第02讲 排列组合(讲义)- 2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第02讲 排列组合 1排列 ① 排列概念 从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列. ② 排列数 从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号 表示.其中 或 ③ 阶乘 表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘 规定． 2 组合 ① 组合概念 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. ② 组合数 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．其中 ③ 排列与组合的区别 排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”， 从个元素中取出个元素的排列(排列数) 可以理解为分为两步： 第一步 从个元素中取出个元素组合，得到组合数； 第二步 再对个元素进行排列，得到排列数，根据分步乘法计数原理得到 ③ 组合数的性质 ① 规定: ② (比如，从10个抽出8个组合的组合数与从10个抽出2个组合的组合数相等) ③ (从个中抽出个抽不到元素的组合数抽到元素的组合数) ④ (，) PS 若能理解每个公式是怎么推导的，有助于你灵活运用它们！ 【题型1】排列问题 角度1 无限制的排列问题 【典题1】 （2024·江西新余·模拟预测）甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 一个火车站有8股岔道，每股道只能停放1列火车，现需停放4列不同的火车，则不同的停放方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2（2024·四川雅安·三模）从三个数字组成的没有重复数字的三位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 3（2024·湖南衡阳·一模）某城市随机选取个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，则至少需要选取（    ）个人. A． B． C． D． 角度2 有限制的排列问题 【典题1】 （2025·湖南·专练）将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 【巩固练习】 1. （2025·全国·专练）6个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？（结果用数字表示） (1)其中甲、乙必须相邻； (2)其中甲、乙、丙3人两两不相邻； (3)其中甲不站排头，乙不站排尾； (4)其中甲、乙中间有且只有1人； (5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列（可以不相邻）． 【题型2】组合问题 角度1 无限制的组合问题 【典题1】 （2025·湖南·专练）随着暑假的来临，中国各地旅游市场也迎来旺季.小明和小王都计划在南京､北京､西安､厦门､杭州这5个城市中选2个城市去旅游，则小明和小王不会去相同城市的概率为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2024·安徽·模拟预测）将1到50这50个正整数平均分成A，B两组，每组各25个数，使得A组的中位数比B组的中位数小1，则共有（    ）种分法 A． B． C． D． 2（2025·全国·专练）某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为（    ） A．350 B．500 C．550 D．700 3（2025·全国·专练）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 4（2024·湖北·模拟预测）不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组（    ） A．560 B．455 C．91 D．55 角度2 有限制的组合问题 【典题1】 （2025·全国·专练）从7名男生和5名女生中选出4人去参加一项比赛． (1)若男生甲和女生乙必须参加，则有多少种选法？ (2)若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？ (3)若女生至少要有2人参加，则有多少种选法？ 【巩固练习】 1. （2024·河南·二模）将甲，乙等5人全部安排到四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至少安排1人，且甲，乙都不能去工厂，则不同的安排方法有（    ） A．72种 B．108种 C．126种 D．144种 2（2025·全国·专练）在空间直角坐标系中，已知点，若，，，且，则满足条件的点共有（    ） A．15个 B．20个 C．35个 D．56个 3如图，已知图形，内部连有线段．图中矩形总计有（    ）个． A．75 B．111 C．