第03讲 成对数据的统计分析(讲义) -2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第03讲 成对数据的统计分析 1成对数据的统计相关性 ① 相关关系与确定关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 比如 正方形面积与边长，圆锥的体积与底圆半径等均为确定关系；体重与身高，子女的身高与父亲的身高，空气污染指数与汽车保有量等均为相关关系. ② 正相关与负相关 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关；从散点图来看，点从左下角往右上角走. 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关；从散点图来看，点从左上角往右下角走. 比如脂肪含量与年龄 , 子女的身高与父亲的身高正相关. ③ 线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关. 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. ④ 样本相关系数 对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，其中和的均值分别为和，则 我们称为变量和变量的样本相关系数. ① 当时，称成对数据正相关；当时，称成对数据负相关. ② 越接近于，两个变量的线性相关性越强； 接近于时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系. ③ 样本相关系数也可以推导得到 2 一元线性回归模型及其应用 ① 一元线性回归模型 用表示父亲身高，表示儿子身高，表示随机误差，假定随机误差的均值为，方差为与父亲身高无关的定值，则它们之间的关系可以表示为 我们称它为关于的一元线性回归模型. ② 线性回归方程 对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，其中和的均值分别为和，其中 我们将称为关于的经验回归方程，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法. 备注 线性回归直线经过定点. ③ 残差分析 通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测量，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判定原始数据是否存在可疑数据，这方面的工作称为残差分析. 通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型中对随机误差的假设，那残差应是均值为，方差为的随机变量的观测值. ④ 比较模型的拟合效果 残差平方和 残差平方和越小，拟合效果越好. 相关指数 越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好. 3 列联表与独立性检验 ① 列联表 设为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量变量 通过观察得到右表所示数据： 分类变量 合计 合计 并将形如此表的表格称为列联表． ② 独立性检验 根据列联表中的数据判断两个变量是否独立的问题叫列联表的独立性检验． ③ 的计算公式 ④ 应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节 提出零假设:和相互独立，并给出在问题中的解释； 根据抽样数据整理出列联表，计算的值，并与临界值比较； 根据检验规则得出推断结论； 在和不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析和间的影响规律. 【题型1】 成对数据的相关性 【典题1】 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2024·辽宁葫芦岛·一模）已知变量与的回归直线方程为，变量与负相关，则（    ） A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关 C．与负相关，与正相关 D．与正相关，与负相关 2（2024·四川凉山·三模）调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．学生身高和体重没有相关性 B．学生身高和体重呈正相关 C．学生身高和体重呈负相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 3（2024·上海·三模）上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（    ）． A． B． C． D． 4（2024·江西南昌·三模）如图对两组数据，和，分别进行回归分析，得到散点图如图，并求得线性回归方程分别是和，并对变量，进行线性相关检验，得到相关系数，对变量，进行线性相关检验，得到相关系数，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 5（多选）（2024·湖南衡阳·模拟预测）中国雪乡哈尔滨的看雪最佳时间在11月中旬到次年的2月上旬，某旅游公司设计了一款冰雪文创产品.试营销以来，这款冰雪文创产品定价（单位：元）与销量（单位：万件）的数据如下表所示： 产品定价（单位：元） 9 9.5 10 10.5 11 销量（单位：万件） 11 10 8 6 5 则下列结论正确的是（    ） 参考公式：. 参考数据,,,. A．产品定价的平均值是10元 B．产品定价与销量存在正相关关系 C．产品定价与销量满足一元线性回归模型 D．产品定价与销量的相关系数 【题型2】 回归分析 角度1 线性回归方程及应用 【典题1】 （2024·四川宜宾·三模）某零售行业为了解宣传对销售额的影响，在本市内随机抽取了5个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下： x（万元） 3 4 5 6 7 y（万元） 45 50 60 65 70 由统计数据知y与x满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额y的估计值为（    ） A．89.5 B．90.5 C．92.5 D．94.5 【典题2】（2024·四川德阳·三模）某公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集并整理了近6个月广告投入量x（单位：万元）和收益y（单位：万元）的数据如表（其中有些数据污损不清）： 月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量 2 7 7 10 收益 20 30 34 37 7 30 1470 370 他们分别用两种模型①，②进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值.    (1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？ (2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除. （ⅰ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程； （ⅱ）若广告投入量，则（1）中所选模型收益的预报值是多少万元？（精确到0.01） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【巩固练习】 1. （2022·四川成都·模拟预测）假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用万元统计数据如下： 使用年限 维修费用 若有数据知对呈线性相关关系．其线形回归方程为，请估计使用年时的维修费用是 万元． 2（多选）（2024·湖北武汉·模拟预测）某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量如表所示，若与线性相关，且线性回归方程为，则（    ） 月份编号 1 2 3 4 5 下载量（万次） 5 4.5 4 3.5 2.5 A．与负相关 B． C．预测第6个月的下载量是2.1万次 D．残差绝对值的最大值为0.2 3（多选）（2024·辽宁·模拟预测）已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个歧义点和后，得到新的回归直线的回归系数为2.5，则下列说法正确的是（    ） A．相关变量具有正相关关系 B．去除两个歧义点后，随值增加相关变量值增加速度变小 C．去除两个歧义点后，重新求得回归方程对应的直线一定过点 D．去除两个歧义点后，重新求得的回归直线方程为 4（2024·全国·模拟预测）氮氧化物是一种常见的大气污染物，它是由氮和氧两种元素组成的化合物，有多种不同的形式．下图为我国2014年至2022年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中，年份代码1～9分别对应年份2014～2022． 计算得，，． (1)是否可用线性回归模型拟合与的关系？请用折线图和相关系数加以说明； (2)是否可用题中数据拟合得到的线性回归模型预测2023年和2033年的氮氧化物排放量？请说明理由． 附：相关系数，． 5（2025·广东·模拟预测）某大学生参加社会实践活动，对某公司月份至月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示： 月份 销售单价元 销售量件 (1)根据至月份的数据，求出关于的回归直线方程； (2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问中所得到的回归直线方程是否理想？ (3)预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从中的关系，若该种机器配件的成本是元件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？注：利润销售收入成本． 参考公式：回归直线方程，其中， 角度2 非线性回归方程及应用 【典题1】 （2023·四川·模拟预测）下表是某工厂记录的一个反应器投料后，连续8天每天某种气体的生成量（L）： 日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 生成的气体y（L） 4 8 16 31 51 71 97 122 为了分析该气体生成量变化趋势、工厂分别用两种模型：①，②对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下： 注：残差：经计算得，，，，其中， (1)根据残差图、比较模型①，模型②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由； (2)根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）； (3)若在第8天要根据（2）问求出的回归方程来对该气体生成量做出预测，那么估计第9天该气体生成量是多少？（精确到个位） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【巩固练习】 1. （2024·陕西安康·模拟预测）随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如:表示6月份. (1)根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由） (2)（i）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程;(计算结果精确到0.01) （ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件? 参考公式与数据: ， ， ，其中. 2（2024·陕西安康·模拟预测）某乒乓球训练机构以训练青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置（称为“准点球”），在每周末，记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比（），A学员已经训练了1年，下表记录了学员最近七周“准点球”的百分比： 周次（x） 1 2 3 4 5 6 7 52 52.8 53.5 54 54.5 54.9 55.3 若. (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱； （若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱）（精确到） (2)求关于的回归方程，并预测第周“准点球”的百分比.（精确到） 参考公式和数据： ，， . 3（2024·重庆·二模）某商场推出“云闪付”购物活动，由于推广期内优惠力度较大，吸引了越来越多的顾客使用这种支付方式.现统计了活动刚推出一周内每天使用“云闪付”支付的人数，用表示活动推出的天数，表示每天使用该支付方式的人数，统计数据如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 6 13 25 40 73 110 201 根据散点图判断，在推广期内，支付的人数关于天数的回归方程适合用表示. (1)求该回归方程，并预测活动推出第8天使用“云闪付”的人数；（的结果精确到0.01） (2)推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表： 支付方式 云闪付 会员卡 其它支付方式 比例 商场规定：使用会员卡支付的顾客享8折，“云闪付”的顾客随机优惠，其它支付方式的顾客无优惠，根据统计结果得知，使用“云闪付”的顾客，享7折的概率为，享8折的概率为，享9折的概率为.