第03讲 二项式定理(讲义) -2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第03讲 二项式定理 1 二项式展开式 2 二项展开式的通项公式 3 二项式系数表(杨辉三角) 展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 . 4 二项式系数的性质 (1)对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 直线是图象的对称轴． (2)增减性与最大值： 当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项 ，取得最大值． (3)二项式系数和：， 奇数项的系数等于偶数项的系数等于， 备注 令，则， 令 ，则， 奇数项的系数等于偶数项的系数等于. 特别提醒 1. 在运用二项式定理时一定要牢记通项公式.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分. 2．在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项. 【题型1】 二项展开式的通项及其应用 角度1 求二项展开式的特定项（或系数） 【典题1】 （2024·浙江·三模）的展开式的常数项为（    ） A． B． C． D．4 【巩固练习】 1. （2025·广东·专练） 的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 2（2025·全国·专练）已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 3（2023·四川泸州·二模）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 角度2 两个二项式之积特定项（或系数） 【典题1】 （2024·山西长治·模拟预测）的展开式中的系数是（    ） A．﹣10 B．0 C．10 D．30 【巩固练习】 1. 的展开式中，的系数为（    ） A．160 B．40 C．120 D．80 2（2024·江西·一模）的展开式中的常数项为（    ） A．147 B． C．63 D． 3（2024·吉林长春·模拟预测）的展开式中的系数（    ） A．28 B．35 C．36 D．56 角度3 三项展开式的特定项（或系数） 【典题1】 （2024·山西太原·三模）的展开式中 的系数为（   ） A．-20 B．20 C．-30 D．30 【巩固练习】 1. （2024·云南昆明·模拟预测）的展开式中，项的系数为（    ） A．10 B． C．60 D． 2（2024·湖南长沙·三模）在的展开式中，的系数是（    ） A．168 B． C．1512 D． 3（2024·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【题型2】 二项式系数的性质 【典题1】 （2024·湖北·模拟预测）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（    ） A．8 B．28 C．70 D．252 【巩固练习】 1.（2024·江西·二模）已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 2（2025·广东·专练）已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（    ） A． B． C． D． 【题型3】 二项式系数与各项系数和问题 【典题1】 （多选）（2024·福建福州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2024·河南开封·二模）若 则 （    ） A． B． C． D． 2（2024·广东江门·一模）已知，则的值是（    ） A．680 B． C．1360 D． 3（多选）（2024·江苏·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 4（多选）（2024·河南驻马店·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型4】 二项式定理的应用 【典题1】 （2024·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则天后是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 【典题2】（2024·吉林长春·模拟预测）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数） (3)对于（2）中的数列，令，其中.证明：. 【巩固练习】 1. （2024·湖北·模拟预测）被9除的余数为（    ） A．1 B．4 C．5 D．8 2（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 3（多选）（2021·江苏南京·一模）设，下列恒等式正确的为（    ） A． B． C． D． 4（2024·湖北襄阳·二模）知识卡片：一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.当，时，有如下表达式：，两边同时积分得：，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，由二项式定理计算： . 5（2024·山东潍坊·二模）数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列． (1)已知数列满足，． （ⅰ）求，，；（ⅱ）证明：是一阶等比数列； (2)已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值． 6（2024·山东淄博·二模）定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作．如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作． 设集合． (1)求； (2)①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构造， ②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构． 请从①②中选择一个，若选择_____． 证明：数列单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M）． 