第01讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(讲义)- 2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第01讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ① 分类加法计数原理 做一件事情，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法. ② 分步乘法计数原理 做一件事情，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法. ③ 分类计数原理、分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事. 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． Eg 小芳要去，衣柜里有3件连衣裙、4件上衣和5件裙子，那她有多少种搭配的方式去呢？显然是种方式. 【题型1】 分类加法计数原理的应用 【典题1】 （2023·广东广州·模拟预测）小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，则小明一共有（    ）种练习的方案. A．31 B．18 C．21 D．33 【巩固练习】 1. （2024·全国·模拟预测）从1至7这7个整数中随机取出3个不同的数，则它们的积与和都是3的倍数的不同取法有（    ） A．9种 B．12种 C．20种 D．30种 2（2022·四川成都·模拟预测）如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B单位时间内传递的最大信息量为（    ）    A．26 B．24 C．20 D．19 3（2024·江西赣州·二模）由0和1组成的序列称为0－1序列，序列中数的个数称为这个序列的长度，如01011是一个长度为5的0－1序列，在长度为8的0－1序列中，所有1互不相邻的序列个数为（    ） A．20 B．54 C．55 D．280 【题型2】 分步乘法计数原理的应用 【典题1】 （2024·河南郑州·模拟预测）已知，，则满足方程的解的个数为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2025·广东深圳·模拟预测）某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 2（2024·安徽芜湖·模拟预测）“三湖一坝”生态湿地位于芜湖市弋江区火龙街道境内，湖泊总面积约为4平方公里，包括黑沙湖、南塘湖、孤山湖、高村坝四个重要的水体资源，共计5800亩，公园总面积为7.08平方公里．为了响应国家的“绿水青山就是金山银山”生态发展理念，现计划将草鱼、鳙鱼、鲢鱼这三类鱼投放到四片水域养殖（三类鱼均需养殖），且每块水域仅养殖两种不同的鱼，则共有养殖方案（    ） A．78种 B．80种 C．81种 D．24种 3（2024·山东泰安·模拟预测）某市人民医院急诊科有名男医生和名女医生，内科有名男医生和名女医生，现从该医院急诊科和内科各选派名男医生和名女医生组成人组，参加省人民医院组织的交流会，则所有不同的选派方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 4（2022·河南安阳·模拟预测）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹一样多的概率为（    ） A． B． C． D． 5（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）用代表红球，代表蓝球，代表黑球， 由加法原理及乘法原理， 从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 的展开式 表示出来， 如： “ 1 ” 表示一个球都不取、“ ”表示取出一个红球， 而 “ ” 表示把红球和蓝球都取出来， 以此类推， 下列各式中， 其展开式可用来表示从 3 个无区别的红球、 3 个无区别的蓝球、 2 个有区别的黑球中取出若干个球， 且所有蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】 两个计数原理的综合应用 角度1 与数值有关的问题 【典题1】 （2024·河北·模拟预测）用能组成没有重复数字且比32000小的数字（    ）个. A．212 B．213 C．224 D．225 【巩固练习】 1. （2024·陕西西安·三模）方程的非负整数解的组数为（    ） A．40 B．28 C．22 D．12 2（2024·河南信阳·模拟预测）从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（    ） A．12个 B．10个 C．8个 D．7个 3从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有（  ）个． A．24 B．30 C．36 D．60 角度2 与几何有关的问题 【典题1】 （2025·全国·专题练习）对于正方体6个面的中心，甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率等于（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2024·辽宁沈阳·一模）如图，小明从街道的处出发，到处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（    ）    A．