第01讲 随机抽样、统计图表(讲义) -2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第01讲 随机抽样、统计图表 1 简单随机抽样 一般地，设一个总体含有个个体，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，则这样的抽样方法叫做简单随机抽样,方法有抽签法和随机数表法. 2 总体平均数与样本平均数 一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，则称 为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的个变量值中，不同的值共有个，不妨记为,其中出现的频数,则总体均值还可以写成加权平均数的形式 如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为,则称 为样本均值，又称样本平均数. 3 分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分为若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样. 4 总体取值规律的估计 ① 频率直方图 (1) 画频率直方图的步骤 求极差--决定组距与组数--将数据分组--列频率分布表--画频率分布直方图. (2) 小长方形的面积=频率 (3) 在直方图中，各小长方形的面积之和等于. 【题型1】 简单随机抽样及其应用 【典题1】 （2024·云南·二模）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学生编号为（    ） 0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617 A．51 B．25 C．32 D．12 【巩固练习】 1. （2024·福建泉州·模拟预测）从一个含有个个体的总体中抽取一容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，三者关系可能是（    ） A． B． C． D． 2（2024·四川成都·模拟预测）用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3（2024·陕西西安·一模）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 04 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 A．623 B．328 C．072 D．457 【题型2】 分层随机抽样及其应用 【典题1】 （2022·四川内江·模拟预测）某高中为了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的学生进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成如图所示的饼图．现从这些学生中抽出100人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法不正确的是（    ） A．若按专业类型进行分层抽样，则张三被抽到的可能性比李四大 B．若按专业类型进行分层抽样，则理学专业和工学专业应分别抽取30人和20人 C．采用分层抽样比简单随机抽样更合理 D．该问题中的样本容量为100 【巩固练习】 1. （2023·湖南岳阳·模拟预测）现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（    ） A．①②都采用简单随机抽样 B．①②都采用分层随机抽样 C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 2（2024·湖北·模拟预测）从一个容量为的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（ ） A． B． C． D． 3（2024·江西南昌·模拟预测）已知三种不同型号的产品数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽取容量为的样本，若样本中型号产品有件，则为（    ） A．60 B．70 C．80 D．90 4（2024·河南驻马店·二模）电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（    ） A．6人 B．9人 C．12人 D．18人 5（2024·重庆·三模）重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为（ ） A． B． C． D． 【题型3】 统计图表 角度1 扇形图、条形图、折线图 【典题1】 （2024·四川遂宁·三模）某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（    ） A．快递行业从业人员中，“90后”占一半以上 B．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20% C．快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多 D．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多 【巩固练习】 1. （2022·安徽马鞍山·模拟预测）下图为国家统计局给出的2016-2020年福利彩票销售额、增长率及筹集公益金情况统计图，则下列说法正确的是（    ）    A．2016-2020年福利彩票销售额呈递减趋势 B．2016-2020年福利彩票销售额的年增长率呈递减趋势 C．2016-2020年福利彩票销售额、筹集公益金均在2018年取得最大值 D．2017-2018年福利彩票销售额增长的最多 2（2024·江西·二模）下图是我国年纯电动汽车销量统计情况，则下列说法错误的是（    ）    A．我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B．这六年销量的第60百分位数为536.5万辆 C．