102 D．120 4（2025·全国·专练）正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有几条（    ） A．36 B．21 C．12 D．6 【题型3】 排列组合的综合问题 角度1 均匀分组问题 【典题1】 为提高教学质量，教育厅派6位教研员，平均分成3组，去某地3所重点高中调研，且甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排方案有（    ）种． A．66 B．72 C．85 D．96 【巩固练习】 1. 将4个不同的小球平均放入2个不同的盒子中，有多少种不同的放法？（    ） A．6 B．12 C．3 D．16 2（2025·全国·专练）奥运会足球预选赛亚洲区决赛（俗称九强赛），中国队和韩国队是其中的两支球队．现要将9支球队随机平均分成3组进行比赛，则中国队与韩国队分在同一组的概率是（    ）． A． B． C． D． 角度2 不均匀分组问题 【典题1】 （2025·全国·专练）6名大学生分配到4所学校实习，每名大学生只分配到一所学校，每所学校至少分配1名大学生，则不同的分配方案共有（    ） A．65 B．1560 C．2640 D．4560 【巩固练习】 1. （2024·陕西铜川·模拟预测）小张同学喜欢吃4种不同品种的奶糖，她有5个不同颜色的塑料袋，每个袋子中至少装1种奶糖．小张同学希望任意两个袋子所包含奶糖种类不完全相同，且每一种奶糖均要在两个袋子中出现，那么不同的方案数为（    ） A．3000 B．3360 C．1440 D．1560 2（2024·四川南充·模拟预测）距高考30天之际，高三某班级五位同学打算利用周末亲近大自然，陶冶情操，释放压力.这五位同学准备星期天在凌云山景区，印象嘉陵江湿地公园，西山风景区三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（   ） A．18 B．36 C．48 D．32 3（2025·全国·专练）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（ ）． A．种 B．种 C．种 D．种 4（2025·全国·专练）某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（    ） A．72种 B．114种 C．120种 D．144种 角度3 代数问题 【典题1】 （2024·安徽马鞍山·模拟预测）数列共有项，且，，，则这样的数列有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【巩固练习】 1. （2024·河南商丘·模拟预测）已知，且，则在空间直角坐标系中，对应的点的个数为（   ） A．48 B．24 C．12 D．6 2（2025·全国·专练）在数学中，自然常数.小明打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.如果排列时要求2不排第一个，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（    ） A．48 B．36 C．32 D．30 3（2025·全国·专练）集合，从集合中各取一个数，能组成（  ）个没有重复数字的两位数？ A．52 B．58 C．64 D．70 4（2025·全国·专练）已知实数，将这7个数适当排列成一列数，满足，则满足要求的排列的个数为（    ） A．58 B．71 C．85 D．96 5（2025·全国·专练）设集合，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．232 B．144 C．184 D．252 6（2025·浙江·模拟预测）有6张卡片分别写有数字1，1，1，2，3，4，从中任取4张，可排出不同的四位数的个数是 .(用数字作答) 角度4 几何问题 【典题1】 某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面（有公共棱的两个面）所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（   ） A．600种 B．1080种 C．1200种 D．1560种 【巩固练习】 1. （2024·全国·模拟预测）如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为（    ） A． B． C． D． 2（2025·全国·专练）如图所示，甲､乙两人同时出发，甲从点到，乙从点到，且每人每次都只能向上或向右走一格.则甲､乙的行走路线没有公共点的概率为（    ）. A． B． C． D． 【题型4】 排列数和组合数的性质及应用 角度1 排列数和组合数的计算 【典题1】 （2025·全国·专练）（1）解方程: （2）计算 （3）解不等式. 【巩固练习】 1. （2024·辽宁沈阳·模拟预测）化简式子：的结果为（    ） A． B． C． D． 2（2024·湖北武汉·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 3（2024·河南商丘·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 角度2 与排列数和组合数有关的恒等式证明 【典题1】 （2025·全国·专练）利用组合数的意义证明： ． 