注：若①②都作答，按第一个计分． 7（2024·云南大理·模拟预测）自然常数，符号，为数学中的一个常数，是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为2.71828.它是自然对数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮尔常数”，以纪念苏格兰数学家约翰・纳皮尔（John Napier）引进对数.它就像圆周率和虚数单位，是数学中最重要的常数之一，它的其中一个定义是.设数列的通项公式为，， (1)写出数列的前三项，，． (2)证明：． 1（2023·北京·高考真题）在的展开式中，x的系数为（    ） A． B．40 C． D．80 2（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 3（2022·全国·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 4（2024·全国·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二项式定理 1 二项式展开式 2 二项展开式的通项公式 3 二项式系数表(杨辉三角) 展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 . 4 二项式系数的性质 (1)对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 直线是图象的对称轴． (2)增减性与最大值： 当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项 ，取得最大值． (3)二项式系数和：， 奇数项的系数等于偶数项的系数等于， 备注 令，则， 令 ，则， 奇数项的系数等于偶数项的系数等于. 特别提醒 1. 在运用二项式定理时一定要牢记通项公式.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分. 2．在使用通项公式时，要注意通项公式是表示第项，而不是第项. 【题型1】 二项展开式的通项及其应用 角度1 求二项展开式的特定项（或系数） 【典题1】 （2024·浙江·三模）的展开式的常数项为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】先求出展开式的通项，令指数等于0，求得，即可求解. 【详解】通项为常数项， 令可得， 所以， 故选：B． 【巩固练习】 1. （2025·广东·专练） 的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式展开式通项公式来求指定项系数. 【详解】由， 当，解得， 所以的系数为， 故选：A. 2（2025·全国·专练）已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项公式求出常数项，建立方程得解. 【详解】由二项展开式的通项公式可得， 令，解得， 即常数项为，解得. 故选：B 3（2023·四川泸州·二模）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】首先写出二项式展开的通式，根据题意存在常数项，可得，进而得到的可能取值. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，即，由于，故必为的倍数，即的可能取值为. 故选：C 角度2 两个二项式之积特定项（或系数） 【典题1】 （2024·山西长治·模拟预测）的展开式中的系数是（    ） A．﹣10 B．0 C．10 D．30 【答案】C 【分析】根据乘法的分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】依题意可知，含的项是 ， 所以的系数是. 故选：C 【巩固练习】 1. 的展开式中，的系数为（    ） A．160 B．40 C．120 D．80 【答案】B 【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数 【详解】展开式的通项公式为， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，即可得到； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，即可得到； 据此可得：的系数为. 故选：B. 2（2024·江西·一模）的展开式中的常数项为（    ） A．147 B． C．63 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出展开式中项即可列式计算即得 【详解】二项式展开式中项分别为， 所以的展开式中的常数项为． 故选：C 3（2024·吉林长春·模拟预测）的展开式中的系数（    ） A．28 B．35 C．36 D．56 【答案】C 【分析】先求出的展开式的通项，再分别求出展开式中项、项的系数及常数项，即可求得的展开式中项的系数． 【详解】根据题意，二项式的展开式的通项， 其中项为，， 项为，， 常数项为，， 所以展开式中项的系数为． 故选：C． 角度3 三项展开式的特定项（或系数） 【典题1】 （2024·山西太原·三模）的展开式中 的系数为（   ） A．-20 B．20 C．-30 D．30 【答案】D 【分析】先把看作整体写出二项式展开的通项，再根据指定项确定的次数，最后根据指定项配凑出项的系数. 【详解】因为的展开式通项为， 当时，出现，即 此时中含的项为， 所以的系数为. 故选：D. 【巩固练习】 1. （2024·云南昆明·模拟预测）的展开式中，项的系数为（    ） A．10 B． C．60 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项，即可求得展开式中项的系数，得到答案. 【详解】由多项式 展开式的通项为， 令，可得， 又由展开式的通项为， 当时，可得， 所以展开式中项系数为， 故选：C. 2（2024·湖南长沙·三模）在的展开式中，的系数是（    ） A．168 B． C．1512 D． 【答案】D 【分析】利用多项式展开性质及组合数的应用求解即可. 【详解】原问题可以理解为8个相乘，要想得到，需要8个因式中有2个取项，1个取项， 还剩5个取常数项，由题意的系数为：. 故选：D 3（2024·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出通项，令，再求展开式中系数为1时的系数，然后相乘即可； 【详解】， 项对应，， 项对应系数为，故展开后系数为. 故选：D. 