2020年销量高于这六年销量的平均值 D．这六年增长率最大的为2019年至2020年 3（2024·河北保定·二模）下图为2020年~2023年某国星级酒店数量､营业收入及餐饮收入比重，根据该图，下列结论错误的是（    ） A．2020年~2023年某国星级酒店数量逐年减少 B．2020年~2023年某国星级酒店营业收入最高不超过2000亿元 C．2020年~2023年某国星级酒店餐饮收入比重最高的是2021年 D．2020年~2023年某国星级酒店餐饮收入比重的极差是1.54% 4（2024·甘肃·一模）小李一周的总开支分布如图（1）所示，其中一周的食品开支如图（2）所示，则以下判断错误的是（    ）    A．小李这一周用于肉蛋奶的支出高于用于娱乐的支出 B．小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中是最少的 C．小李这一周用于主食的支出比用于通信的支出高 D．小李这一周用于主食和蔬菜的总支出比日常支出高 5（2023·河南·二模）某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图：  用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（    ） A．44~56周岁人群理财人数最多 B．18~30周岁人群理财总费用最少 C．B理财产品更受理财人青睐 D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高 6（多选）（2021·山东日照·二模）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：    用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（    ） A．54周岁以上参保人数最少 B．18～29周岁人群参保总费用最少 C．丁险种更受参保人青睐 D．30周岁以上的人群约占参保人群20% 角度2 频率分布直方图 【典题1】 （2024·重庆·三模）我市开展了“暖冬计划”活动，为高海拔地区学校加装供暖器.按供暖器的达标规定：学校供暖器的噪声不能超过50分贝、热效率不能低于某地采购了一批符合达标要求的供暖器，经抽样检测，这批供暖器的噪声单位：分贝和热效率的频率分布直方图如图所示： 假设数据在组内均匀分布，且以相应的频率作为概率. (1)求a，b的值； (2)如果供暖器的噪声与热效率是独立的，从这批供暖器中随机抽2件，求恰有1件噪声不超过25分贝且热效率不低于的概率； (3)当，设供暖器的噪声不超过（分贝）的概率为，供暖器的热效率不低于的概率为，求的取值范围. 【巩固练习】 1. （2024·陕西渭南·模拟预测）在某次高中数学模拟考试中，对800名考生的考试成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间分别为，，，，，.若考生成绩在内的人数为，考生成绩在内的人数为，则（    ） A．20 B．10 C．60 D．40 2（2023·四川绵阳·模拟预测）某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间内，按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（    ） A．20 B．30 C．60 D．88 3（2024·河北石家庄·三模）为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数的值为 ． 4（2023·云南·二模）某大学有男生名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校名男生的体重，并将这名男生的体重（单位：）分成以下六组：、、、、、，绘制成如下的频率分布直方图： 该校体重（单位：）在区间上的男生大约有 人． 5（2024·吉林·模拟预测）在新时代改革开放的浪潮中，吉林省践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”的发展理念，绘就了“一山一水一通道”的四季旅游璀璨画卷，形成了“一山两湖三江四季”的旅游IP矩阵．吉林某校为促进学生对家乡山水人文的了解，组织学生参加知识竞赛，比赛分为初赛和决赛，根据初赛成绩，仅有的学生能进入决赛．现从参加初赛的学生中随机抽取名，记录并将成绩分成以下组：，，，，，，得到如下图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并由此估计进入决赛学生的初赛成绩最低分； (2)从样本成绩在内的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取人，再从这人中任意抽取人访谈，求至多有一人成绩在内的概率． 6（2024·贵州贵阳·二模）某工生产某电子产品配件，关键接线环节需要焊接，焊接是否成功将直接导致产品“合格”与“不合格”，工厂经过大量后期出广检测发现“不合格”产品和“合格”产品的某性能指标有明显差异，统计得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值k，将该指标大于k的产品判定为“不合格”，小于或等于k的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏检率时，求临界值和错检率； (2)设函数，当时，求的解析式． 1（2022·天津·高考真题）将1916到2015年的全球年平均气温（单位：），共100个数据，分成6组：，并整理得到如下的频率分布直方图，则全球年平均气温在区间内的有（    ） A．22年 B．23年 C．25年 D．35年 2（2021·全国·高考真题）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（    ） A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 3（2023·全国·高考真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 随机抽样、统计图表 1 简单随机抽样 一般地，设一个总体含有个个体，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，则这样的抽样方法叫做简单随机抽样,方法有抽签法和随机数表法. 2 总体平均数与样本平均数 一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，则称 为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的个变量值中，不同的值共有个，不妨记为,其中出现的频数,则总体均值还可以写成加权平均数的形式 如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为,则称 为样本均值，又称样本平均数. 3 分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分为若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样. 4 总体取值规律的估计 ① 频率直方图 (1) 画频率直方图的步骤 求极差--决定组距与组数--将数据分组--列频率分布表--画频率分布直方图. (2) 小长方形的面积=频率 (3) 在直方图中，各小长方形的面积之和等于. 【题型1】 简单随机抽样及其应用 【典题1】 （2024·云南·二模）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学生编号为（    ） 0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617 A．51 B．25 C．32 D．12 【答案】A 【分析】根据给定信息，利用随机数表抽样法规则，依次写出前6个符合要求的编号即可. 【详解】依题意，前6个编号依次为：31，32，43，25，12，51， 所以选出来的第6个号码所对应的学生编号为51. 故选：A 【巩固练习】 1. （2024·福建泉州·模拟预测）从一个含有个个体的总体中抽取一容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，三者关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽样的概念，每个个体被抽中的概率是均等的，进而即可选择答案. 【详解】因为在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为， 所以. 故选：B. 2（2024·四川成都·模拟预测）用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据简单随机抽样的等可能性，即可判断和选择. 【详解】总体有10个个体，从中抽取第一个，若为，则其可能性为，若不为，则其可能性为； 抽取第二个，若其为，则第一次一定不是，再从9个个体中抽取1个，且为，则其可能性为. 综上所述，某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是. 故选：A. 3（2024·陕西西安·一模）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ） 32 21 18 34 29  78 64 54 07 32  52 42 06 44 38  12 23 43 56 77  35 78 90 56 42 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 04 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 A．623 B．328 C．072 D．457 【答案】A 【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可 【详解】从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数为253，第二个数是313， 第三个数是457，下一个数是860，不符合要求， 下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复， 第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确. 故选：A. 【题型2】 分层随机抽样及其应用 【典题1】 （2022·四川内江·模拟预测）某高中为了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的学生进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成如图所示的饼图．现从这些学生中抽出100人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法不正确的是（    ） A．若按专业类型进行分层抽样，则张三被抽到的可能性比李四大 B．若按专业类型进行分层抽样，则理学专业和工学专业应分别抽取30人和20人 C．采用分层抽样比简单随机抽样更合理 D．该问题中的样本容量为100 【答案】A 【分析】由分层抽样的特点以及它的定义判断选项A、B、C,利用样本容量的定义判断选项D. 【详解】对于选项A，理学比工学抽取的人数多，但张三和李四作为一个个体被柚到的概率相等， 故张三与李四被抽到的可能性一样大，故A错误； 对于选项B，理学专业应抽取的人数为，工学专业应抽取的人数为，故B正确； 对于选项C，因为各专业差异比较大，所以采用分层抽样比简单随机抽样更合理，故C正确； 对于选项D，该问题中的样本容量为100，故D正确． 故选：A． 【巩固练习】 1. （2023·湖南岳阳·模拟预测）现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（    ） A．①②都采用简单随机抽样 B．①②都采用分层随机抽样 C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 【答案】C 【分析】由简单随机抽样、分层随机抽样的概念即可判断. 【详解】由题意对于①，40台刚出厂的大型挖掘机被抽取的可能性一样，故为简单随机抽样， 对于②，为了研究血型与色弱的关系，说明某校800名学生被抽取的可能性要按照血型比例分层抽取，故为分层随机抽样. 