【巩固练习】 1. （2025·全国·专练）求证：． 2（2025·全国·专题练习）求证： 3（2025·全国·专练）求证： 4（2024·山东日照·模拟预测）如图所示数阵，第行共有个数，第行的第1个数为，第2个数为，第个数为．规定：．                                                 (1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论； (2)求证：每一行的所在数之和等于下一行的最后一个数； 1（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 2（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 排列组合 1排列 ① 排列概念 从个不同元素中，任取个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从不同元素中取出个元素的一个排列. ② 排列数 从个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号 表示.其中 或 ③ 阶乘 表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘 规定． 2 组合 ① 组合概念 一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. ② 组合数 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．其中 ③ 排列与组合的区别 排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”， 比如 一个班有50个学生，选两个班长有多少种选法？ 一个班有50个学生，选正副班长各1人有多少种选法？ 显然问题，的答案是，选正副班长就意味着：选出的班长还要讲“顺序”. 从个元素中取出个元素的排列(排列数) 可以理解为分为两步： 第一步 从个元素中取出个元素组合，得到组合数； 第二步 再对个元素进行排列，得到排列数，根据分步乘法计数原理得到 ③ 组合数的性质 ① 规定: ② (比如，从10个抽出8个组合的组合数与从10个抽出2个组合的组合数相等) ③ (从个中抽出个抽不到元素的组合数抽到元素的组合数) ④ (，) PS 若能理解每个公式是怎么推导的，有助于你灵活运用它们！ 【题型1】排列问题 角度1 无限制的排列问题 【典题1】 （2024·江西新余·模拟预测）甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙在最左端的有种，然后加上甲在中间和乙在最左端的有种. 【详解】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙排最左端的有种， 然后加上甲在中间和乙在最左端的有种， 则共有种排法. 故选：D. 【巩固练习】 1. 一个火车站有8股岔道，每股道只能停放1列火车，现需停放4列不同的火车，则不同的停放方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】根据题意，分析可得即从8股中选4股进行排列即可. 【详解】因为一个火车站有8股岔道，每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则有种不同的停放方法. 故选：D. 2（2024·四川雅安·三模）从三个数字组成的没有重复数字的三位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出组成无重复的三位数的个数，再求出是偶数的三位数的个数，根据古典概型求出概率即可. 【详解】因为由1，2，3组成没有重复数字的三位数的个数为；， 由1，2，3组成没有重复数字的三位数的偶数的个数为：， 所以由1，2，3组成没有重复数字的三位数，从中任取一个为偶数的概率为. 故选：D 3（2024·湖南衡阳·一模）某城市随机选取个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，则至少需要选取（    ）个人. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分步计数原理及排列，先求得选取个人中生肖均不相同概率，再求出，即可求解. 【详解】已知个生肖，按先后顺序选择个人，每次选中的人有种等概率可能，由分步乘法原理共有种情况， 若选取个人中生肖均不相同，有种可能，故选取个人中生肖均不相同概率， 要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，即， 由于，即随n随n的增大而减小， ，，故至少要选个人， 故选：C. 角度2 有限制的排列问题 【典题1】 （2025·湖南·专练）将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】(1)先对女生排列再用插空法可得答案； (2)先对女生排列根据插空法选择中间3个位置中的两个排列即可求得结果； (3)根据间接法总的减去对立面可求得结果； (4)先确定4个女生顺序，再排一个男生根据插空法，然后根据插空法排另外一个男生可求得结果. 