2.5.1 向量的数量积同步练习-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

5.1　向量的数量积 1.已知|b|=3,a在b方向上的投影数量是,则a·b为(　　). A. B.3 C.2 D. 2.(多选题)设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|b-2a|=,则以下结论正确的是(　　). A.a⊥b B.|a+b|=2 C.|a-b|= D.向量a,b的夹角为60° 3.已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则(　　). A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 4.已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=2,a·b=-3,则|a+2b|=(　　). A.1 B. C.4+ D.2 5.已知向量a,b均为非零向量,(a-2b)⊥a,|a|=|b|,则a,b的夹角为(　　). A. B. C. D. 6.已知边长为1的菱形ABCD,∠BAD=60°,点E满足BE=EC,则的值是(　　). A.- B.- C.- D.- 7.设单位向量e1,e2的夹角为,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,则b在a方向上的投影数量为(　　). A.- B.- C. D. 8.已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cos α=,若向量a=3e1-2e2,则|a|=　　　　　.  9.已知|a|=3,|b|=4,且(a-2b)·(2a+b)≥4,则a与b的夹角θ的取值范围是　　　　　.  10.在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点D满足=2,则的值为　　　　　.  11.设向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围. 12.如图,在▱ABCD中,=a,=b,. (1)用a,b表示; (2)若|a|=1,|b|=4,∠DAB=60°,分别求||和的值. 13.已知平面向量a,b满足|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. (1)求a与b的夹角θ; (2)求向量a在向量3a+2b上的投影数量. 14.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7.是否存在实数μ,使μa+b与a-2b垂直? 答案 1.A　∵|a|cos<a,b>=,|b|=3, ∴a·b=|a|·|b|cos<a,b>=3×. 2.AC　|b-2a|2=|b|2+4|a|2-4a·b=5,又因为|a|=|b|=1,所以a·b=0,所以a⊥b,所以A正确,D不正确;|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=2,故|a+b|=,所以B不正确,同理C正确. 3.D　方法一:由题意得,a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ). ∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,解得λμ=-1.故选D. 方法二:由题意得,a2=12+12=2,b2=12+(-1)2=2,a·b=1×1+1×(-1)=0.∵(a+λb)⊥(a+μb), ∴(a+λb)·(a+μb)=a2+(λ+μ)a·b+λμb2=2+0+2λμ=0.解得λμ=-1.故选D. 4.B　根据题意,得|a+2b|=.故选B. 5.B　设a,b的夹角为θ,∵(a-2b)⊥a,且|a|=|b|, ∴a·(a-2b)=a2-2a·b=|a|2-2|a|2cos θ=0, 解得cos θ=. ∵0≤θ≤π,∴θ=.因此,a,b的夹角为. 6.C　因为, 所以=()·() =×1×1××12-12=-. 7.A　依题意得e1·e2=1×1×cos =-, |a|=,a·b=(e1+2e2)·(2e1-3e2)=2-6+e1·e2=-, 因此b在a方向上的投影数量为=-,故选A. 8.3　∵|a|2=(3e1-2e2)·(3e1-2e2)=9-12e1·e2+4=9-12×1×1×+4=9,∴|a|=3. 9.[,π]　∵(a-2b)·(2a+b)=2a2+a·b-4a·b-2b2=2×9-3|a||b|cos θ-2×16=-14-3×3×4cos θ≥4,∴cos θ≤-,∴θ∈[,π]. 10.-　根据题意画出图形,如图所示. AB=AC=2,BC=2,通过作BC边上的高并解直角三角形可得∠BAC=.根据题意可得,=()·)=×4+×2×2×(-)-×4=-. 11.解 由题意,∵=4,=1,e1·e2=1, ∴(2te1+7e2)·(e1+te2)=2t+(2t2+7)e1·e2+7t=2t2+15t+7,∴2t2+15t+7<0,解得-7<t<-. ∵当2te1+7e2与e1+te2共线时, 设2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0)⇒⇒2t2=7⇒t=-,λ=-, ∴当t=-时,2te1+7e2与e1+te2的夹角为π. ∴实数t的取值范围是(-7,-)∪(-,-). 12.解 (1)=-=-a+b. (2)因为|a|=1,|b|=4,∠DAB=60°, 所以||2=(b-a)2=|b|2-a·b+×1×4×cos 60°+. 所以||=. =(a+b)·(a-b)=|a|2+a·b-|b|2=×1×4×cos 60°-=-4. 13.解 (1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61, ∴4a2-4a·b-3b2=61, 又|a|=4,|b|=3,∴a·b=-6, ∴cos θ==-.∵θ∈[0,π],∴θ=. (2)∵|3a+2b|2=9a2+12a·b+4b2=108, ∴|3a+2b|=6,∴向量a在向量3a+2b上的投影数量为=2. 14.解 存在.∵若(μa+b)⊥(a-2b),则(μa+b)·(a-2b)=0,∴μa2-2b2-2μa·b+a·b=0. ∵a+b+c=0,∴c=-a-b, 则|c|2=|a+b|2=9+25+2a·b=49,∴a·b=. ∴9μ-2×25-2μ×=0.∴μ=-. ∴存在μ=-,使得μa+b与a-2b垂直. 学科网（北京）股份有限公司 $$