国·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 4（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 5（2023·全国·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 1 事件的相互独立性 ① 独立事件 对任意两个事件与，如果成立，则我们称事件与事件相互独立，简称独立. ② 个事件独立 个事件两两独立时，等式成立. 2 条件概率 ① 定义 一般地，设为两个事件,且 ,称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率. 备注 (1) 求“事件已发生，事件发生的概率”，可理解：如图，事件已发生，则为样本空间，此时事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值，即 (通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，就是以为样本空间计算的概率) Eg: 某地7月份吹南风(事件)的概率是，下雨(事件)的概率是，即吹南风又下雨的概率是，那在吹南风的条件下下雨的概率是, 在下雨的条件下吹南风的的概率是. (2) 当时，当且仅当事件与相互独立时，有； ② 概率的乘法公式 对任意两个事件与，若，则 设，则 (1)； (2) 如果和互斥，那么 ； (3) 设和互为对立事件，则. 3 全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有 我们称它为全概率公式. 贝叶斯公式： 设 【题型1】 相互独立事件的判断 【典题1】 （2024·湖南衡阳·一模）已知古典概型的样本空间，“事件”，则命题“事件”是命题“事件与事件相互独立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的定义事件与事件相互独立，即可判断得出结论. 【详解】样本空间中事件包含样本点个数可能为 ，，，，，， 其对应的概率可能值分别为，，，，，，， 事件与事件相互独立， ，则，， 即“事件”是命题“事件与事件相互独立”的充分条件 ②若，则，，， 所以事件与事件相互独立， 所以命题“事件”不是命题“事件与事件相互独立”的必要条件， 故命题“事件”是命题“事件与事件相互独立”的充分不必要条件， 故选：A. 【巩固练习】 1. （2025·湖南·专练）若，，，则事件A与事件B的关系是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B互为对立 C．事件A与事件B相互独立 D．事件A与事件B互斥又独立 【答案】C 【分析】根据积事件概率不为零可确定A与B能同时发生，不互斥，得不对立，可得ABD错误；根据独立事件概率公式可知C正确. 【详解】对于A,D,∵，∴A与B能同时发生，不互斥，故A,D错误； 对于B，∵，∴，又∵，，∴事件A与事件B不是对立事件，故B错误； 对于C,∵，∴，∴事件A与事件B相互独立，故C正确， 故选：C． 2（2024·上海奉贤·二模）有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（    ）． A．甲与乙相互独立 B．乙与丙相互独立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】A 【分析】根据题意分别求出事件的概率，再根据相互独立满足的概率公式判断即可. 【详解】由题意得，甲，乙，丙， 丁. 对于A，甲乙，所以甲乙甲乙，所以甲与乙相互独立，故A正确； 对于B，乙丙，所以乙丙乙丙，所以乙与丙不是相互独立，故B不正确； 对于C，甲丙，所以甲丙甲丙，所以甲与丙不是相互独立，故C不正确； 对于D，乙丁，所以乙丁乙丁，所以乙与丁不是相互独立，故D不正确. 故选：A. 3（2025·广东·专练）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（    ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 【答案】D 【分析】选项A和B，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A和B的正误；选项C和D，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果. 【详解】对于选项A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶， 即一次试验，事件和事件可以都不发生，所以选项A错误； 对于选项B，因为即两个点数都是偶数，即与可以同时发生，所以选项B错误， 对于选项C，因为，，又，所以，故选项C错误， 对于选项D，因为，， 所以，所以选项D正确， 故选：D. 4 （2024·山东菏泽·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分配一名同学.设事件“恰有两人在同一个社区”，事件“甲同学和乙同学在同一个社区”，事件“丙同学和丁同学在同一个社区”，则下面说法正确的是（    ） A．事件与相互独立 B．事件与是互斥事件 C．事件与相互独立 D．事件与是对立事件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件、对立事件的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，依题意，甲、乙、丙、丁中必有两人在同一社区，即事件是必然事件，， 显然，，因此事件与相互独立，A正确； 对于B，由，得事件与不是互斥事件，B错误； 对于C，显然事件事件与不可能同时发生，即，而，事件与相互不独立，C错误； 对于D，显然事件与可以同时不发生，如甲丙在同一社区，因此事件与不是对立事件，D错误. 故选：A 5（2024·山东泰安·三模）盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件“两次均未摸出红球”，事件“两次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的两个球中有红球”，事件“第二次摸出的两个球中有白球”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】D 【分析】根据相互独立事件的定义依次分析即可. 【详解】依题意得，，，故A项错误； ，，故B项错误； ，故C项错误； ，，故D项正确. 故选：D. 【题型2】 独立事件的乘法公式 【典题1】 （2024·江苏盐城·一模）已知随机事件A，B相互独立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据A，B相互独立可得，再根据计算即可. 【详解】因为事件A，B相互独立，且，可得， 所以=. 故选：B. 【典题2】（2024·山东·模拟预测）某班元旦晚会中设置了抽球游戏，盒子中装有完全相同的3个白球和3个红球.游戏规则如下：①每次不放回的抽取一个，直至其中一种颜色的球恰好全部取出时游戏结束；②抽取3次完成游戏为一等奖，抽取4次完成游戏为二等奖.则甲同学获得二等奖的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记第i次取到的是红球为事件，分类求解即可. 【详解】记第i次取到的是红球为事件， 则二等奖的概率为 . 故选：C 【巩固练习】 1. （2024·辽宁·模拟预测）某疾病全球发病率为，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为，检测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为，则某人检测成阳性的概率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求得非患者检测为阳性的概率与患者检测为阳性的概率，可求得结论. 