8 B．12 C．16 D．24 2（2025·全国·专题练习）从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（    ）. A．105种 B．225种 C．315种 D．420种 3（2025·全国·模拟预测）如下图所示，边长为a的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构.若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后重合的视为同一种）（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 4（2025·全国·专题练习）过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（    ） A．18 B．30 C．36 D．54 角度3 涂色问题 【典题1】 （2024·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种． 【巩固练习】 1. （2023·湖南·三模）用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色.在所有着色方案中，①③⑤着相同色的有（    ） A．96种 B．24种 C．48种 D．12种 2用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（    ） A．120 B．72 C．48 D．24 3（2025·全国·专题练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 4（2023·四川资阳·模拟预测）某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有（    ） A．360种 B．420种 C．480种 D．540种 角度4 其他问题 【典题1】 （2024·安徽合肥·模拟预测）2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是三位同学，但不是第一名，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【巩固练习】 1. （2024·浙江宁波·二模）某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过5个转运环节，其中第1，2两个环节各有两种运输方式，第3，4两个环节各有两种运输方式，第5个环节有两种运输方式.则快件从甲送到乙恰用到4种运输方式的不同送达方式有 种. 2（2024·吉林·模拟预测）“冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达有 种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，记，则 （结果用表示）. 3（2024·江苏扬州·模拟预测）将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为，则的概率为（    ） A． B． C． D． 1（2023·全国·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 2（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ① 分类加法计数原理 做一件事情，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法. ② 分步乘法计数原理 做一件事情，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法. ③ 分类计数原理、分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事. 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． Eg 小芳要去，衣柜里有3件连衣裙、4件上衣和5件裙子，那她有多少种搭配的方式去呢？显然是种方式. 【题型1】 分类加法计数原理的应用 【典题1】 （2023·广东广州·模拟预测）小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，则小明一共有（    ）种练习的方案. A．31 B．18 C．21 D．33 【答案】B 【分析】根据练习唱歌的课间个数进行分类讨论，利用列举法来求得正确答案. 【详解】七个课间编号为， 如果仅有一个课间练习，则每个课间都可以，有7种方案， 若有两个课间练习，选法有， 共种方案， 三个课间练习，选法为，共种， 故总数为种. 故选：B 【巩固练习】 1. （2024·全国·模拟预测）从1至7这7个整数中随机取出3个不同的数，则它们的积与和都是3的倍数的不同取法有（    ） A．9种 B．12种 C．20种 D．30种 【答案】B 【分析】 根据题意分3个不同的数中不含3和6，取出的3个不同的数中含有3不含有6，取出的3个不同的数中含有6不含有3，取出的3个不同的数中含有3和6时四种情况研究即可. 