故选：C. 2（2024·湖北·模拟预测）从一个容量为的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由简单随机和随机抽样，每个个体被抽中的概率相等的特点可得答案． 【详解】 随机抽样每个个体被抽到的概率相等， 选取分层抽样抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为， 故选：A 3（2024·江西南昌·模拟预测）已知三种不同型号的产品数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽取容量为的样本，若样本中型号产品有件，则为（    ） A．60 B．70 C．80 D．90 【答案】B 【分析】由条件确定型号产品的抽样比，再根据频数，频率，样本容量的关系求. 【详解】因为三种不同型号的产品数量之比依次为， 且用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本， 所以型号产品被抽的抽样比为：， 因为型号产品有件，所以，解得. 故选：B. 4（2024·河南驻马店·二模）电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（    ） A．6人 B．9人 C．12人 D．18人 【答案】B 【分析】根据题意可以计算出分层随机抽样的抽样比例，进而计算出中年人和青年人的人数，进而可以知道中年人比青少年多多少个. 【详解】设中年人抽取人，青少年抽取人，由分层随机抽样可知 ， 解得，故中年人比青少年多9人. 故选:B. 5（2024·重庆·三模）重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分层抽样的性质计算即可。 【详解】为保证调研结果的代表性，设从该校去年招收的成渝地区学生中抽取n人， 则， 解得， 即从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为 故选：C 【题型3】 统计图表 角度1 扇形图、条形图、折线图 【典题1】 （2024·四川遂宁·三模）某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（    ） A．快递行业从业人员中，“90后”占一半以上 B．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20% C．快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多 D．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多 【答案】D 【分析】根据两个图，结合选项，即可判断. 【详解】由题图可知，快递行业从业人员中，“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确； 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为，超过20%， 所以快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90”后的人数超过总人数的20%；B正确； 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为，超过“80前”的人数占总人数的百分比，C正确； 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为22.176%，小于“80后”的人数占总人数的百分比，但“80后”从事技术岗位的人数占“80后”人数的比未知，D不一定正确． 故选：D 【巩固练习】 1. （2022·安徽马鞍山·模拟预测）下图为国家统计局给出的2016-2020年福利彩票销售额、增长率及筹集公益金情况统计图，则下列说法正确的是（    ）    A．2016-2020年福利彩票销售额呈递减趋势 B．2016-2020年福利彩票销售额的年增长率呈递减趋势 C．2016-2020年福利彩票销售额、筹集公益金均在2018年取得最大值 D．2017-2018年福利彩票销售额增长的最多 【答案】C 【分析】根据给定的条形图及折线图，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，2016-2020年福利彩票销售额先递增后递减，A错误； 对于B，2016-2020年福利彩票销售额的年增长率先递增后递减，B错误； 对于C，2016-2020年福利彩票销售额、筹集公益金均在2018年取得最大值，C正确； 对于D，2017-2018年福利彩票销售额增长75.8亿元，2016-2017年福利彩票销售额增长104.9亿元，D错误. 故选：C 2（2024·江西·二模）下图是我国年纯电动汽车销量统计情况，则下列说法错误的是（    ）    A．我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B．这六年销量的第60百分位数为536.5万辆 C．2020年销量高于这六年销量的平均值 D．这六年增长率最大的为2019年至2020年 【答案】C 【分析】根据条形图数据一一分析即可. 【详解】对于A，从条形图中看出，纯电动汽车销量逐年递增，故A正确； 对于B，因为，将所有汽车销量数据从小到大排序， 所以销量的第60百分位数为第4个数据，即536.5，故B正确； 对于C，这六年销量的平均数为，故C错误； 对于D，因为2019年至2020年的增长率为，超过其他年份的增长率，故D正确. 故选：C． 3（2024·河北保定·二模）下图为2020年~2023年某国星级酒店数量､营业收入及餐饮收入比重，根据该图，下列结论错误的是（    ） A．2020年~2023年某国星级酒店数量逐年减少 B．2020年~2023年某国星级酒店营业收入最高不超过2000亿元 C．2020年~2023年某国星级酒店餐饮收入比重最高的是2021年 D．2020年~2023年某国星级酒店餐饮收入比重的极差是1.54% 【答案】D 【分析】借助图表逐项分析即可得. 