设顾客购买标价为元的商品支付的费用为，根据所给数据用事件发生的频率估计相应事件发生的概率，写出的分布列，并求. 参考数据：设. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：. 【题型3】 列联表与独立性检验 【典题1】 下列说法正确的是（ ） A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等 B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等 C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强 D．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值， 的部分临界值如下表： 0.1 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量没有关系 【典题2】（2024·四川成都·模拟预测）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为，现将一周内在食堂就餐超过8次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过8次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”．“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人． (1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关： (2)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为X．事件“”的概率为，求随机变量X的期望和方差． 参考公式：，其中． a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【巩固练习】 1. （2024·江苏苏州·模拟预测）设研究某两个属性变量时，作出零假设并得到2×2列联表，计算得，则下列说法正确的是（   ） A．有99.5%的把握认为不成立 B．有5%的把握认为的反面正确 C．有95%的把握判断正确 D．有95%的把握能反驳 2（2024·江苏盐城·模拟预测）根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到，则（    ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．变量Ⅰ与Ⅱ相关 B．变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1 C．变量Ⅰ与Ⅱ不相关 D．变量Ⅰ与Ⅱ不相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1 3（2023·甘肃兰州·模拟预测）为了检测某种新药的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下列联表： 则下列说法一定正确的是（    ） 附：（其中）. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” 4（2022·陕西榆林·模拟预测）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生每天课外体育锻炼的平均时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成，，，，，六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”． (1)请根据直方图中的数据，将下面的列联表补充完整； 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 女 110 合计 (2)根据（1）中所得数据，判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？ 附：． 0.15 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 5（2024·广西来宾·模拟预测）中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下： 男 女 合计 了解 20 不了解 20 40 合计 (1)将列联表补充完整； (2)根据的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？ (3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：，其中 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 1（2024·天津·高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（    ） A． B． C． D． 2（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（    ） A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系 B．花瓣长度和花萼长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 3（2023·全国·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8  9.2  11.4  12.4  13.2  15.5  16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 (1)计算试验组的样本平均数； (2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表 对照组 试验组 （ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 4（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 成对数据的统计分析 1成对数据的统计相关性 ① 相关关系与确定关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 比如 正方形面积与边长，圆锥的体积与底圆半径等均为确定关系；体重与身高，子女的身高与父亲的身高，空气污染指数与汽车保有量等均为相关关系. ② 正相关与负相关 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关；从散点图来看，点从左下角往右上角走. 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关；从散点图来看，点从左上角往右下角走. 