【详解】（1）先对女生排列有种方法，再用插空法排列有种方法，则总计有种方法； （2）先对女生排列有种方法，男生不相邻且也不排到两头，可根据去掉头尾两空的插空法排列有,则总计有种方法； （3）6个人全排列有种方法，一个男生和甲相邻有种方法， 另外一个男生和甲相邻有种方法，两个男生都和甲相邻有种方法， 所以两个男生都不和甲相邻的排法有 种； （4）先确定4个女生顺序，则有5个空根据插空法第一个男生有种， 然后根据插空法排另外一个男生有种，则总计有种方法. 【巩固练习】 1. （2025·全国·专练）6个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？（结果用数字表示） (1)其中甲、乙必须相邻； (2)其中甲、乙、丙3人两两不相邻； (3)其中甲不站排头，乙不站排尾； (4)其中甲、乙中间有且只有1人； (5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列（可以不相邻）． 【答案】(1)240 (2)144 (3)504 (4)192 (5)120 【分析】（1）采用捆绑法，把甲乙捆绑在一起看做一个复合元素，再和其余4人全排； （2）采用插空法，先排除了甲、乙、丙之外的3人，形成四个空，再进行插空； （3）分两类，第一类甲站排尾，第二类，甲不站排尾，根据分类计数原理可得结果； （4）从另外4人选一人排在甲乙之间，再和另外4人全排； （5）先从6个位置中选3个位置，把甲乙丙按从左到右的顺序排列，再让剩余3人在3个位置全排. 【详解】（1）甲乙相邻，直接将甲乙捆绑，有种排法； （2）将除甲、乙、丙之外的3人进行全排列，有种情况，排好后，有个空位， 在4个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，有种情况， 则共有种排法． （3）甲站在排尾时，剩余5人进行全排列，安排在其他5个位置，有种排法， 甲不站在排尾时，则甲有4个位置可选，有种排法， 乙不能在排尾，也有4个位置可选，有种排法， 剩余4人进行全排列，安排在其他4个位置，有种排法， 此时有种排法； 故甲不站排头，乙不站排尾的排法有种． （4）先将甲、乙全排列，有种情况， 在剩余的4个人中任选1个，安排在甲乙之间，有种选法， 将三人看成一个整体，与其他3人进行全排列，有种排法， 则甲、乙中间有且只有1人共有种排法． （5）在6个位置中任取3个，安排除甲、乙、丙之外的3人，有种排法， 将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，只有种排法， 则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有种． 【题型2】组合问题 角度1 无限制的组合问题 【典题1】 （2025·湖南·专练）随着暑假的来临，中国各地旅游市场也迎来旺季.小明和小王都计划在南京､北京､西安､厦门､杭州这5个城市中选2个城市去旅游，则小明和小王不会去相同城市的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理和组合数公式求出总选择和满足条件的选择种数，再由古典概型概率公式可得. 【详解】两人从5个城市中各选2个城市去旅游共有种选法， 若两人不去相同城市，则有种选法， 所以小明和小王不会去相同城市的概率为. 故选：B 【巩固练习】 1. （2024·安徽·模拟预测）将1到50这50个正整数平均分成A，B两组，每组各25个数，使得A组的中位数比B组的中位数小1，则共有（    ）种分法 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定A，B两组的中位数，再对其他的数字分组，利用组合数公式，即可求解. 【详解】由中位数的定义易得A组和B组的中位数分别为25，26， 因此需将小于25的24个数平分到A，B两组，大于26的24个数平分到A，B两组，共有. 故选：D． 2（2025·全国·专练）某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为（    ） A．350 B．500 C．550 D．700 【答案】C 【分析】根据分类和分步计数原理即可求得. 【详解】所选医生中只有一名男主任医师的选法有， 所选医生中只有一名女主任医师的选法有， 所选医生中有一名女主任医师和一名男主任医师的选法有， 故所选医师中有主任医师的选派方法共有种， 故选：C 3（2025·全国·专练）某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理，结合排列组合以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】根据题意甲乙丙丁四个班的书可以按照3，1，2，1或者2，1，2，2或者2，1，3，1三种方式分配， 故总的分配方案有种． 故选：C 4（2024·湖北·模拟预测）不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组（    ） A．560 B．455 C．91 D．55 【答案】B 【分析】在都加上1，把问题转化成方程有正整数解的问题解决. 