【详解】由题意，未患病者判定为阳性的概率为，患病者判定为阳性的概率为， 某人检测成阳性包含两种情况： ①非患者检测为阳性的概率为； ②患者检测为阳性的概率为， 所以某人检测成阳性的概率为． 故选：D. 2（2024·山东烟台·三模）一袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球，从中不放回的每次取出1个小球，连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分第一次取出为红球和黑球两种情况求解即可. 【详解】由题意，第一次取出可能为红球或黑球，故连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为. 故选：D 3（2024·广东·二模）拋掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中至多有一次反面朝上”，事件“次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若与独立，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】分别求出，，，根据相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币次，则基本事件总数为， 事件“n次中至多有一次反面朝上”，则n次全部正面朝上或n次中恰有1次反面朝上， 则，事件“n次中全部正面朝上或全部反面朝上”， 则，于是， 因为A与B独立，所以，即， 分别代入，3，4，5，验证，可得符合题意. 故选：B 【题型3】 条件概率 【典题1】 （2024·上海奉贤·三模）如果分别是的对立事件，下列选项中不能判断件与事件相互独立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式结合相互独立事件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以相互独立，故A正确； 对于B，因为， 所以， 所以相互独立，所以相互独立，故B正确； 对于C，， 所以，所以无法判断相互独立，故C错误； 对于D，， 因为，所以相互独立，故D正确. 故选：C. 【典题2】 （2024·河北衡水·三模）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件，三人中恰有两人命中为事件，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件， 每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件， 则， ，则. 故选：D． 【巩固练习】 1. （2024·山东济南·二模）设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率的性质解得，结合可得，代入条件概率公式分析求解. 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得， 所以. 故选：B. 2 （2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，由可得，再结合可求出，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 3（2024·辽宁沈阳·三模）甲､乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中的情况下，甲､乙同时击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，再由条件概率公式计算可得. 【详解】据题意，记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件， 甲､乙同时击中目标为事件，则，， 所以， ， 则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为. 故选：C. 4（2023·广东·模拟预测）《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件“两卦的六根线中恰有三根阳线”，“至少有一卦恰有两根阳线”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率计算公式求得正确答案. 【详解】由八卦图可知，八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个， 两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个， 所以， 所以. 故选：C 5（2024·广西·模拟预测）在某电路上有C，D两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.3，需要更换D元件的概率为0.2，则在某次通电后C，D有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记事件E：在某次通电后C，D有且只有一个需要更换，事件F：C需要更换，由条件概率的计算公式求解即可. 【详解】记事件E：在某次通电后C，D有且只有一个需要更换， 事件F：C需要更换， 则， 由条件概率公式可得． 故选：C． 6（2024·江苏南通·模拟预测）某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军.已知甲、乙两人水平相当，记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了五局”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，，再根据条件概率公式计算可得. 【详解】因为甲、乙两人水平相当，所以每局比赛甲，乙获胜的概率都是， 比赛进行了五局，分甲获胜和乙获胜两种情况，则， 又， 所以． 故选：A． 7（2025·安徽·模拟预测）某公司进行招聘，甲、乙、丙被录取的概率分别为，，，且他们是否被录取互不影响，若甲、乙、丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出三人中恰有两人被录取的概率以及甲被录取时恰有两人被录取的概率，利用条件概率公式求解. 【详解】设甲，乙，丙被录取分别为事件，三人中恰有两人被录取为事件，则 ， ． 故选：C． 【题型4】利用全概率公式求概率 【典题1】 （2023·湖南郴州·模拟预测）已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球，一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个绿球（球的大小质地相同）．若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率公式和概率的乘法公式以及全概率公式即可求解. 【详解】记第一次抽到红、绿、黄球的事件分别为， 则， 记第二次在红、绿、黄色口袋内抽到黄球的事件分别为， 而两两互斥，其和为， 所以， 记第二次抽到黄球的事件为B， 则， 故选:D． 【巩固练习】 1. （2025·全国·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用全概率和条件概率公式，结合对立事件概率求解即可. 【详解】，则. 由于，则. 则， 则. 故选：C． 2（2025·湖南·专练）若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（    ） A．0.02 B．0.98 C．0.049 D．0.05 【答案】A 【分析】根据条件概率以及对立事件的概率，结合题意写出对应概率，利用全概率公式，可得答案. 【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件， 则 故所求概率，解得. 