【详解】 ①当取出的3个不同的数中不含3和6时，显然它们的积不可能是3的倍数，不符合题意； ②当取出的3个不同的数中含有3不含有6时，它们的积一定是3的倍数， 但只有当另外2个数是，，，，，时， 它们的和才是3的倍数，共有6种取法；、 ③当取出的3个不同的数中含有6不含有3时，它们的积一定是3的倍数， 但只有当另外2个数是，，，，，时， 它们的和才是3的倍数，也有6种取法； ④当取出的3个不同的数中含有3和6时，它们的积一定是3的倍数， 但它们的和一定不是3的倍数，不符合题意． 综上，它们的积与和都是3的倍数的不同取法有（种）， 故选：B． 2（2022·四川成都·模拟预测）如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B单位时间内传递的最大信息量为（    ）    A．26 B．24 C．20 D．19 【答案】D 【分析】根据题意，结合图形得出从A到B传播路径有4条，写出每条途径传播的最大信息量，再求和，即得答案． 【详解】解：根据题意，结合图形知， 从A到B传播路径有4条，如图所示；    途径①传播的最大信息量为3，途径②传播的最大信息量为4； 途径③传播的最大信息量为6，途径④传播的最大信息量为6； 所以从A向B传递信息，单位时间内传递的最大信息量为， 故选：D． 3（2024·江西赣州·二模）由0和1组成的序列称为0－1序列，序列中数的个数称为这个序列的长度，如01011是一个长度为5的0－1序列，在长度为8的0－1序列中，所有1互不相邻的序列个数为（    ） A．20 B．54 C．55 D．280 【答案】B 【分析】根据给定条件，按1的个数分类，再依次计算作答. 【详解】当长度为8的0－1序列中，若有一个1，则有种； 当长度为8的0－1序列中，若有两个1，则有种； 当长度为8的0－1序列中，若有三个1，则有种； 当长度为8的0－1序列中，若有四个1，则有种； 当长度为8的0－1序列中，若有超过四个1，一定不满足题意； 所以共有种. 故选：B 【题型2】 分步乘法计数原理的应用 【典题1】 （2024·河南郑州·模拟预测）已知，，则满足方程的解的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，又，结合分步乘法计数原理求结论. 【详解】由题设，得， 又，其中都为质数， 所以， 因为x，，所以可能为，，， 所以的取值个数为， 方程的整数解的个数为． 故选：B． 【巩固练习】 1. （2025·广东深圳·模拟预测）某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】A 【分析】从A类语言4个中任选一个，从E类语言5个中任选一个，由分步乘法计数原理可得答案. 【详解】第三语言可从A类语言4个中任选一个，有4种方法， 第四语言可从E类语言5个中任选一个，有5种方法， 所以共有种. 故选：A. 2（2024·安徽芜湖·模拟预测）“三湖一坝”生态湿地位于芜湖市弋江区火龙街道境内，湖泊总面积约为4平方公里，包括黑沙湖、南塘湖、孤山湖、高村坝四个重要的水体资源，共计5800亩，公园总面积为7.08平方公里．为了响应国家的“绿水青山就是金山银山”生态发展理念，现计划将草鱼、鳙鱼、鲢鱼这三类鱼投放到四片水域养殖（三类鱼均需养殖），且每块水域仅养殖两种不同的鱼，则共有养殖方案（    ） A．78种 B．80种 C．81种 D．24种 【答案】A 【分析】先求出每一片水域投掷两种不同鱼的方法数，再排除四片水域只养殖两种不同的鱼的方法，即可得出结果. 【详解】先求出每一片水域投掷两种不同鱼的方法数为，则四片水域每块水域仅养殖两种不同的鱼的方法数为， 四片水域只养殖两种不同的鱼的方法数为种， 所以所求的方法数为种方法. 故选：A 3（2024·山东泰安·模拟预测）某市人民医院急诊科有名男医生和名女医生，内科有名男医生和名女医生，现从该医院急诊科和内科各选派名男医生和名女医生组成人组，参加省人民医院组织的交流会，则所有不同的选派方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】由分步乘法计数原理可求结论. 【详解】从急诊科选派名男医生和名女医生有 种方案， 从内科选派名男医生和名女医生有 种方案， 根据分步乘法计数原理，共有 种不同的选派方案. 故选:A. 4（2022·河南安阳·模拟预测）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹一样多的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出一共摆出的两位数的个数，再求出个位和十位上的算筹一样多的两位数的个数，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式， 共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种， 个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种， 个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种， 共有种，所以个位和十位上的算筹一样多的概率为. 故选：C 5（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）用代表红球，代表蓝球，代表黑球， 由加法原理及乘法原理， 从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 的展开式 表示出来， 如： “ 1 ” 表示一个球都不取、“ ”表示取出一个红球， 而 “ ” 表示把红球和蓝球都取出来， 以此类推， 下列各式中， 其展开式可用来表示从 3 个无区别的红球、 3 个无区别的蓝球、 2 个有区别的黑球中取出若干个球， 且所有蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三步处理问题，分别表示出取红球、篮球、黑球的表达式，相乘即可求得. 