比如脂肪含量与年龄 , 子女的身高与父亲的身高正相关. ③ 线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关. 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. ④ 样本相关系数 对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，其中和的均值分别为和，则 我们称为变量和变量的样本相关系数. ① 当时，称成对数据正相关；当时，称成对数据负相关. ② 越接近于，两个变量的线性相关性越强； 接近于时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系. ③ 样本相关系数也可以推导得到 2 一元线性回归模型及其应用 ① 一元线性回归模型 用表示父亲身高，表示儿子身高，表示随机误差，假定随机误差的均值为，方差为与父亲身高无关的定值，则它们之间的关系可以表示为 我们称它为关于的一元线性回归模型. ② 线性回归方程 对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，其中和的均值分别为和，其中 我们将称为关于的经验回归方程，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法. 备注 线性回归直线经过定点. ③ 残差分析 通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测量，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判定原始数据是否存在可疑数据，这方面的工作称为残差分析. 通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型中对随机误差的假设，那残差应是均值为，方差为的随机变量的观测值. ④ 比较模型的拟合效果 残差平方和 残差平方和越小，拟合效果越好. 相关指数 越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好. 3 列联表与独立性检验 ① 列联表 设为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量变量 通过观察得到右表所示数据： 分类变量 合计 合计 并将形如此表的表格称为列联表． ② 独立性检验 根据列联表中的数据判断两个变量是否独立的问题叫列联表的独立性检验． ③ 的计算公式 ④ 应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节 提出零假设:和相互独立，并给出在问题中的解释； 根据抽样数据整理出列联表，计算的值，并与临界值比较； 根据检验规则得出推断结论； 在和不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析和间的影响规律. 【题型1】 成对数据的相关性 【典题1】 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据散点图和相关系数的概念和性质辨析即可. 【详解】由散点图可知，相关系数所在散点图呈负相关，所在散点图呈正相关，所以都为正数，都为负数． 所在散点图近似一条直线上，线性相关性比较强，相关系数的绝对值越接近， 而所在散点图比较分散，线性相关性比较弱点，相关系数的绝对值越远离． 综上所得：．     故答案为：B． 【巩固练习】 1. （2024·辽宁葫芦岛·一模）已知变量与的回归直线方程为，变量与负相关，则（    ） A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关 C．与负相关，与正相关 D．与正相关，与负相关 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合回归方程可判断与正相关，再由变量与负相关，即可判断与负相关. 【详解】根据回归方程可知变量与正相关，又变量与负相关， 由正相关、负相关的定义可知，与负相关. 故选：D 2（2024·四川凉山·三模）调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．学生身高和体重没有相关性 B．学生身高和体重呈正相关 C．学生身高和体重呈负相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】B 【分析】由散点图的特点可分析相关性的问题，从而判断选项，根据相关系数的定义可判断选项. 【详解】由散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近， 所以学生身高和体重具有相关性，不正确； 又身高和体重的相关系数为，相关系数， 所以学生身高和体重呈正相关，正确，不正确； 从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的相关系数不一定是，不正确. 故选：. 3（2024·上海·三模）上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据散点图判断两变量的线性相关性，再根据线性相关性与相关系数的关系判断即可. 【详解】由散点图可知，图一两个变量成正相关，且线性相关性较强，故， 图二、图三两个变量都成负相关，且图二的线性相关性更强， 故，，，故，所以. 故选：C. 4（2024·江西南昌·三模）如图对两组数据，和，分别进行回归分析，得到散点图如图，并求得线性回归方程分别是和，并对变量，进行线性相关检验，得到相关系数，对变量，进行线性相关检验，得到相关系数，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两散点图中散点的位置关系直接得答案. 【详解】由散点图可知，与负相关，与正相关，则，，故A、B错误； 且图形中点比更加集中在一条直线附近， 则，又，，得. 故C错误，D正确. 故选：D. 5（多选）（2024·湖南衡阳·模拟预测）中国雪乡哈尔滨的看雪最佳时间在11月中旬到次年的2月上旬，某旅游公司设计了一款冰雪文创产品.试营销以来，这款冰雪文创产品定价（单位：元）与销量（单位：万件）的数据如下表所示： 产品定价（单位：元） 9 9.5 10 10.5 11 销量（单位：万件） 11 10 8 6 5 则下列结论正确的是（    ） 参考公式：. 参考数据：，，，. A．产品定价的平均值是10元 B．产品定价与销量存在正相关关系 C．产品定价与销量满足一元线性回归模型 D．产品定价与销量的相关系数 【答案】ACD 【分析】计算出可得A；计算出后可得B、C、D. 【详解】由题可得，故A正确； 而. 由于与的相关系数近似为，故与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与的关系，同时，与为负相关，故B错误，C、D正确. 故选：ACD. 