【详解】设，，， 则不等式有多少组非负整数解的问题，转化为：的正整数解的组数. 因为方程：的解的组数为：； 的解的组数为：； … 的解的组数为：. 所以原不等式解的组数为： . 故选：B 【点睛】结论点睛：方程（且）正整数解的组数为. 角度2 有限制的组合问题 【典题1】 （2025·全国·专练）从7名男生和5名女生中选出4人去参加一项比赛． (1)若男生甲和女生乙必须参加，则有多少种选法？ (2)若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？ (3)若女生至少要有2人参加，则有多少种选法？ 【答案】(1)45 (2)455 (3)285 【分析】（1）在剩下的10人中任选2人即可； （2）从所有12人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况. （3）分成女生有2人男生2人，女生有3人男生1人，女生有4人. 【详解】（1）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的10人中任选2人，有种选法； （2）如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法. （3）若女生至少要有2人参加，则分成女生有2人男生2人，女生有3人男生1人，女生有4人. 女生有2人男生2人，有种选法； 女生有3人男生1人，有种选法； 女生有4人，有种选法； 则共有种选法. 【巩固练习】 1. （2024·河南·二模）将甲，乙等5人全部安排到四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至少安排1人，且甲，乙都不能去工厂，则不同的安排方法有（    ） A．72种 B．108种 C．126种 D．144种 【答案】C 【分析】利用分类加法计数原理，结合分组分配问题和排列组合知识求解． 【详解】由题意可知，分两种情况讨论， ①工厂安排1人，有种， ②工厂安排2人，有种， 所以不同的安排方法有种． 故选：C． 2（2025·全国·专练）在空间直角坐标系中，已知点，若，，，且，则满足条件的点共有（    ） A．15个 B．20个 C．35个 D．56个 【答案】D 【分析】根据讨论是否相等，结合组合数运算求解. 【详解】若，则满足条件的点共有个； 若中只有2个相等，可知或，则满足条件的点共有个； 若互不相等，则满足条件的点共有个； 综上所述：满足条件的点共有个. 故选：D. 3如图，已知图形，内部连有线段．图中矩形总计有（    ）个． A．75 B．111 C．102 D．120 【答案】C 【分析】 由题意转化为条件为从竖线中选出两条，横线中选出两条组成图形，按照矩形的边不在上和在上两种情况讨论，利用分步乘法和组合的知识求解即可. 【详解】由题意，要组成矩形应从竖线中选两条、横线中选两条，可分两种情况： 当矩形的边不在上时，共有个， 当矩形的边在上时，共有个， 所以图中矩形总计有个. 故选：C. 4（2025·全国·专练）正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有几条（    ） A．36 B．21 C．12 D．6 【答案】B 【分析】先找到与平面平行的平面，利用面面平行的定义即可得到. 【详解】考虑与平面平行的平面，平面，平面， 共有， 故选：B. 【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题. 【题型3】 排列组合的综合问题 角度1 均匀分组问题 【典题1】 为提高教学质量，教育厅派6位教研员，平均分成3组，去某地3所重点高中调研，且甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排方案有（    ）种． A．66 B．72 C．85 D．96 【答案】B 【分析】 首先不考虑甲、乙两位教研员利用平均分组分配问题的方法求出总安排数，再减去甲、乙两位教研员去同一所高中的情况. 【详解】依题意若不考虑甲、乙两位教研员则有种安排方法， 若甲、乙两位教研员去同一所高中则有种安排方法， 综上可得不同的调研安排方案有种. 故选：B 【巩固练习】 1. 将4个不同的小球平均放入2个不同的盒子中，有多少种不同的放法？（    ） A．6 B．12 C．3 D．16 【答案】A 【分析】根据平均分组的方法即可得到答案. 【详解】由题意根据先分组再排列知共有种， 故选：A. 2（2025·全国·专练）奥运会足球预选赛亚洲区决赛（俗称九强赛），中国队和韩国队是其中的两支球队．现要将9支球队随机平均分成3组进行比赛，则中国队与韩国队分在同一组的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由组合与古典概型公式求解 【详解】由题意得9支球队平均分成3组共有种， 若中国队与韩国队分在同一组，则有种， 故所求概率为， 故选：A 角度2 不均匀分组问题 【典题1】 （2025·全国·专练）6名大学生分配到4所学校实习，每名大学生只分配到一所学校，每所学校至少分配1名大学生，则不同的分配方案共有（    ） A．65 B．1560 C．2640 D．4560 【答案】B 【分析】先将6名大学生分四组，再将四组对应到四个学校，计算可得最后方案种数. 【详解】分两种情况： 把6名大学生分为3，1，1，1四组，有种分法，再将4组对应四个学校， 有种情况，由分步乘法计数原理得，共有种安排方法； 把6名大学生分为2，2，1，1四组，有种分法，再将4组对应四个学校， 有种情况，由分步乘法计数原理得，共有种安排方法； 综上，不同的分配方案共有种. 故选：B. 【巩固练习】 1. （2024·陕西铜川·模拟预测）小张同学喜欢吃4种不同品种的奶糖，她有5个不同颜色的塑料袋，每个袋子中至少装1种奶糖．小张同学希望任意两个袋子所包含奶糖种类不完全相同，且每一种奶糖均要在两个袋子中出现，那么不同的方案数为（    ） A．3000 B．3360 C．1440 D．1560 【答案】A 【分析】根据已知先分类讨论再排列得出结果. 【详解】依次记四种奶糖为，则每个字母出现2次，先分堆． 若是“”，则其中的“4”必须是，故有1种可能； 若是“”，则考虑，故有种可能； 若是“”，则考虑，故有种可能， 所以不同的方案数为种． 故选:A． 2（2024·四川南充·模拟预测）距高考30天之际，高三某班级五位同学打算利用周末亲近大自然，陶冶情操，释放压力.这五位同学准备星期天在凌云山景区，印象嘉陵江湿地公园，西山风景区三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（   ） A．18 B．36 C．48 D．32 【答案】B 【分析】先根据甲乙选的景点其他人是否选分成两类情况，①无人再选，按照分组计算方法数；②还有人选，按照部分平均分组计算方法数.最后用分类加法原理计算总的方法数即可. 【详解】若甲乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：的选法总数为：， 若甲乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：的选法总数为：， 所以不同的选法总数为: . 故答案为：36. 3（2025·全国·专练）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（ ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求解. 【详解】先将五门课程分成3,1,1和2,2,1这样两种情况，再安排到三个学年中， 则共有种选修方式 故选：A 4（2025·全国·专练）某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（    ） A．72种 B．114种 C．120种 D．144种 【答案】B 【分析】由题意问题可分为不考虑甲、乙是否在同一天值班和甲、乙在同一天值班两种情况，，两种情况分别用分组分配方法求解即可. 【详解】不考虑甲乙是否同一天加班的特殊情况，5位员工安排在3天加班， 可分为与两种情况， ①：；②：，共有150种情况． 若甲、乙在同一天加班，分他们都在2人组和都在3人组两种情况， ①都在2人组：；②都在3人组：， 考虑两人的特殊要求之后，共有（种）不同的值班安排方法． 故选：B 角度3 代数问题 【典题1】 （2024·安徽马鞍山·模拟预测）数列共有项，且，，，则这样的数列有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据题目该数列相邻两项之差或，因为，已确定，所以只需先判断到相邻两项之差有几个和几个及其排列方法数，就能对应得到中间七项可能的排列方法数. 计算可得相邻两项之差中有个和个，利用排列组合可得. 【详解】设，因为，所以或. 可设，…，中有个2和个, 则，解得，， 即，…，中有个和个，因此这样的数列共有个. 故选：A 【巩固练习】 1. （2024·河南商丘·模拟预测）已知，且，则在空间直角坐标系中，对应的点的个数为（   ） A．48 B．24 C．12 D．6 【答案】B 【分析】根据坐标的特点确定元素取值情况，再根据排列组合计数即可得结论. 【详解】已知，且， 则在或里取一个值，或里取一个值，必取值， 故符合的取法对应的点的个数为. 故选：B. 2（2025·全国·专练）在数学中，自然常数.小明打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.如果排列时要求2不排第一个，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（    ） A．48 B．36 C．32 D．30 【答案】B 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①排在第一位；②不排在第一位    .由加法计数原理计算即可. 【详解】根据题意，分两种情况： ①排在第一位，则第二位也是，再从剩下个位置选出个，安排两个，最后安排和，此时有个不同的密码； ②不排成第一位，则第一位安排或，将两个看成一个整体，与两个和7或中剩下的数排列，此时有个不同的密码； 则一有个不同的密码. 故选： 3（2025·全国·专练）集合，从集合中各取一个数，能组成（  ）个没有重复数字的两位数？ A．52 B．58 C．64 D．70 【答案】B 【分析】分当集合中选取的元素为或2时，当集合中选取的元素为，且集合中选取的元素为时，当集合中选取的元素为，且集合中选取的元素为时，三种情况讨论，结合两种计数原理即可得解. 