【详解】第一步，从3个无区别的红球中取出若干球， 则有； 第二步，从3个无区别的蓝球中都取出或都不取出，要满足题意， 只有； 第三步，从2个有区别的黑球中取出若干个， 则有. 根据分步计数原理，则要满足题意的取法有： . 故选：A. 【题型3】 两个计数原理的综合应用 角度1 与数值有关的问题 【典题1】 （2024·河北·模拟预测）用能组成没有重复数字且比32000小的数字（    ）个. A．212 B．213 C．224 D．225 【答案】D 【分析】先对数字位数分类讨论，在对五位数的首位数字进行分类讨论：①首位为1，2；②首位为3.然后分析千位数的选取，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果. 【详解】分数字位数讨论： 一位数5个； 两位数有个； 三位数有个； 四位数有个； 五位数分以下两种情况讨论： ①首位数字为1或2，此时共有个； ②首位数字为3，则千位数从0或1中选择一个，其余三个数位任意排列， 此时共有个. 综上所述，共有个比小的数. 故选：D. 【巩固练习】 1. （2024·陕西西安·三模）方程的非负整数解的组数为（    ） A．40 B．28 C．22 D．12 【答案】A 【分析】将分解质因数，即可求出的因数的个数，从而得解. 【详解】因为，所以的因数有个， 故方程的非负整数解的组数为40． 故选：A 2（2024·河南信阳·模拟预测）从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（    ） A．12个 B．10个 C．8个 D．7个 【答案】B 【分析】根据能被5整除的数的特征，分类讨论，结合排列组合即可求解. 【详解】能被5整除的三位数末位数字得是0或5， 当末位数字为0时，此时有个符合条件的三位数， 当末位数字为5时，此时有个符合条件的三位数， 因此一共有个， 故选：B 3从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有（    ）个． A．24 B．30 C．36 D．60 【答案】B 【分析】考虑选出的3个数中有没有0的情况，有0时再考虑0的排法，根据分类加法原理，即可求得答案. 【详解】若从0，1，2，3，4中选出3个数中没有0， 则组成各位数字不重复的三位偶数有个； 若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0排在个位， 则组成各位数字不重复的三位偶数有个； 若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0不在个位， 则组成各位数字不重复的三位偶数有个； 故从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数， 这样的数有个， 故选：B 角度2 与几何有关的问题 【典题1】 （2025·全国·专题练习）对于正方体6个面的中心，甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线的所有结果的个数，再确定所得两条直线相互垂直的选法数，利用古典概型概率公式求概率. 【详解】因为从正方体6个面的中心中任取两点连成直线，可得条直线， 如图所示： 设正方体的边长为2，则， ，, , 由正方体性质可得平面,平面,平面, 四边形,四边形，四边形均为正方形， 故当甲选时,乙选或或或或或时，甲，乙所选的点的连线垂直， 甲选时，乙选或或时，甲，乙所选的点的连线垂直， 所以甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线共有种选法， 所以甲选相对两个面的中心时，甲乙所选的点的连线垂直的选法有种， 若甲选相邻两个侧面的中心时，满足甲乙所选的点的连线垂直的选法有种， 故甲，乙所选的点的连线垂直的选法共有54种， 所以事件甲乙所选的点的连线垂直的概率, 故选：A. 【巩固练习】 1. （2024·辽宁沈阳·一模）如图，小明从街道的处出发，到处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（    ）    A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】D 【分析】根据分步分类计数原理即可求解. 【详解】中途共三次转向可以分为两类: 第一类，第一次向右转，第二次向上转，第三次向右转，此时有种方法， 第二类，第一次向上转，第二次右转，最后向上转，此时共有种方法. 故总的方法有24种， 故选：D. 2（2025·全国·专题练习）从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（    ）. A．105种 B．225种 C．315种 D．420种 【答案】C 【分析】首先选取一个点作为钝角顶点，并该点与圆心连线将其余14个顶点分成左右各7个：在左侧选取一个点作为第二顶点，依次选取右侧7个点作为第三顶点判断三角形形状，依此步骤即可得当前钝角顶点下的钝角三角形个数，最后乘以15即可得结果. 【详解】如图所示，以A为钝角顶点，在直径的左边取点，右边依次取，得到6个钝角三角形，当取时，△为锐角三角形； 同理，直径的左边取点，右边依次取，得到5个钝角三角形，当取，时，△、△为锐角三角形； …… 在直径的左边取点时，得到一个钝角△， 在直径的左边取点时，没有钝角三角形. 故以A为钝角顶点的三角形共有（个）. 以其余14个点为钝角顶点的三角形也各有21个， 所以总共有（个）钝角三角形. 