【详解】对A：2020年~2023年某国星级酒店数量依次为：， 逐年减少，故A正确； 对B：2020年~2023年某国星级酒店营业收入最高为1907.77亿元，故B正确； 对C：2020年~2023年某国星级酒店餐饮收入比重最高的是2021年，故C正确； 对D：2020年年某国星级酒店餐饮收入比重的极差是， 故D错误. 故选：D. 4（2024·甘肃·一模）小李一周的总开支分布如图（1）所示，其中一周的食品开支如图（2）所示，则以下判断错误的是（    ）    A．小李这一周用于肉蛋奶的支出高于用于娱乐的支出 B．小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中是最少的 C．小李这一周用于主食的支出比用于通信的支出高 D．小李这一周用于主食和蔬菜的总支出比日常支出高 【答案】D 【分析】条形图各支出占食品支出的比例乘以即是条形图各支出占总支出的比例，由此关系即可逐一判断每一个选项. 【详解】对于A，肉蛋奶的支出占食品开支的， 从而小李这一周用于肉蛋奶的支出占比（总开支是单位1）与用于娱乐的支出占比（总开支是单位1）大小关系为，故A描述正确，不符合题意； 对于B，小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中占比为， 对比其他类型的支出占比可知，B描述正确，不符合题意； 对于C，小李这一周用于主食的支出占比（总开支是单位1）与通信的支出占比（总开支是单位1）的大小关系为， ，故C描述正确，不符合题意； 对于D，小李这一周用于主食和蔬菜的总支出占比（总开支是单位1）与日常支出占比（总开支是单位1）的大小关系为， ，故D描述错误，符合题意. 故选：D. 5（2023·河南·二模）某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图：    用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（    ） A．44~56周岁人群理财人数最多 B．18~30周岁人群理财总费用最少 C．B理财产品更受理财人青睐 D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高 【答案】B 【分析】A.由扇形图判断；B.设总人数为a，按照扇形图得到各段人数，再由折线图求解判断；C.利用条形图判断；D.利用折线图判断. 【详解】A.44~56周岁人群理财人数所占比例是37%，是最多的，故正确； B.设总人数为a， 则18~30周岁人群的人均理财费用约为， 31~43周岁人群的人均理财费用约为， 44~56周岁人群的人均理财费用约为， 57周岁人群的人均理财费用约为， 所以57周岁及以上人群的人均理财费用最少，故错误； C.由条形图可知：B理财产品更受理财人青睐，故正确； D.由折线图知：年龄越大的年龄段的人均理财费用越高，故正确， 故选：B 6（多选）（2021·山东日照·二模）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：    用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（    ） A．54周岁以上参保人数最少 B．18～29周岁人群参保总费用最少 C．丁险种更受参保人青睐 D．30周岁以上的人群约占参保人群20% 【答案】AC 【分析】A选项，根据扇形统计图可得A正确；B选项，从扇形统计图和折线统计图计算出54周岁以上人群参保总费用比18～29周岁人群参保总费用低，B错误；C选项，从条形统计图可得C正确；D选项，从扇形统计图可得到D错误. 【详解】设抽查的5个险种参保客户的总人数为， A选项，从扇形图可得到54周岁以上参保人数占比为，人数最少，A正确； B选项，18～29周岁人群人均参保费用高于3500元，故参保总费用高于， 54周岁以上人群人均参保费用为6000元，故参保总费用为， 由于，故18～29周岁人群参保总费用不是最少的，B错误； C选项，从条形统计图可看出丁险种所占比例为，比其他险种均高，故更受参保人青睐，C正确； D选项，30周岁以上的人群约占参保人群为，D错误. 故选：AC 角度2 频率分布直方图 【典题1】 （2024·重庆·三模）我市开展了“暖冬计划”活动，为高海拔地区学校加装供暖器.按供暖器的达标规定：学校供暖器的噪声不能超过50分贝、热效率不能低于某地采购了一批符合达标要求的供暖器，经抽样检测，这批供暖器的噪声单位：分贝和热效率的频率分布直方图如图所示： 假设数据在组内均匀分布，且以相应的频率作为概率. (1)求a，b的值； (2)如果供暖器的噪声与热效率是独立的，从这批供暖器中随机抽2件，求恰有1件噪声不超过25分贝且热效率不低于的概率； (3)当，设供暖器的噪声不超过（分贝）的概率为，供暖器的热效率不低于的概率为，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出，； （2）由事件的独立性求出每1件供暖器噪声和热效率符合题意的概率为，从而得到抽2件中恰有1件符合题意的概率； （3）计算出，分，两种情况，计算出，并根据单调性求出值域，求出答案. 【详解】（1）由题意得， 解得， ， 解得； （2）供暖器的噪声不超过25分贝的概率为， 其热效率不低于的概率为， 每1件供暖器噪声和热效率符合题意的概率为， 抽2件中恰有1件符合题意的概率为； （3）， ，则， 当 ，则 当，， ，则， 的取值范围是 【巩固练习】 1. （2024·陕西渭南·模拟预测）在某次高中数学模拟考试中，对800名考生的考试成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间分别为，，，，，.若考生成绩在内的人数为，考生成绩在内的人数为，则（    ） A．20 B．10 C．60 D．40 【答案】D 【分析】由频率分布直方图求出、，即可得解. 【详解】由频率分布直方图可得，， 所以. 故选：D. 2（2023·四川绵阳·模拟预测）某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间内，按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（    ） A．20 B．30 C．60 D．