故选：A. 3（2024·河南·模拟预测）袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母个标有字母.甲先从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到标有字母的球的概率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型的概率及全概率公式求出后可得正确的选项. 【详解】设为“甲摸到标有字母的球”，为“乙摸到标有字母的球”，则， 而， 故. 故选：. 4（2023·广东广州·一模）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件由全概率公式求解即可. 【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件， 买到的灯泡是乙厂产品为事件，记事件从该地市场上买到一个合格灯泡， 则，，，， 所以 . 故选：B. 5（2024·云南昆明·三模）在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式即可求解. 【详解】设事件A表示“小明第一次投篮命中”，事件B表示“小明第二次投篮命中”， 则， 所以， 解得. 故选：B. 6（2024·山东日照·模拟预测）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为0.01，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（    ） A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99 【答案】C 【分析】根据题意，由全概率和条件概率的公式计算即可. 【详解】设事件为“患有该疾病”，为“化验结果呈阳性”， 由题意可得，，， 因为， 所以，解得， 所以该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为， 故选：C. 7（2024·云南昆明·三模）在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式即可求解. 【详解】设事件A表示“小明第一次投篮命中”，事件B表示“小明第二次投篮命中”， 则， 所以， 解得. 故选：B. 【题型5】 利用贝叶斯公式求概率 【典题1】 （2024·江西南昌·一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可 【详解】设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为 故选：C 【巩固练习】 1. （2024·甘肃武威·模拟预测）某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人．现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：根据条件概率及全概率公式可得结果；方法二：缩小样本空间根据古典概型概率公式可得结果. 【详解】法一：因为抽到的参加数学兴趣社团的学生可能来自于高三（1）班和（2）班， 设“抽到的学生来自高三（1）班”，“抽到的学生来自高三（2）班”、 “抽到的是参加数学兴趣社团的学生”、 则， 由全概率公式得， 所以. 法二：由题得参加数学兴趣社团的学生共有人，由古典概型的概率公式， 则他来自高三（1）班的概率为． 故选：C. 2（2024·湖南常德·三模）设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格，先利用全概率公式求出，进而可得，，进而可得放回原箱后再取该件产品合格的概率. 【详解】设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格， 又 ， 经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为 . 故选：A. 3（2024·河南信阳·二模）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，利用全概率公式以及条件概率公式即可得到答案. 【详解】设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”， 由题意可知：， 则， ， 若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是. 故选：B. 4（2023·安徽·模拟预测）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ） A． B．事件与事件B相互独立 C． D． 【答案】D 【分析】A选项，根据题意求出，判断A选项； B选项，利用全概率公式求出，得到，判断事件事件与事件B不相互独立，得到D选项正确； C选项，利用条件概率公式求解即可. 【详解】由题意得，所以A错误； 因为， ，所以，即， 故事件事件与事件B不相互独立，所以B错误，D正确； ，所以C错误； 故选：D 1（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 【答案】A 【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 故选:. 2（2022·全国·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 【答案】D 【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决 【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为 则 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 则 则 即，， 则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误； 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误. 故选：D 3（多选）（2023·全国·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】ABD 【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答. 【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，A正确； 对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，B正确； 对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和， 它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误； 对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率， 单次传输发送0，则译码为0的概率，而， 因此，即，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 4（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）证明见解析；(ii)； 【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求. 【详解】（1）由已知， 又，， 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2）(i)因为， 所以 所以， (ii) 由已知，， 又，， 所以 5（2023·全国·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出； （3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$