【详解】解：根据题意分三种情况讨论， 当集合中选取的元素为或2时，集合中的元素都可以选，有种选法， 再将选取的两个元素全排列有种情况， 则此时可以组成个没有重复数字的两位数； 当集合中选取的元素为，且集合中选取的元素为时，有种选法， 再将选取的两个元素全排列有种情况， 则此时可以组成个没有重复数字的两位数； 当集合中选取的元素为，且集合中选取的元素为时，有种选法， 则此时可以组成个没有重复数字的两位数； 则一共有个没有重复数字的两位数. 故选：B. 4（2025·全国·专练）已知实数，将这7个数适当排列成一列数，满足，则满足要求的排列的个数为（    ） A．58 B．71 C．85 D．96 【答案】B 【分析】根据题意，都比大，所以可能取或，分，和三类进行讨论. 【详解】根据题意，都比大，所以可能取或， 当时，有种选法，剩余数字中最大， 有种选法，最后剩下一个就是，共有种， 当时，，有种选法，剩余数字中最大， 而，有种选法，共有种， 当时，，，有种选法， 剩余数字，只有1种，共有种， 则满足要求的排列的个数为种. 故选：B 5（2025·全国·专练）设集合，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．232 B．144 C．184 D．252 【答案】A 【分析】分析可得可得或或，分三种情况讨论，结合组合数应用即可得结论. 【详解】由题意可得或或， 下面分三种情况讨论： （1），此时中有一项为，其余均为， 且的情况为一个，或一个， 故此时集合中元素的个数为； （2），此时中有两项为，其余均为， 且的情况为两个，或者两个，或者一个和一个， 故此时集合中元素的个数为； （3），此时中有三项为，其余均为， 且的情况为三个，或者两个和一个，或者一个和两个，或者三个， 故此时集合中元素的个数为； 综上可得集合中的元素的个数为. 故选：A. 6（2025·浙江·模拟预测）有6张卡片分别写有数字1，1，1，2，3，4，从中任取4张，可排出不同的四位数的个数是 .(用数字作答) 【答案】72 【分析】按构成的四位数中含数字1的个数分类求解即得. 【详解】完成构成四位数这件事有分三类： 四个数字中有1个“1”：共有个； 四个数字中有2个“1”：共有； 四个数字中有3个“1”：共有， 由加法计数原理得排出不同的四位数的个数是24+36+12=72个. 故答案为：72 【点睛】思路点睛：解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 角度4 几何问题 【典题1】 某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面（有公共棱的两个面）所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（   ） A．600种 B．1080种 C．1200种 D．1560种 【答案】D 【分析】分三类：用5种、4种、3种颜色涂在5个面上，再由分步计数及排列组合数求不同的涂色方案. 【详解】若用5种颜色，从6种颜色任选5种再作全排，即种； 若用4种颜色，从6种颜色任选4种有种， 再任选一种颜色涂在其中一组对面上有种，其它3种颜色作全排有， 所以，共有种； 若用3种颜色，从6种颜色任选3种有种， 再任选两种颜色涂在两组对面上种，余下的一种颜色涂在底面有1种， 所以，共有种； 综上，不同的涂色方案有种. 故选：D 【巩固练习】 1. （2024·全国·模拟预测）如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由排列组合以及分类加法计数原理求解个数，即可由古典概型概率公式求解. 【详解】使用4种颜色给四个区域涂色，有种涂法； 使用3种颜色给四个区域涂色，共有种涂法； （使用3种颜色给四个区域涂色有两类情况：①区域A与区域C涂同一种颜色，区域B与区域D涂另外2种颜色； ②区域B与区域D涂同一种颜色，区域A与区域C涂另外2种颜色） 使用2种颜色给四个区域涂色，共有种不同的涂法． 所以所有的涂色方法共有（种），故使用2种颜色给四个区域涂色的概率为． 故选：B 2（2025·全国·专练）如图所示，甲､乙两人同时出发，甲从点到，乙从点到，且每人每次都只能向上或向右走一格.则甲､乙的行走路线没有公共点的概率为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出甲从点到，乙从点到总的路径的对数，再计算甲从点到，乙从点到的相交路径的对数，其等于甲从点到，乙从点到相交路径的对数，进而可得甲､乙的行走路线没有公共点的路径的对数，再由古典概率公式即可求解. 【详解】首先考虑甲从点到，乙从点到总的路径的对数， 甲从点到，需要向上走步，向右走步，共步，所以甲从点到有种方法； 乙从点到，需要向上走步，向右走步，共步，所以乙从点到有种方法； 由分步乘法计数原理可知：甲从点到，乙从点到，有种方法； 下面计算甲从点到，乙从点到的相交路径的对数， 证明：甲从点到，乙从点到相交路径的对数等于甲从点到，乙从点到相交路径的对数， 事实上，对于甲从点到，乙从点到的每一组相交路径，他们至少有一个交点，如图，设从左到右，从下到上的第一个交点为点，如图，实线路径表示甲从到的路径，虚线路径表示乙从点到的路径，将点以后的实线路径改为虚线，虚线路径改为实线，就得到一组甲从点到，乙从点到相关路径，如图， 反之，对于甲从点到，乙从点到的任意一组相交路径，也都可以用同样的方法将之变换成甲从到，乙从点到的一组相交路径，即这两者之间的相交路径是一一对应的，又因为甲从点到，乙从点到的任意一组路径都是相交路径，所以甲从点到，乙从点到共有种方法； 所以甲､乙的行走路线没有公共点的有种方法； 甲､乙的行走路线没有公共点的概率为， 故选：C 【题型4】 排列数和组合数的性质及应用 角度1 排列数和组合数的计算 【典题1】 （2025·全国·专练）（1）解方程: （2）计算 （3）解不等式. 【答案】（1）10；（2）252；（3）或. 【分析】（1）（2）（3）根据排列数及组合数解方程及不等式，应用组合数性质计算求值. 【详解】（1）因为 所以, 又因为，所以，解得. （2）由 . （3）因为所以      因为，所以，即 ，解得， 所以，又，所以或. 【巩固练习】 1. （2024·辽宁沈阳·模拟预测）化简式子：的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题将复杂的组合问题转化为“从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和”模型，等价于“从装有球中取出个球的不同取法数”,即可解决. 【详解】表示： 从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和. 又从装有球中取出个球的不同取法数. 所以， 所以 故选：C. 2（2024·湖北武汉·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据组合数公式可得，结合二项式系数和的性质计算得解. 【详解】∵ ，其中， ∴ . 故选：B. 3（2024·河南商丘·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用组合数公式可得，再求和并结合二项式系数的性质求出，然后赋值即得. 【详解】依题意， ， 则 ， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：正确掌握并运用组合数公式及阶乘的运算性质是解决本题的关键. 角度2 与排列数和组合数有关的恒等式证明 【典题1】 （2025·全国·专练）利用组合数的意义证明：． 【答案】证明见解析 【分析】设有n+1个不同元素将看成从n+1个元素中取出m+1个不同元素的取法数，另一方面，分类讨论：若取，则有种取法，若不取，取出，则有种取法，若不取取出则有种取法，…，若不取取出则有种取法，求和即可证明. 【详解】设有n+1个不同元素从这n+1个元素中取出m+1个不同元素的取法有种． 另一方面，我们也可将这些取法分类考虑如下： 若取，则有种取法， 若不取，取出，则有种取法， 若不取取出则有种取法，…， 若不取取出则有种取法， 所以取法种数又等于，即，因此原式成立． 【巩固练习】 1. （2025·全国·专练）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据组合数的运算性质即可求证. 【详解】因为左边 右边. 所以. 2（2025·全国·专题练习）求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，结合组合数的运算公式，准确化简，即可求解. 【详解】证明：由组合数的运算性质，可得： . 3（2025·全国·专练）求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，化简得到 ，即 ，结合累加法，进而得证. 【详解】证明：因为， 所以 又因为 所以 ，即，且 可得 5（2024·山东日照·模拟预测）如图所示数阵，第行共有个数，第行的第1个数为，第2个数为，第个数为．规定：．                                                 (1)试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论； (2)求证：每一行的所在数之和等于下一行的最后一个数； 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）第一行最后两数，第二行最后两数，第行的第个数为，第个数为，猜测，利用组合数公式能证明每行最后两个数相等． （2）根据组合数的性质，求出第行的个数之和为，利用第行倒数第二个数为，能证明每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数． 【详解】（1）第1行最后两数，第2行的最后两数． 第行的第个数为，第个数为， 猜测：． 法一 即证：， 只需要证明， 只要证明，该式显然成立， 所以， 所以每行最后两个数相等． 法二 因为 ； 又因为 ． 即：． 所以每一行的最后两个数相等． （2）第1行所有数之和为，第2行的最后一个数为，此时结论成立． 因为， 第行的个数之和为： ． 而第行倒数第二个数为， 由（1）得每行最后两个相等，所以结论得证． 1（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 2（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【答案】64 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$