【题型2】 二项式系数的性质 【典题1】 （2024·湖北·模拟预测）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（    ） A．8 B．28 C．70 D．252 【答案】D 【分析】先确定值，再由二项展开式的通项求解项的系数即可. 【详解】因为二项展开式中当且仅当第5项是二项式系数最大的项， 即二项式系数中第5个即最大， 所以由二项式系数的性质可知， 展开式中共项，，又， 则二项展开式的通项公式 ，. 令，所以的系数为． 故选：D． 【巩固练习】 1.（2024·江西·二模）已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】A 【分析】首先根据题意求得，然后结合二项式定理即可求解. 【详解】已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则只能， 从而的展开式为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 故选：A. 2（2025·广东·专练）已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二项展开式的通项求出展开式前三项的系数，列出方程求出的值，由二项式系数的性质求出答案. 【详解】展开式中的第项为， 所以前三项的系数依次为， 依题意，有，即， 整理得，解得（舍去）或. 由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大， 即. 故选：C. 【题型3】 二项式系数与各项系数和问题 【典题1】 （多选）（2024·福建福州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用赋值法令可计算得出A正确，令可知C错误，求出展开式中一次项的系数，经计算可得B错误；构造方程组计算可得D正确. 【详解】对于A，令，即可得，可得A正确； 对于B，因为展开式中代表一次项系数，所以的展开式中含有一次项，可得，即B错误； 对于C，令，即可得，可得，所以C错误； 对于D，令，即可得， 得，得，即D正确. 故选：AD 【巩固练习】 1. （2024·河南开封·二模）若 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用赋值法，当分别取和时，得到和，联立解得. 【详解】令，得①； 令，得②； 得：. 故选：C 2（2024·广东江门·一模）已知，则的值是（    ） A．680 B． C．1360 D． 【答案】B 【分析】利用赋值法，分别令和，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案. 【详解】令，则，即 令，则， 即， 两式相加可得， 故选：B 3（多选）（2024·江苏·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用赋值法一一计算可判定A、D选项；利用二项式定理可判定B、C选项. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于D，令， 令， 两式相减得，故D正确； 易知， 而中的常数项为1，含项为， 含项为，含项为， 同理中的常数项为，含项为， 含项为，含项为， 所以，故B错误； ，故C正确. 故选：ACD 4（多选）（2024·河南驻马店·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先对式子进行化简，再根据二项式定理求解即可. 【详解】依题意得，所以945，故A项正确； 令，得，令，得，所以，故B项错误； 令，得①， 又②， 由①+②可得，故C项正确； 同理，由②-①得，故D项错误. 故选：AC. 【题型4】 二项式定理的应用 【典题1】 （2024·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则天后是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 【答案】B 【分析】结合二项式展开式，求出它除以7的余数，可得结论. 【详解】， 故 ． 前面7项均能被7整除，则被7整除余5， 故天后是星期二． 故选：B. 【典题2】（2024·吉林长春·模拟预测）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数） (3)对于（2）中的数列，令，其中.证明：. 【答案】(1)； (2)成立，理由见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）由二阶差分数列的定义可得，将，可得，构造等差数列即可求解； （2）由一阶差分数列的定义可得，要证成立，即证，根据二项式定理即可证明； （3）作差可得，故，根据等比数列的求和公式即可证明. 【详解】（1）因为为的二阶差分数列，所以， 将，代入得，整理得，即， 所以.故数列是首项为，公差为的等差数列， 因此，，即. （2）因为为数列的一阶差分数列，所以， 故成立，即为.① 当时，①式成立； 当时，因为，且， 所以①成立，故对都有成立. （3），因为，所以， 故，即， 所以 . 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 【巩固练习】 1. （2024·湖北·模拟预测）被9除的余数为（    ） A．1 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】化简得出，应用二项式展开式根据整除即可计算求出余数. 【详解】 其中是9的整数倍. 故被9除的余数为4. 故选：B. 2（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 【答案】B 【分析】根据复利可知每年末本息和构成等比数列，利用等比数列通项公式及二项式定理求解即可. 【详解】存入大额存款10万元，按照复利计算， 每年末本利和是以10为首项，为公比的等比数列， 所以本利和． 故选：B． 3（2021·江苏南京·一模）设，下列恒等式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由二项式定理可得，令即可判断A； 对式子两边求导后，令即可判断B；对B中式子两边同乘后再求导，令即可判断C，对C中式子两边同乘后再求导，令即可判断D. 【详解】解：由二项式定理可得，令可得 ，所以，A不正确； 对二项式定理式子两边求导可得， 令可得，故B正确； 由B知，两边同乘可得 ，两边求导可得 ， 令可得，C正确； 由C可得，两边同乘可得, ，两边求导可得， ，令可得 ，D不正确； 故选:BC. 