故选：C 3（2025·全国·模拟预测）如下图所示，边长为a的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构.若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后重合的视为同一种）（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】结合题意，根据分类加法原理分类讨论即可. 【详解】不妨设正方体的边长为1，记红黄蓝三种颜色为a，b，c， 我们首先假设正方体的一对对顶点是在和，若将染成色， 那么，，三个点必然都是色， 而，，必然都是色．如此递推可以恰好染完整个正方体. 而当色固定的时候通过旋转就可以得到互换的正方体. 从而只有三种不同的方案，也就是将面的中间分别染上红黄蓝三种颜色. 故选：A 4（2025·全国·专题练习）过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（    ） A．18 B．30 C．36 D．54 【答案】C 【解析】根据题意，分棱柱侧棱与底面边、棱柱侧棱与侧面对角线、底面边与侧面对角线、底面边与底面边、侧面对角线与侧面对角线五类依次计数即可得答案. 【详解】解：如图，分以下几类： 棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有：对； 棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对； 底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对； 底面边与底面边之间所构成的异面直线有：对； 侧面对角线与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对； 所以共有对. 故选：C. 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，异面直线的判断，分类加法计数原理，解题的关键在于根据题意合理分类，做到不重不漏，进而解决，是难题. 角度3 涂色问题 【典题1】 （2024·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种． 【答案】A 【分析】满足条件的涂色方案可分为区域同色，且和其它区域不同色和区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可 【详解】满足条件的摆放方案可分为两类， 第一类区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案， 满足条件的方案可分四步完成， 第一步，先摆区域有种方法， 第二步，摆放区域有3种方法， 第三步，摆放区域有2种方法， 第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法， 由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案， 第二类，区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案， 满足条件的方案可分四步完成， 第一步，先摆区域有种方法， 第二步，摆放区域有3种方法， 第三步，摆放区域有2种方法， 第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法， 由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案， 根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有种， 故选：A. 【巩固练习】 1. （2023·湖南·三模）用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色.在所有着色方案中，①③⑤着相同色的有（    ） A．96种 B．24种 C．48种 D．12种 【答案】B 【分析】根据分步计数原理计算即可. 【详解】因为①③⑤着相同的颜色，可以有种，②④⑥按要求可随意着与①③⑤不同色的另外两种颜色，故有种，所以共有24种. 故选：B 2用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（    ） A．120 B．72 C．48 D．24 【答案】A 【分析】利用两个计数原理，先分类再分步即可求解． 【详解】先涂，有4种选择，接下来涂，有3种选择，再涂,有2种选择， ① 当,颜色相同时涂色方法数是：， ② 当,颜色不相同时涂色方法数是：， 满足题意的涂色方法总数是：． 故选：A． 3（2025·全国·专题练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】确定区域，，，的颜色，分区域与区域涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答案. 【详解】由题意可得，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色． 先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择， 当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择； 当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择， 故不同的涂色方案有种． 