【题型2】 回归分析 角度1 线性回归方程及应用 【典题1】 （2024·四川宜宾·三模）某零售行业为了解宣传对销售额的影响，在本市内随机抽取了5个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下： x（万元） 3 4 5 6 7 y（万元） 45 50 60 65 70 由统计数据知y与x满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额y的估计值为（    ） A．89.5 B．90.5 C．92.5 D．94.5 【答案】B 【分析】由题意求得样本中心点的坐标，进一步得，由此即可预测求解. 【详解】由表中数据可知，， 所以，解得， 所以当宣传费用时，销售额y的估计值为. 故选：B. 【典题2】（2024·四川德阳·三模）某公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集并整理了近6个月广告投入量x（单位：万元）和收益y（单位：万元）的数据如表（其中有些数据污损不清）： 月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量 2 7 7 10 收益 20 30 34 37 7 30 1470 370 他们分别用两种模型①，②进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值.    (1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？ (2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除. （ⅰ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程； （ⅱ）若广告投入量，则（1）中所选模型收益的预报值是多少万元？（精确到0.01） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】(1)模型① (2)（i）；（ii）（万元） 【分析】（1）由于模型①残差波动小，应该选择模型①； （2）（i）剔除异常数据，求出、、，代入可得回归方程；（ii）将代入回归方程可得答案. 【详解】（1）由于模型①残差波动小，应该选择模型①； （2）（i）剔除异常数据，即3月份的数据， 剩下数据的平均数为，， ，， ，可得， ∴， ， 所选模型的回归方程为； （ii）若广告投入量， 则该模型收益的预报值是（万元）. 【巩固练习】 1. （2022·四川成都·模拟预测）假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用万元统计数据如下： 使用年限 维修费用 若有数据知对呈线性相关关系．其线形回归方程为，请估计使用年时的维修费用是 万元． 【答案】 【分析】求出，根据回归方程过求出，代入得解. 【详解】由题意可得，， 由回归方程过点可得，解得， 故方程为， 把代入可得， 故答案为：． 2（多选）（2024·湖北武汉·模拟预测）某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量如表所示，若与线性相关，且线性回归方程为，则（    ） 月份编号 1 2 3 4 5 下载量（万次） 5 4.5 4 3.5 2.5 A．与负相关 B． C．预测第6个月的下载量是2.1万次 D．残差绝对值的最大值为0.2 【答案】ACD 【分析】对于A：根据回归方程分析判断；对于B：根据线性回归方程必过样本中心点，运算求解；对于C：根据回归方程进而预测；对于D：根据题意结合残差的定义分析判断. 【详解】对于A：因为，所以变量与负相关，故正确； 对于B：， ， ，则， 解得，故错误； 对于C：当时，， 故可以预测第6个月的下载量约为2.1万次，故正确； 对于D：当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 故残差绝对值的最大值为0.2，故正确. 故选：ACD. 3（多选）（2024·辽宁·模拟预测）已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个歧义点和后，得到新的回归直线的回归系数为2.5，则下列说法正确的是（    ） A．相关变量具有正相关关系 B．去除两个歧义点后，随值增加相关变量值增加速度变小 C．去除两个歧义点后，重新求得回归方程对应的直线一定过点 D．去除两个歧义点后，重新求得的回归直线方程为 【答案】ABD 【分析】根据回归直线方程的斜率可得A正确，由新的回归直线方程的斜率大小可得B正确，由回归直线方程过样本中心点可得新的回归直线一定过点，可得C错误，代入新的样本中心点可得新的回归直线方程为，即D正确. 【详解】对于A，因为回归直线的斜率大于0，即相关变量具有正相关关系，故A正确； 对于B，斜率，此时随值增加相关变量值增加速度变小，故B正确； 对于C，将代入得，则去掉两个歧义点后，得到新的相关变量的平均值分别为， 所以重新求得得回归方程对应得直线一定过点，故C错误； 对于D，，此时的回归直线方程为，故D正确. 故选：ABD 4（2024·全国·模拟预测）氮氧化物是一种常见的大气污染物，它是由氮和氧两种元素组成的化合物，有多种不同的形式．下图为我国2014年至2022年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中，年份代码1～9分别对应年份2014～2022． 计算得，，． (1)是否可用线性回归模型拟合与的关系？请用折线图和相关系数加以说明； (2)是否可用题中数据拟合得到的线性回归模型预测2023年和2033年的氮氧化物排放量？请说明理由． 附：相关系数，． 【答案】(1)可以用线性回归模型拟合与的关系，答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）结合参考数据，求出相关系数，进而可以得出结论； （2）2023年与题设数据的年份较接近，可以用回归模型预测2023年的氮氧化物排放量，2033年与题设数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，不可以预测2033年的氮氧化物排放量. 【详解】（1）从折线图看，各点近似落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合与的关系． 因为，所以该组数据的相关系数 ． ，因而可以用线性回归模型拟合与的关系． （2）可以用回归模型预测2023年的氮氧化物排放量，但不可以预测2033年的氮氧化物排放量，理由如下： ①2023年与题设数据的年份较接近，因而可以认为，短期内氮氧化物的排放量将延续（1）中的线性趋势，故可以用（1）中的回归模型进行预测； ②2033年与题设数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持，但从长期角度看很有可能会变化，因而用（1）中的回归模型预测是不准确的． 5（2025·广东·模拟预测）某大学生参加社会实践活动，对某公司月份至月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示： 月份 销售单价元 销售量件 (1)根据至月份的数据，求出关于的回归直线方程； (2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问中所得到的回归直线方程是否理想？ (3)预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从中的关系，若该种机器配件的成本是元件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？注：利润销售收入成本． 参考公式：回归直线方程，其中， 【答案】(1) (2)可以认为所得到的回归直线方程是不理想的 (3)该产品的销售单价定为元件时，获得的利润最大 【分析】（1）计算、，求出回归系数，写出回归直线方程； （2）根据回归直线方程，计算对应的数值，判断回归直线方程是否理想； （3）求销售利润函数，根据二次函数的图象与性质求最大值即可． 【详解】（1）因为， 所以， 于是关于的回归直线方程为； （2）当时，， 因为， 所以可以认为所得到的回归直线方程是不理想的； （3）令销售利润为， 则， 因为， ， 当且仅当，即时，取最大值． 所以该产品的销售单价定为元件时，获得的利润最大． 角度2 非线性回归方程及应用 【典题1】 （2023·四川·模拟预测）下表是某工厂记录的一个反应器投料后，连续8天每天某种气体的生成量（L）： 日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 生成的气体y（L） 4 8 16 31 51 71 97 122 为了分析该气体生成量变化趋势、工厂分别用两种模型：①，②对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下： 注：残差：经计算得，，，，其中， (1)根据残差图、比较模型①，模型②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由； (2)根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）； (3)若在第8天要根据（2）问求出的回归方程来对该气体生成量做出预测，那么估计第9天该气体生成量是多少？（精确到个位） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】(1)选择模型①，理由见解析； (2)； (3)157L． 【分析】（1）根据残差意义分析即可； （2）求出，结合已知数据代入公式计算即可； （3）将代入回归方程即可得到预测值. 【详解】（1）选择模型①，理由如下： 根据残差图可以看出：模型①的残差点分布在x轴附近，模型②的残差点距离x轴较远， 所以，模型②的残差明显比模型①大，所以模型①的拟合效果相对较好； （2）由（1）可知y关于x的回归方程为， 令，则， 由所给的数据可得， ， ， 则， 所以y关于x的回归方程为． （3）将代入回归方程，可得， 所以预测该气体第9天的生成量约为157L． 【巩固练习】 1. （2024·陕西安康·模拟预测）随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如:表示6月份. (1)根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由） (2)（i）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程;(计算结果精确到0.01) （ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件? 参考公式与数据: ， ， ，其中. 【答案】(1)模型② (2)（i）；（ⅱ）预测12月份的销售量大约是13.9万件 【分析】（1）根据散点图结合一次函数以及二次函数图象特征分析判断； （2）（i）令，根据题中数据和公式求回归方程； （ⅱ）令，代入回归方程运算求解即可. 【详解】（1）由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性， 结合图象故选模型②. （2）（i）令，则， 可得，， 则，， 所以关于的回归方程为， 即关于的回归方程； （ⅱ）令，可得， 预测12月份的销售量大约是13.9万件. 2（2024·陕西安康·模拟预测）某乒乓球训练机构以训练青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置（称为“准点球”），在每周末，记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比（），A学员已经训练了1年，下表记录了学员最近七周“准点球”的百分比： 周次（x） 1 2 3 4 5 6 7 52 52.8 53.5 54 54.5 54.9 55.3 若. (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱； （若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱）（精确到） (2)求关于的回归方程，并预测第周“准点球”的百分比.（精确到） 参考公式和数据： ，， . 【答案】(1)， 与线性相关性很强； (2)， 【分析】（1）根据所给参考数据及相关系数公式求出，即可判断； （2）首先求出，，即可得到与的回归方程，从而得到关于的回归方程，再代入计算可得. 【详解】（1）依题意， 又，所以与线性相关性很强； （2）依题意， 所以， 所以，又， 所以， 当时， 所以预测第周“准点球”的百分比为. 3（2024·重庆·二模）某商场推出“云闪付”购物活动，由于推广期内优惠力度较大，吸引了越来越多的顾客使用这种支付方式.现统计了活动刚推出一周内每天使用“云闪付”支付的人数，用表示活动推出的天数，表示每天使用该支付方式的人数，统计数据如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 6 13 25 40 73 110 201 根据散点图判断，在推广期内，支付的人数关于天数的回归方程适合用表示. (1)求该回归方程，并预测活动推出第8天使用“云闪付”的人数；（的结果精确到0.01） (2)推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表： 支付方式 云闪付 会员卡 其它支付方式 比例 商场规定：使用会员卡支付的顾客享8折，“云闪付”的顾客随机优惠，其它支付方式的顾客无优惠，根据统计结果得知，使用“云闪付”的顾客，享7折的概率为，享8折的概率为，享9折的概率为.设顾客购买标价为元的商品支付的费用为，根据所给数据用事件发生的频率估计相应事件发生的概率，写出的分布列，并求. 参考数据：设. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：. 【答案】(1)，355人； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）由两边取常用对数，利用换元法转化为线性归回直线方程并结合公式进行求解； （2）根据概率的乘法公式进行求解列出分布列，根据期望公式计算结果. 【详解】（1）由，得，设，，，则. ， . 把样本中心点代入方程得， 所以，即， 其回归方程为， 当时，. （2）的可能取值为：. 分布列如下： 0.1 0.35 0.15 0.4 所以，购物的平均费用为：. 【题型3】 列联表与独立性检验 【典题1】 下列说法正确的是（ ） A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等 B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等 C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强 D．已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值， 的部分临界值如下表： 0.1 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量没有关系 【答案】A 【分析】根据标准差定义可判断A项；通过取反例可排除B项；利用相关系数的概念易排除C项；利用独立性检验的规定，可判断结论不成立. 【详解】对于A，根据标准差定义，一组数据的标准差时， 显然有故A正确； 对于B，两组数据的标准差相等，这两组数据的平均数未必相等，如都为1和都为2的两组数据， 它们的标准差均为0，但它们的平均数分别为1和，故B错误； 对于C，两个变量的相关系数越接近于0，两个变量的相关性越弱，故C错误； 对于D，，根据独立性检验原理， 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量有关系，故D错误. 故选：A 【典题2】（2024·四川成都·模拟预测）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为，现将一周内在食堂就餐超过8次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过8次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”．“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人． 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 (1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关： (2)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为X．事件“”的概率为，求随机变量X的期望和方差． 参考公式：，其中． a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)表格见解析，有关 (2)期望6，方差 【分析】（1）根据题意，补充完善列联表，进行独立性检验即可. （2）根据题意，，利用二项分布的均值方差公式求解. 【详解】（1）列联表见图， 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 40 20 60 不喜欢食堂就餐 10 30 40 合计 50 50 100 零假设：假设食堂就餐与性别无关， 由列联表可得， 根据小概率的独立性检验推断不成立， 即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关，此推断犯错误的概率不超过. （2）由题意可知，抽取的10名学生，喜欢饭堂就餐的学生人数服从二项分布， 且喜欢饭堂就餐的频率为，则， 故其期望，方差. 【巩固练习】 1. （2024·江苏苏州·模拟预测）设研究某两个属性变量时，作出零假设并得到2×2列联表，计算得，则下列说法正确的是（   ） A．有99.5%的把握认为不成立 B．有5%的把握认为的反面正确 C．有95%的把握判断正确 D．有95%的把握能反驳 【答案】D 【分析】根据独立性检验的概念以及计算步骤，可得答案. 【详解】依题意，，因此有95%的把握反驳， 故选：D. 2（2024·江苏盐城·模拟预测）根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到，则（    ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．变量Ⅰ与Ⅱ相关 B．变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1 C．变量Ⅰ与Ⅱ不相关 D．变量Ⅰ与Ⅱ不相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1 【答案】B 【分析】根据独立性检验的原理，将与临界值表比较，即可得结论. 【详解】零假设为：变量Ⅰ与Ⅱ不相关， 因为， 依据得独立性检验可知，推断不成立， 即认为变量Ⅰ与Ⅱ相关，这个结论犯错误的概率不超过0.1， 故选：B 3（2023·甘肃兰州·模拟预测）为了检测某种新药的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下列联表： 未治愈 治愈 合计 服用药物 10 40 50 未服用药物 20 30 50 合计 30 70 100 则下列说法一定正确的是（    ） 附：（其中）. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关” 【答案】A 【分析】根据表中数据求出的值，即可得答案. 【详解】解：由列联表中数据，计算， 且， 所以有的把握认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关” 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”. 故选：A. 4（2022·陕西榆林·模拟预测）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生每天课外体育锻炼的平均时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成，，，，，六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”． (1)请根据直方图中的数据，将下面的列联表补充完整； 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 女 110 合计 (2)根据（1）中所得数据，判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？ 附：． 0.15 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析 (2)不能认为“课外体育达标”与性别有关 【分析】（1）根据频率求出“课外体育达标”人数，即可完善列联表． （2）根据（1）中列联表的数据，计算，比较临界值可得结论． 