88 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图求高度不低于的频率和频数即可． 【详解】由频率分布直方图知，高度不低于的频率为， 所以选取的农作物样本苗中“优质苗”株数为． 故选：C． 3（2024·河北石家庄·三模）为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数的值为 ． 【答案】 【分析】利用直方图直方块总面积为，进行运算解出即可. 【详解】由直方图可知：组距为， 所以， 解得. 故答案为：. 4（2023·云南·二模）某大学有男生名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校名男生的体重，并将这名男生的体重（单位：）分成以下六组：、、、、、，绘制成如下的频率分布直方图： 该校体重（单位：）在区间上的男生大约有 人． 【答案】 【分析】将体重（单位：）在区间上的男生所占的频率乘以可得结果. 【详解】由频率分布直方图可知，该校体重（单位：）在区间上的男生的人数为 . 故答案为：. 5（2024·吉林·模拟预测）在新时代改革开放的浪潮中，吉林省践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”的发展理念，绘就了“一山一水一通道”的四季旅游璀璨画卷，形成了“一山两湖三江四季”的旅游IP矩阵．吉林某校为促进学生对家乡山水人文的了解，组织学生参加知识竞赛，比赛分为初赛和决赛，根据初赛成绩，仅有的学生能进入决赛．现从参加初赛的学生中随机抽取名，记录并将成绩分成以下组：，，，，，，得到如下图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并由此估计进入决赛学生的初赛成绩最低分； (2)从样本成绩在内的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取人，再从这人中任意抽取人访谈，求至多有一人成绩在内的概率． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据频率直方图频率和为即可求出的值，根据频率分布直方图结合百分位数的方法即可求进入决赛学生的初赛成绩最低分； （2）首先利用分层抽样得到抽取成绩在的人数，再利用古典概型结合对立事件概率的求法进行求解即可. 【详解】（1）由题，解得， 根据初赛成绩，仅有的学生能进入决赛， 又成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 因此可估计进入决赛学生的初赛成绩最低分应该在之间， 则，解得. （2）由成绩在的频率为，在的频率为，在的频率为， 则从样本成绩在内的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取人中， 在的人数为：（人），在的人数为人， 则从这人中任意抽取人访谈，至多有一人成绩在内的概率为. 6（2024·贵州贵阳·二模）某工生产某电子产品配件，关键接线环节需要焊接，焊接是否成功将直接导致产品“合格”与“不合格”，工厂经过大量后期出广检测发现“不合格”产品和“合格”产品的某性能指标有明显差异，统计得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值k，将该指标大于k的产品判定为“不合格”，小于或等于k的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏检率时，求临界值和错检率； (2)设函数，当时，求的解析式． 【答案】(1)，错检率； (2) 【分析】（1）由求出临界值的值，进而求出错检率； （2）分和两种情况讨论，结合频率分布直方图求出． 【详解】（1）依题可知，第一个图形中第一个小矩形面积为， 所以， 所以，解得临界值， 于是错检率； （2）当时，，， 所以， 当时，，， 所以， 故． 1（2022·天津·高考真题）将1916到2015年的全球年平均气温（单位：），共100个数据，分成6组：，并整理得到如下的频率分布直方图，则全球年平均气温在区间内的有（    ） A．22年 B．23年 C．25年 D．35年 【答案】B 【分析】由频率分布直方图可得所求区间的频率，进而可以求得结果. 【详解】全球年平均气温在区间内的频率为， 则全球年平均气温在区间内的有年. 故选：B. 2（2021·全国·高考真题）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（    ） A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】C 【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C. 【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确； 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确； 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误. 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C. 【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于. 3（2023·全国·高考真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 【答案】(1)，； (2)，最小值为． 【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出，再根据第二个图求出的矩形面积即可解出； （2）根据题意确定分段点，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出． 【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以， 所以，解得：， ． （2）当时， ； 当时， , 故， 所以在区间的最小值为． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$