精品解析：河南省百师联盟2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题

2024-2025学年度高二10月联考 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可得，结合同角三角关系运算求解即可. 【详解】直线的斜率为，即， 可得，且， 又有，可得， 又因为，所以. 故选：D. 2. 已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 0或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行可得，结合向量平行的坐标表示运算求解即可. 【详解】因为，， 若，可知， 则，解得或. 故选：C. 3. 在四面体中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可得解. 【详解】如图， 因为，所以，又， 所以， 又， 所以且，解得：． 故选：A 4. 若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用待定系数法列出关于的方程组即可求解. 【详解】设， 又， ，解得， 即. 所以向量在基底下的斜坐标为. 故选：D. 5. 平行六面体的底面是矩形，其中，且为的交点，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合数量积运算求模长. 【详解】由题意可知：， 则 ，所以，即线段的长为. 故选：C. 6. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用反射原理，先求出点关于直线的对称点的坐标，再求直线的方程即可. 【详解】 如图，设点关于直线的对称点为， 则有，解得，即， 依题意，反射光线即直线，因，则直线的斜率为， 于是反射光线所在的直线方程为，即. 故选：C. 7. 圆与圆的公切线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先由两圆位置关系的判断方法得到两圆外切，再得到公切线条数即可. 【详解】由题意，圆的圆心，半径， 圆化为标准方程为：， 故圆心，半径， 则圆心距， 所以两圆外切，公切线条数为3条. 故选：D. 8. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 D. 过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则 【答案】B 【解析】 【分析】通过将直线方程变形找到定点，再根据圆心到直线的距离与圆半径的关系判断直线与圆的位置关系，结合切线性质，和勾股定理分析判断即可. 【详解】对于A选项，将直线的方程变形为. 令，解方程组，由代入得， 即，解得.所以直线恒过定点，A选项错误. 对于B选项，圆：，圆心，半径. 定点到圆心的距离. 因为定点在圆内部，所以直线与圆有两个交点，B选项正确. 对于C选项，当时，直线的方程为，即. 圆心到直线的距离. . 所以圆上有四个点到直线的距离等于，C选项错误. 对于D选项，对于直线，圆心到直线的距离 .. 当时，，，此式无意义， 因为，最小为圆心到直线恒过定点的距离. ，此式无意义，因为， 实际上，是圆心到直线的最短距离， 这里是圆心到直线恒过定点的距离，，此式无意义， 因为，D选项错误. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件，利用空间向量的坐标运算，求得，再利用模长的计算公式，可判断选项A的正误；利用空间向量平行的坐标表示，可求得，可判断选项B的正误；利用空间向量数量积的坐标运算，可求得，即可判断选项C的正误；利用空间向量夹角的坐标表示，即可求得，从而判断出选项D正确. 【详解】对于选项A，设，因为，则， 所以，解得，所以， 则，所以选项A正确， 对于选项B，，，所以，得到，所以选项B正确， 对于选项C，因为，，所以，又， 则，所以选项C错误， 对于选项D，因为，，则，所以选项D正确， 故选：ABD. 10. 下列说法中错误的是（ ） A. 任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率 B. 若一条直线的斜率为1，则该直线的倾斜角为 C. 直线的斜率越大，倾斜角越大 D. 设，若直线与线段有交点，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据倾斜角和斜率的定义分析判断即可；对于B：根据倾斜角的取值范围即可；对于B：举反例说明即可；对于D：根据直线过定点，由定点与线段上的点所成直线的斜率范围判断. 【详解】对于选项A：由倾斜角的定义可知：任何一条直线都有倾斜角， 但不是所有的直线都有斜率，例如倾斜角时，就没有斜率，故A正确； 对于选项B：因为直线倾斜角，不可能为，故B错误； 对于选项C：例如倾斜角，则对应的斜率为， 即，但，故C错误； 对于选项D：因为直线过定点，斜率为， 则， 由图形可知：或，解得或， 所以的取值范围是，故D错误. 故选：BCD. 11. 如图，在正三棱柱中，分别为的中点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若异面直线和所成的角的余弦值为，则 B. 若，则点到平面的距离为 C. 存在，使得 D. 若三棱柱存在内切球，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题设条件建系，写出相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式求解判断A项，利用点到平面的距离公式计算判断B项，利用向量数量积的结果排除C项，根据内切球的特征求出其半径即可排除D项. 【详解】 如图，过点作的平行线，交于点，则平面， 又，故可分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则.设， 对于A，依题意，， 则，由，即，故A正确； 对于B，依题意，， 设平面的法向量为， 则故可取， 又故点C到平面的距离为，故B正确； 对于C，设，则，， 由可得，与不垂直，即C错误； 对于D，若三棱柱存在内切球，不妨设其半径为，则， 且内切球在底面上的射影是底面三角形的内切圆，故由,解得， 则，故D错误. 故选：AB. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出和的坐标，再由在方向上的投影向量概念，写出计算公式，代入向量坐标计算即得. 【详解】依题意，, 因在方向上的投影向量为， 则由， 可知在方向上的投影向量的坐标为：. 故答案为：. 13. 已知实数满足，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】为线段上的点与点的连线的斜率，画出相应图形，易得即为的最小值，计算即可得. 【详解】为线段（如图中的）上的点与点的连线的斜率， 如图，当点在点时，取最小，此时， 则，即的最小值为. 故答案为：. 14. 已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是__________. ①点和点关于直线对称； ②圆和圆的公共弦长为； ③的取值范围为； ④若为直线上的动点，则的最小值为. 【答案】②④ 【解析】 【分析】求出圆心和半径，再结合点线对称知识可判断①，先求出公共弦，再利用弦长公式即可判断②，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当，，，四点共线时，的值最大，进而可判断③，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断④. 【详解】对于命题①，圆和圆， 圆心和半径分别是，则两圆心中点为， 若点和点关于直线对称，则中点在直线上， 但，故①错误； 对于命题②，因为圆和圆， 则两圆的共公弦为，所以到的距离为， 所以圆和圆的公共弦长为，故命题②正确， 对于命题③，圆心距为，当点和重合时，的值最小， 当四点共线时，的值最大为， 故的取值范围为，所以③错误； 对于D，如图，设关于直线对称点为， 则，解得，即关于直线对称点为， 连接交直线于点，此时最小， ， 即的最小值为，所以④正确， 故答案为：②④. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为边上的中线所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，即可得，结合点，即可得直线的方程； （2）设，代入边上的高所在的直线方程可得的值，即可得中点坐标，结合边上的中线所在的直线方程即可得解. 【小问1详解】 由边上的高所在的直线方程为，其斜率为， 则，即，又， 则，即； 【小问2详解】 设，由在上，即，即， 则中点坐标为，故有，即. 16. 如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设. （1）用分别表示. （2）若，求： （i）； （ii）. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）7 【解析】 【分析】（1）根据正六边形与六棱柱的几何性质，结合向量的线性运算，可得答案； （2）利用统一基底表示向量，结合数量积的定义以及运算律，可得答案. 【小问1详解】 由题意，底面，连接对角线且交点记为，如下图： 因为底面为正六边形，则，且， 易知， ； . 【小问2详解】 ， 由，则， 由，则， ， （i） ， （ii） ， . 17. 已知点，圆. （1）求圆过点的最长弦､最短弦所在的直线方程； （2）若圆与直线相交于，两点，为坐标原点，且，求的值. 【答案】（1）最长弦所在直线的方程为，最短弦所在直线的方程 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆的性质可知，最长弦过点和点，最短弦与最长弦垂直，从而可得最短弦所在直线的方程； （2）由转化为，然后联立直线和圆的方程，利用韦达定理可得关于的方程，即可求解. 【小问1详解】 由题意知点在圆内，圆心，半径， 由圆的性质可知，直径是圆中的最长弦，此时直线过点，， 所以圆过点的最长弦所在直线的方程为，化简得； 由圆的性质可知，过点的最短弦和圆心与点的连线垂直， 所以设直线方程为，将代入得， 所以圆过点的最短弦所在直线的方程. 【小问2详解】 由，消去得， 化简得. 因为圆与直线相交于，两点， 所以， 即，解得. 设，，则，. 因为，所以，即. 由，得. 从而，解得. 18. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧面底面，是以为底边的等腰三角形，点分别是的中点，点在棱上且. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为点是的中点，所以，且， 正方形中，点是的中点，， 所以，且， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，得线线平行，然后得证线面平行； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，为中点，， 又， 所以，点是的中点，所以， 又侧面底面，侧面底面平面，所以平面， 如图以点为坐标原点，过且垂直于的直线为轴，直线分别为轴和轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设是平面的一个法向量，则， 取得，所以， 所以， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 19. 如图，在平行六面体中，平面，. （1）求证：； （2）求三棱锥的体积； （3）线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 在平面ABCD中，过B作DC的垂线，垂足为G，连结交于F. 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 则，所以，所以，， 在中，，，，所以， 在中，，，所以， 在中，，，，所以，所以， 所以. （2）4 （3）不存在，理由如下： 假设存在点满足条件， 因为⊥平面ABCD，， 所以以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，，，， ， 设，则， 设平面EBD的一个法向量为， 由，得， 令，得，所以. 设平面的一个法向量， 由，得， 令，得，所以. 所以， 因为平面EBD与平面D1BD的夹角的余弦值为， 即，解得， 又因为，所以舍去， 所以线段上不存在点E使得平面EBD与平面的夹角为. 【解析】 【分析】（1）通过构造线线、线面垂直的方法，计算得到，从而证得. （2）转换顶底，然后求得锥体的高，进而求得锥体的体积. （3）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得正确答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，由（1）知，所以， 过作于H，则. 因为直棱柱中平面平面ABCD，平面平面， 平面ABCD，所以平面， 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二10月联考 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 0或2 3. 在四面体中，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 平行六面体的底面是矩形，其中，且为的交点，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 圆与圆的公切线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 D. 过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中错误的是（ ） A. 任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率 B. 若一条直线的斜率为1，则该直线的倾斜角为 C. 直线的斜率越大，倾斜角越大 D. 设，若直线与线段有交点，则的取值范围是 11. 如图，在正三棱柱中，分别为的中点，，则下列说法正确的是（ ） A. 若异面直线和所成的角的余弦值为，则 B. 若，则点到平面的距离为 C. 存在，使得 D. 若三棱柱存在内切球，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为__________. 13. 已知实数满足，且，则的最小值为__________. 14. 已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是__________. ①点和点关于直线对称； ②圆和圆的公共弦长为； ③的取值范围为； ④若为直线上的动点，则的最小值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为边上的中线所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）求的值. 16. 如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设. （1）用分别表示. （2）若，求： （i）； （ii）. 17. 已知点，圆. （1）求圆过点的最长弦､最短弦所在的直线方程； （2）若圆与直线相交于，两点，为坐标原点，且，求的值. 18. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧面底面，是以为底边的等腰三角形，点分别是的中点，点在棱上且. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成的角的正弦值. 19. 如图，在平行六面体中，平面，. （1）求证：； （2）求三棱锥的体积； （3）线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $