第04讲 随机事件、频率与概率(讲义)- 2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第04讲 随机事件、频率与概率 1 随机事件与概率 ① 有限样本空间与随机事件 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示， 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间.用表示样本空间，用表示样本点.如果一个随机试验有个可能结果结果,则称样本空间为有限样本空间. 样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件成为基本事件.随机事件一般用大写字母表示. ②各种事件 必然事件，不可能事件，随机事件. 在件瓷器中，有件一级品，件二级品，从中任取件. “件都是二级品”是什么事件？ “件都是一级品”是什么事件？ “至少有一件是一级品”是什么事件？ 解：(1)因为件瓷器中，只有件二级品，取出件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件. (2)“件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件. (3)“至少有一件是一级品”是必然事件，因为件瓷器中只有件二级品，取三件必有一级品. ③ 事件的关系和运算 一般地，若事件发生，则事件一定发生，我们就称事件包含于事件，记作； 一般地，事件与事件至少有一个发生，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作. 一般地，事件与事件同时发生，我们称这样一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作. 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容). 一般地，如果事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即且，则称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为. 【题型1】随机事件的频率与概率 【典题1】 （2025·江西宜春·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1423石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得268粒内夹谷32粒.则这批米内夹谷约为（    ） A．157石 B．164石 C．170石 D．280石 【巩固练习】 1. （2025·全国·专练） 下列叙述正确的是 （ ） A．频率是稳定的，概率是随机的 B．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 C．5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小 D．若事件A发生的概率为P(A)，则 2（2025·广东·专练）某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示： 射击次数 50 100 200 400 1000 射中8环以上的次数 44 78 158 320 800 根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（    ） A．0.78 B．0.79 C．0.80 D．0.82 3（2025·全国·模拟预测）造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生400名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有73人，据此估计该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（    ）. A．69人 B．84人 C．108人 D．115人 【题型2】 事件的关系与运算 【典题1】 （2023·上海长宁·一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（    ） A．两个点数都是偶数 B．至多有一个点数是偶数 C．两个点数都是奇数 D．至多有一个点数是奇数 【典题2】（2024·广东·三模）为样本空间，随机事件A、B满足，，则有（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2024·重庆·模拟预测）对于两个事件，则事件表示的含义是（    ） A．A与B同时发生 B．A与B有且仅有一个发生 C．A与B至少一个发生 D．A与B不能同时发生 2 （2024·江苏盐城·一模）已知随机事件A，B相互独立，且，则（    ） A． B． C． D． 3（2023·陕西咸阳·一模）某家族有两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，两种性状都不出现的概率为，则该成员两种性状都出现的概率为（    ） A． B． C． D． 4（2025·全国·专练）已知事件、互斥，、至少一个发生的概率，且，则（    ） A． B． C． D． 5（2023·广东佛山·一模）已知事件A，B，C的概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 6（2025·全国·专练）事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（    ） A． B． C． D． 7（2024·湖北武汉·模拟预测）随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3】 随机事件的概率 角度1 互斥事件的概念 【典题1】 （2024·云南昆明·模拟预测）甲、乙、丙三人参加一次考试，考试的结果相互独立，他们合格的概率分别为，，，则三人中恰有两人合格的概率是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2025·全国·专练）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知，，则“出现奇数点或2点”的概率为（    ） A． B． C． D． 2（2024·山东烟台·三模）一袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球，从中不放回的每次取出1个小球，连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 3（2025·全国·专练）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 4（2024·全国·模拟预测）神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6个月.某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含两轮.高三（9）班派出了和两位同学代表班级参加比赛，每轮竞赛和两位同学各答1题.已知同学每轮答对的概率是，同学每轮答对的概率是，每轮竞赛中和两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，则和两位同学至少答对3道题的概率为（     ）. A． B． C． D． 5（2025·全国·专练）为了普及党史知识，某校举行了党史知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.则甲、乙两人共答对至少3道题的概率是（    ） A． B． C． D． 角度2 对立事件的概率 【典题1】（2025·全国·专练）为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛.已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，，，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2024·山西太原·一模）甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为（    ） A． B． C． D． 2（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为0.7，第二次面试通过的概率为0.5．若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（    ） A．0.85 B．0.7 C．0.5 D．0.4 3（2025·全国·专练）投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（    ） A． B． C． D． 4（2025·全国·专练）为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（    ） A． B． C． D． 角度3 复杂随机事件的概率 【典题1】 A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）： A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.8 （Ⅰ）试估计C班的学生人数； （Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （Ⅲ）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小.（结论不要求证明） 【巩固练习】 1. （2025·全国·专练）某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为（    ） A． B． C． D． 2（2025·全国·专练）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（    ） A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 3（2025·全国·专练）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，现在约定乙先投. (1)求投篮结束时，甲、乙各只投1个球的概率； (2)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率； (3)求乙获胜的概率； 4（2025·全国·专练），，三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，，，三人闯关都成功的概率是，，，三人闯关都不成功的概率是. (1)求，两人各自闯关成功的概率； (2)求，，三人中恰有两人闯关成功的概率. 5（2025·全国·专练）甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是. (1)分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率； (2)求甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题的概率. 1（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 随机事件、频率与概率 1 随机事件与概率 ① 有限样本空间与随机事件 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示， 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间.用表示样本空间，用表示样本点.如果一个随机试验有个可能结果结果,则称样本空间为有限样本空间. 样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件成为基本事件.随机事件一般用大写字母表示. ②各种事件 必然事件，不可能事件，随机事件. 在件瓷器中，有件一级品，件二级品，从中任取件. “件都是二级品”是什么事件？ “件都是一级品”是什么事件？ “至少有一件是一级品”是什么事件？ 解：(1)因为件瓷器中，只有件二级品，取出件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件. (2)“件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件. (3)“至少有一件是一级品”是必然事件，因为件瓷器中只有件二级品，取三件必有一级品. ③ 事件的关系和运算 一般地，若事件发生，则事件一定发生，我们就称事件包含于事件，记作； 一般地，事件与事件至少有一个发生，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作. 一般地，事件与事件同时发生，我们称这样一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作. 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容). 一般地，如果事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即且，则称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为. 【题型1】随机事件的频率与概率 【典题1】 （2025·江西宜春·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1423石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得268粒内夹谷32粒.则这批米内夹谷约为（    ） A．157石 B．164石 C．170石 D．280石 【答案】C 【分析】用样本中夹谷的比例乘以总体容量可得结果. 【详解】样本中夹谷的比例为，用样本估计总体，可得这批谷内夹谷约为（石）. 故选：C. 【巩固练习】 1. （2025·全国·专练） 下列叙述正确的是 （ ） A．频率是稳定的，概率是随机的 B．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 C．5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小 D．若事件A发生的概率为P(A)，则 【答案】D 【分析】根据概率的意义判断，根据互斥事件和对立事件的定义判断． 【详解】频率是随机变化的，概率是频率的稳定值，A错； 互斥事件也可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，B错； 5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙、甲抽到有奖奖券的可能性一样大，都是，C错； 由概率的定义，随机事件的概率在上，D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查概率的意义，考查互斥事件和对立事件的定义，属于基础题． 2（2025·广东·专练）某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示： 射击次数 50 100 200 400 1000 射中8环以上的次数 44 78 158 320 800 根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（    ） A．0.78 B．0.79 C．0.80 D．0.82 【答案】C 【分析】利用频率估计概率即可求解. 【详解】大量重复试验，由表格知射击运动员射中8环以上的频率稳定在， 所以这名运动员射击一次射中8环以上的概率为， 故选：C. 3（2025·全国·模拟预测）造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生400名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有73人，据此估计该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（    ）. A．69人 B．84人 C．108人 D．115人 【答案】C 【分析】先求得名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此列出比例式，可求得名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数. 【详解】在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有人， 设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人， 则，解得人. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题. 【题型2】 事件的关系与运算 【典题1】 （2023·上海长宁·一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（    ） A．两个点数都是偶数 B．至多有一个点数是偶数 C．两个点数都是奇数 D．至多有一个点数是奇数 【答案】D 【分析】由题意，根据交事件的运算，结合概率与事件的关系，可得答案. 【详解】由题意，事件为：两个点数都为奇数， 由概率指的是事件的对立事件的概率， 则事件的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数. 故选：D. 【典题2】（2024·广东·三模）为样本空间，随机事件A、B满足，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以正态分布为背景，举反例判断ACD，利用概率和公式判断B. 【详解】设， 对于A，若事件，事件，则，，但，选项A错误； 对于C，若事件，事件，则，，但，选项C错误； 对于D，若事件，事件，则，，但，选项D错误； 对于B，因为，所以， 又，所以， 所以，B正确； 故选：B. 【巩固练习】 1. （2024·重庆·模拟预测）对于两个事件，则事件表示的含义是（    ） A．A与B同时发生 B．A与B有且仅有一个发生 C．A与B至少一个发生 D．A与B不能同时发生 【答案】C 【分析】根据事件之间的和事件关系，可得答案. 【详解】由表示的是与中至少一个发生. 故选：C. 2 （2024·江苏盐城·一模）已知随机事件A，B相互独立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据A，B相互独立可得，再根据计算即可. 【详解】因为事件A，B相互独立，且，可得， 所以=. 故选：B. 3（2023·陕西咸阳·一模）某家族有两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，两种性状都不出现的概率为，则该成员两种性状都出现的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该家族某成员出现性状为事件，出现性状为事件，进而根据题意得，再结合求解即可. 【详解】解：设该家族某成员出现性状为事件，出现性状为事件， 则两种性状都不出现为事件，两种性状都出现为事件， 所以，，， 所以，， 又因为， 所以，， 故选：B 4（2025·全国·专练）已知事件、互斥，、至少一个发生的概率，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用互斥事件、对立事件的概率关系即可计算求解. 【详解】由题意可得，， 则有，又，即， 解得，故. 故选：C. 5（2023·广东佛山·一模）已知事件A，B，C的概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和事件的概率公式判断A、C，根据积事件的概率公式判断D，根据相互独立事件的概率公式判断B. 【详解】对于A，因为，由， 只能得到，并不能得到，故A错误； 对于B，由于不能确定，，是否相互独立， 若，，相互独立，则，， 则由可得， 故由无法确定，故B错误； 对于C，因为， ， 由，只能得到， 由于不能确定，，是否相互独立，故无法确定，故C错误； 对于D，因为，， 又，所以，故D正确； 故选：D. 6（2025·全国·专练）事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用独立事件的乘法公式和概率的性质逐项判断即可. 【详解】事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件， 故，故AB错误； ，故C正确； ,故D错误. 故选：C 7（2024·湖北武汉·模拟预测）随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质及概率的取值范围求解即得. 【详解】依题意，，由， 得，又， 则当时，， 所以事件A，B同时发生的概率的取值范围是. 故选：C 【题型3】 随机事件的概率 角度1 互斥事件的概念 【典题1】 （2024·云南昆明·模拟预测）甲、乙、丙三人参加一次考试，考试的结果相互独立，他们合格的概率分别为，，，则三人中恰有两人合格的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出基本事件，将所求事件表示出来，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的积的概率公式求解即得. 【详解】设甲、乙、丙三人参加考试合格的事件分别为，则,而三人中恰有两人合格记为：, 因考试的结果相互独立，且，，两两互斥，故得三人中恰有两人合格的概率为： . 故选：B． 【巩固练习】 1. （2025·全国·专练）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知，，则“出现奇数点或2点”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互斥事件概率公式求解. 【详解】因为“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥，所以“出现奇数点或2点”的概率为； 故选：D. 2（2024·山东烟台·三模）一袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球，从中不放回的每次取出1个小球，连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分第一次取出为红球和黑球两种情况求解即可. 【详解】由题意，第一次取出可能为红球或黑球，故连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为. 故选：D 3（2025·全国·专练）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率公式即可求解. 【详解】设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， 所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76． 故选C． 4（2024·全国·模拟预测）神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6个月.某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含两轮.高三（9）班派出了和两位同学代表班级参加比赛，每轮竞赛和两位同学各答1题.已知同学每轮答对的概率是，同学每轮答对的概率是，每轮竞赛中和两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，则和两位同学至少答对3道题的概率为（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出答对4道题，答对3道题的概率，再求和事件的概率即可. 【详解】若和两位同学答对4道题，则其概率为； 若和两位同学答对3道题，则其概率为； 故和两位同学至少答对3道题的概率为. 故选：D. 5（2025·全国·专练）为了普及党史知识，某校举行了党史知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.则甲、乙两人共答对至少3道题的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相互独立事件、互斥事件概率公式求出，再利用利用相互独立事件、互斥事件求解作答. 【详解】依题意，，而，解得，， 设“甲同学答对了i题”，“乙同学答对了i题”，（）， 则，，，， 甲、乙两人共答对至少3道题的事件， 因此， 所以甲、乙两人共答对至少3道题的概率是． 故选：C 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 角度2 对立事件的概率 【典题1】（2025·全国·专练）为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛.已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，，，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先结合对立事件概率公式，利用独立事件乘法公式求得没有一人成功的概率，再由对立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，，， 则甲、乙、丙三位同学在比赛中都不能成功包制一个粽子的概率为， 则在比赛中至少一人成功的概率为. 故选：C 【巩固练习】 1. （2024·山西太原·一模）甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用分步乘法原理，结合古典概型和对立事件概率公式求解. 【详解】两人选取科目的方法共有种，科目完全相同的方法共有种， 科目不完全相同方法共有12种，故所求概率为. 故选：D. 2（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为0.7，第二次面试通过的概率为0.5．若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（    ） A．0.85 B．0.7 C．0.5 D．0.4 【答案】A 【分析】根据给定条件，对立事件概率公式列式计算即得. 【详解】依题意，第一次面试不通过的概率为0.3，第二面试不通过的概率为0.5， 因此面试失败的概率为， 所以该同学通过面试的概率为. 故选：A 3（2025·全国·专练）投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求事件的概率转化为求对立事件的概率，再利用公式相减即可. 【详解】由题意得事件，中至少有一个发生的对立事件是事件，都不发生， 而事件不发生的概率为，事件不发生的概率为， 所以事件，都不发生的概率为， 故事件，中至少有一个发生的概率是，故D正确. 故选：D 4（2025·全国·专练）为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用对立事件的概率和为，间接法可得. 【详解】设事件“甲猜对”，“乙猜对”，“几何队至少猜对一个成语”， 所以，则. 由题意知，事件相互独立，则与，与，与也相互独立， 法一：，且两两互互斥， 则 . 法二：事件的对立事件“几何队一个成语也没有猜对”，即， 则. 故选：B. 角度3 复杂随机事件的概率 【典题1】 A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）： A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.8 （Ⅰ）试估计C班的学生人数； （Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （Ⅲ）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小.（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）40；（Ⅱ）；（III）. 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据图表，结合分层抽样的抽样比计算C班的学生人数； （Ⅱ）根据题意列出“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”的所有事件，由相互独立事件概率公式求解. （Ⅲ）根据平均数公式进行判断即可. 试题解析：（Ⅰ）由题意知，抽出的名学生中，来自C班的学生有名.根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为. （Ⅱ）设事件为“甲是现有样本中A班的第个人”，， 事件为“乙是现有样本中C班的第个人”，， 由题意可知，，；，. ,,. 设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知， . 因此 . （Ⅲ）. 【考点】分层抽样、相互独立事件的概率、平均数 【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便. 【巩固练习】 1. （2025·全国·专练）某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，事件可表示为第一次拨对和第一次没拨对第二次拨对的互斥事件的和，再由互斥事件概率加法公式及古典概型求解. 【详解】设第次拨号拨对号码. 拨号不超过两次就拨对号码可表示为， 所以拨号不超过两次就拨对号码的概率为. 故选：B 2（2025·全国·专练）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（    ） A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 【答案】A 【分析】由独立事件概率乘法公式可得. 【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件， 由题知， 则3人中至少有2人投中的概率为： . 故选：A. 3（2025·全国·专练）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，现在约定乙先投. (1)求投篮结束时，甲、乙各只投1个球的概率； (2)求投篮结束时，甲只投了2个球的概率； (3)求乙获胜的概率； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合对立事件的概率公式，根据独立事件的乘法概率公式求解即可； （2）结合互斥事件的概率加法公式，根据独立事件的乘法概率公式求解即可； （3）结合互斥事件的概率加法公式，根据独立事件的乘法概率公式求解即可. 【详解】（1）设分别表示乙、甲在第次投篮投中. 则，，， 所求的概率为. （2）所求的概率为 . （3）所求的概率为 . 4（2025·全国·专练），，三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，，，三人闯关都成功的概率是，，，三人闯关都不成功的概率是. (1)求，两人各自闯关成功的概率； (2)求，，三人中恰有两人闯关成功的概率. 【答案】(1)，两人各自闯关成功的概率都是. (2) 【分析】（1）记三人各自闯关成功分别为事件，三人各自独立闯关，由题意结合独立事件的概率公式可列出方程组，从而解得，两人各自闯关成功的概率； （2）三人中恰有两人闯关成功为事件，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算即可． 【详解】（1）记三人各自闯关成功分别为事件， 三人闯关成功与否得相互独立，且满足， 解得，， 所以，两人各自闯关成功的概率都是. （2）设，，三人中恰有两人闯关成功为事件， 则， 所以三人中恰有两人闯关成功的概率为. 5（2025·全国·专练）甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是. (1)分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率； (2)求甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题的概率. 【答案】(1)乙做对这道题的概率为，丙做对这道题的概率为或乙做对这道题的概率为，丙做对这道题的概率为. (2) 【分析】（1）设出乙、丙两人各自做对这道题的概率，用这两个概率表示题目条件，求出结果； （2）甲、乙、丙三人中恰有一人做对题目，分三种情况计算概率，再相加即可. 【详解】（1）设甲、乙、丙做对这道题分别为事件A、B、C，则， 由题意得，， ∴， ∴或， ∴乙做对这道题的概率为，丙做对这道题的概率为或乙做对这道题的概率为，丙做对这道题的概率为. （2）设甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题为事件D， 则 ， ∴甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题的概率为. 1（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可． 【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； 选项B，，，， ，B正确； 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误； 选项D，，，， ， 与不独立，故D错误． 故选：B． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$