【点睛】关键点睛: 本题的关键是结合二项式定理和导数的思想，通过代入进行判断. 4（2024·湖北襄阳·二模）知识卡片：一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.当，时，有如下表达式：，两边同时积分得：，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，由二项式定理计算： . 【答案】 【分析】根据微积分基本定理得到，再结合二项式定理及微积分基本定理计算可得. 【详解】因为， 且， 所以 ； ， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对题干所给微积分基本定理的理解及应用，对于新定义型问题，理解定义是关键. 5（2024·山东潍坊·二模）数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列． (1)已知数列满足，． （ⅰ）求，，； （ⅱ）证明：是一阶等比数列； (2)已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值． 【答案】(1)（ⅰ），，；（ⅱ）证明见解析 (2)当时，为整数. 【分析】（1）（ⅰ）根据的定义，结合通项公式求解即可；（ⅱ）根据递推公式构造即可证明； （2）由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为，可得，结合进而可得，从而分析为整数当且仅当为整数，再根据二项展开式，结合整除的性质分析即可. 【详解】（1）（ⅰ）由，易得，…… 由一阶等差数列的定义得： ，，. （ⅱ）因为，所以当时有， 所以，即， 即，又因为，故是以1为首项，2为公比的等比数列， 即是一阶等比数列. （2）由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为， 则，，所以. 由题意，所以， 所以， 即. 所以为整数当且仅当为整数. 由已知时符合题意，时不合题意， 当时，， 所以原题等价于为整数， 因为①， 显然含质因子3，所以必为9的倍数， 设，则，将代入①式， 当为奇数时，为偶数，①式为2的倍数； 当为偶数时，为奇数，为偶数，①式为2的倍数， 又因为2与9互质，所以①为整数. 综上，当时，为整数. 【点睛】方法点睛： （1）新定义的题型需要根据定义列出递推公式，结合等比等差的性质求解； （2）考虑整除时，可考虑根据二项展开式进行讨论分析. 6（2024·山东淄博·二模）定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作．如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作． 设集合． (1)求； (2)①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构造， ②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列，并构． 请从①②中选择一个，若选择_____． 证明：数列单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M）． 注：若①②都作答，按第一个计分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知定义求出集合，然后结合集合交集运算即可解题； （2）结合所选条件，先求出，在适当放缩后，用等差等比数列，以及求和计算，然后结合单调性以及二项式定理即可判断. 【详解】（1）当成立时，则能被整除，得， 即， 当成立时，则能被整除，得， 即，则， 显然集合为全体正偶数组成的集合，集合中所有的元素都是奇数， 所以. （2）若选择①， 将集合中的元素按从小到大排列构成的数列为等差数列，其通项公式为：   设，， 由二项式定理得： ； ； 显然， 所以数列为单调递增数列， 同时， 当时， ， 则， 且， 所以数列有界； 若选择②， 将集合中的元素按从小到大排列构成的数列为等比数列，其通项公式为   设， 显然， 所以数列单调递增， 其中， ， 所以， 所以数列有界. 【点睛】知识点点睛：本题以新定义为载体，主要考查集合交集运算，二项式定理，等差等比数列通项应用和求和方法，还考查了数列与函数单调性综合应用，属于难题. 7（2024·云南大理·模拟预测）自然常数，符号，为数学中的一个常数，是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为2.71828.它是自然对数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮尔常数”，以纪念苏格兰数学家约翰・纳皮尔（John Napier）引进对数.它就像圆周率和虚数单位，是数学中最重要的常数之一，它的其中一个定义是.设数列的通项公式为，， (1)写出数列的前三项，，． (2)证明：． 【答案】(1)；； (2)证明见解析 【分析】（1）由数列的通项公式为，直接写出即可； （2）由二项式定理将展开变形，通过适当放缩，可证得，可得是上的单调递增数列，则；再证得，即可得到． 【详解】（1）由通项公式得， ；；. （2）由二项式定理得 ， 所以是上的单调递增数列， 因为，则； 又 ， 综上可知，． 【点睛】关键点点睛：将展开，分出1后，将其放大得到，即证出是上的单调递增数列，得到，将逐步放大，得到，即可的证. 1（2023·北京·高考真题）在的展开式中，x的系数为（    ） A． B．40 C． D．80 【答案】D 【分析】根据题意结合二项式定理写出的展开式的通项即可. 【详解】的展开式的通项为， 令，解得 所以的展开式中的系数为. 故选：D. 2（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解. 【详解】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 3（2022·全国·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【答案】-28 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 4（2024·全国·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 【答案】5 【分析】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解. 【详解】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$