故选：B． 4（2023·四川资阳·模拟预测）某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有（    ） A．360种 B．420种 C．480种 D．540种 【答案】D 【分析】利用要求根据区域依次讨论计算即可. 【详解】如图，先在区域A布置花卉，有5种不同的布置方案，再在区域E布置花卉，有4种不同的布置方案， 再在区域D布置花卉，有3种不同的布置方案． 若区域B与区域E布置同一种花卉，则区域C有3种不同的布置方案； 若区域B与区域E布置不同的花卉，则区域B有2种不同的布置方案，区域C有3种不同的布置方案． 故不同的布置方案有种． 故选：D 角度4 其他问题 【典题1】 （2024·安徽合肥·模拟预测）2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是三位同学，但不是第一名，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】先排，再排和，对进行分类，可排6，7，8位，最后根据的情况再排。 【详解】第一步排有两种可能：第2名或第5名； 第二步排和有两种可能； 第三步排和，有6，7，8位三种可能； 当为第6名时，有7，8，9名三种可能， 当为第7名时，有8，9名两种可能， 当为第8名时，只有第9名一种可能， 所以第三步的总数为种； 根据分类计数原理，所有名次排位的总数种。 故选：C 【巩固练习】 1. （2024·浙江宁波·二模）某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过5个转运环节，其中第1，2两个环节各有两种运输方式，第3，4两个环节各有两种运输方式，第5个环节有两种运输方式.则快件从甲送到乙恰用到4种运输方式的不同送达方式有 种. 【答案】16 【分析】根据题意，1，2，3，4个环节必须包含三种不同的运输方式，分为若第1，2个环节运输方式相同，和第1，2个环节运输方式不相同两类，分类分步研究可解. 【详解】快递从甲送到乙有4种运输方式，且第5个环节从d，e两种运输方式中选一种， 1，2，3，4个环节必须包含三种不同的运输方式， 若第1，2个环节运输方式相同，则只能都选，则3，4个环节一个选，一个选， 则有种， 若第1，2个环节运输方式不相同，则已经包含两种运输方式， 则3，4个环节一个选，一个选，或者都选， 则由种， 快递从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有种. 故答案为：16． 2（2024·吉林·模拟预测）“冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达有 种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，记，则 （结果用表示）. 【答案】 8 【分析】结合题意及分类加法原理，依次计算到达、、、、的走法即可.由题意可知数列为斐波那契数列，即（且），结合累加法求解即可. 【详解】由题意知，到达点共有1种走法， 到达点共有种走法（一种是经过点到达，一种是直接到达）， 到达点共有种走法（一种是经过，一种是经过，所以到达将、的走法加起来）， 到达点共有种走法（一种是经过和，一种是经过，所以到达将、的走法加起来）， 到达点共有种走法（一种是经过和，一种是经过和，所以到达将、的走法加起来）， 故按图中所示方向到达有8种不同的打卡路线. 由题意知，，，，，，…，（且）， 因为（且）， 所以，，，…，，（且）， 将上式累加可得，（且）， 整理可得，又，， 所以，即. 故答案为：8；. 3（2024·江苏扬州·模拟预测）将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取定中的一个值，考查另外两次抛掷骰子的样本点数，利用分类加法计数原理和古典概型概率公式计算即得. 【详解】考虑取定的值，分类统计事件“”所含的样本点数，将对应的值作为一个数组，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4） （1,5） （1,6） 2 （2,1） （2,2） （2,3） （2,4） （2,5） （2,6） 3 （3,1） （3,2） （3,3） （3,4） （3,5） （3,6） 4 （4,1） （4,2） （4,3） （4,4） （4,5） （4,6） 5 （5,1） （5,2） （5,3） （5,4） （5,5） （5,6） 6 （6,1） （6,2） （6,3） （6,4） （6,5） （6,6） 第一类：时，满足“”的样本点有个； 第二类：时，满足“”的样本点有个； 第三类：时，满足“”的样本点有个； 第四类：时，满足“”的样本点有个； 第五类：时，满足“”的样本点有个； 第六类：时，满足“”的样本点有1个. 由分类加法计数原理，满足“”的样本点共有：个， 而一颗骰子抛掷一次有6种结果，抛掷三次有个样本点， 因结果有限，且每个样本点发生的可能性相等，故是古典概型. 则“”的概率为. 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题主要考查计数原理和古典概型概率公式的应用，属于较难题. 因同时考虑抛掷三次骰子出现的不同结果较复杂，故可采取取定一次抛掷结果，分析讨论另外两次抛掷结果中符合题意的样本点，即可化繁为简，达到解题的目的. 1（2023·全国·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 2（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$