【详解】（1）由题意得“课外体育达标”人数为，则“课外体育不达标”人数为150． 补充完整的列联表如下： 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 30 90 女 90 20 110 合计 150 50 200 （2）， 在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关. 5（2024·广西来宾·模拟预测）中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下： 男 女 合计 了解 20 不了解 20 40 合计 (1)将列联表补充完整； (2)根据的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？ (3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 附：，其中 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)表格见解析； (2)根据的独立性检验，不能认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联； (3)分布列见解析；. 【分析】（1）由题意以及表格数据即可填写. （2）零假设该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关，根据列联表中的数据计算，再根据小概率值作出判断即可. （3）先求随机变量，接着依次求各随机变量取值相应的概率即可得分布列，再由二项分布的数学期望公式去计算即可得. 【详解】（1）由题得列联表如下： 男 女 合计 了解 40 20 60 不了解 20 20 40 合计 60 40 100 （2）零假设该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关， 由（1）可得， 则根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即可以认为成立，故不能认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联. （3）由（1）可知抽取的100名学生中了解该活动的学生男生和女生分别为40人和20人， 所以从了解该活动的学生中随机抽取1人参加传统文化知识竞赛，抽取的是女生的概率为， 则由题意可知，且， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望为. 1（2024·天津·高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的分布特征可直接判断 【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1. 故选：A 2（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（    ） A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系 B．花瓣长度和花萼长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】C 【分析】根据散点图的特点及经验回归方程可判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项. 【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误， 把代入可得，C选项正确； 由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误 故选：C 3（2023·全国·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8  9.2  11.4  12.4  13.2  15.5  16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 (1)计算试验组的样本平均数； (2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表 对照组 试验组 （ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) (2)（i）；列联表见解析，（ii）能 【分析】（1）直接根据均值定义求解； （2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表； （ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解. 【详解】（1）试验组样本平均数为： （2）（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数， 由原数据可得第11位数据为，后续依次为， 故第20位为，第21位数据为， 所以， 故列联表为： 合计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 （ii）由（i）可得，， 所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异. 4（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围学业成绩 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1） (3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ （附：其中，．） 【答案】(1) (2) (3)有 【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可； （2）根据平均数的计算公式即可得到答案； （3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论. 【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比， 则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为． （2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为 ． 则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时. （3）由题列联表如下： 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关． 其中． ． 则零假设不成立， 即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$