第07讲 抛物线(讲义)- 2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第07讲 抛物线 1 定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线，定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线. 2 几何性质 标准方程 图象 顶点 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点 准线方程 离心率 3 一些常见结论 ① 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于两点的线段称为抛物线的“通径”，即. ② 若在抛物线上是焦点，则. 4直线与圆锥曲线的位置关系 设直线，圆锥曲线，把两者方程联立得到方程组，消元得到一个关于的方程. ① 当时， 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点相交; 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点相切; 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点相离. ② 当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 5 直线与圆锥曲线的弦长公式 (1)直线与圆锥曲线相交于，则 或 ， (，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) (2) 抛物线的焦点弦长 为弦所在直线的倾斜角.(其他形式的抛物线类似) 【题型1】 抛物线的定义及其应用 【典题1】 （2024·四川·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2024·江西·模拟预测）若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的2倍．则（    ） A． B．1 C． D．2 2（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 3已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．5 B． C．6 D． 4（2024·北京西城·三模）点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【题型2】 抛物线的标准方程 【典题1】（2025·全国·专练） 求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点F关于准线的对称点为； (2)关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12． 【巩固练习】 1. （2024·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2（2024·河南·模拟预测）已知为坐标原点，为抛物线（）的焦点，点在上，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点A、B，交其准线于C，与准线垂直且垂足为，若，则此抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 4（2025·全国·专练）已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线交于，两点．若，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 【题型3】 抛物线的简单几何性质 【典题1】 （2024·湖南邵阳·三模）已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，点在上且位于第一象限，，则（    ） A． B． C． D． 【典题2】（多选）（2024·吉林长春·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A，B在C上（A在第一象限），点Q在l上，以为直径的圆过焦点F，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．，则 【巩固练习】 1. （2024·山东泰安·二模）设抛物线的焦点为，过抛物线上点作准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 2（2024·河南南阳·一模）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 3（2025·安徽·一模）抛物线的焦点为，准线与轴的交点为．过点作直线与抛物线交于两点，其中点A在点B的右边．若的面积为，则等于（    ） A． B．1 C．2 D． 4（2024·湖南益阳·一模）已知抛物线，的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是等腰三角形 C．存在四边形是菱形 D．存在四边形是矩形 5（多选）（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某曲线C的方程为，下列说法正确的是（    ） A．曲线C关于对称 B．曲线C上的点的纵坐标的最大值是2 C．曲线C与直线交于A、B两点，则 D．点在曲线C上，则的取值范围为 6（多选）（2023·山西·模拟预测）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B． C． D．的面积等于的面积 【题型4】 最值与范围问题 【典题1】 （2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【巩固练习】 1. （2024·四川成都·模拟预测）设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 2（2024·海南海口·模拟预测）已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 3（2024·河南南阳·模拟预测）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 4（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆，点，若点分别在上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型5】 直线与抛物线的综合 【典题1】 （多选）（2023·广东·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，为C上位于直线右侧的一个动点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（k表示斜率，S表示面积）（    ） A．若，，，则 B．若满足，则 C．若直线MF交C于另一点P，则 D．若直线l交C于A，B两点，且，则 【典题2】（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线的准线过点， (1)求抛物线的标准方程; (2)若角为锐角，以角为倾斜角的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A、B两点，作线段的垂直平分线交轴于点，证明:为定值，并求此定值. 【巩固练习】 1（2024·云南大理·模拟预测）已知抛物线：上存在两点，关于直线：对称，若，则（    ） A．5 B． C．4 D． 2（多选）（2024·河南周口·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．为定值 D．为钝角三角形 3（多选）（2025·黑龙江大庆·一模）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（   ） A．的斜率为 B．是锐角三角形 C．四边形的面积是 D． 4（2023·四川绵阳·三模）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点， 直线与交于两点， 则的最小值为 5（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上． (1)证明：以R为切点的的切线的斜率为； (2)过外一点A（不在x轴上）作的切线AB、AC，点B、C为切点，作平行于BC的切线（切点为D），点、分别是与AB、AC的交点（如图）． （i）若直线AD与BC的交点为E，证明：D是AE的中点； （ii）设三角形△ABC面积为S，若将由过外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如．再由点、确定的切线三角形，，并依这样的方法不断作1，2，4，…，个切线三角形，证明：这些“切线三角形”的面积之和小于． 6（2024·吉林·模拟预测）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点且斜率存在的直线族，表示斜率为1的直线族.直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)若直线族的包络曲线是圆，求满足的关系式； (2)若点不在直线族的任意一条直线上，对于给定的实数，求的取值范围和直线族的包络曲线； (3)在（2）的条件下，过直线上一个动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线距离的最大值. 1（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ． 2（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 3（2022·全国·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 4（多选）（2024·全国·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 5（多选） （2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 6（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 7（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 抛物线 1 定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线，定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线. 2 几何性质 标准方程 图象 顶点 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点 准线方程 离心率 3 一些常见结论 ① 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于两点的线段称为抛物线的“通径”，即. ② 若在抛物线上是焦点，则. 4直线与圆锥曲线的位置关系 设直线，圆锥曲线，把两者方程联立得到方程组，消元得到一个关于的方程. ① 当时， 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点相交; 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点相切; 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点相离. ② 当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 5 直线与圆锥曲线的弦长公式 (1)直线与圆锥曲线相交于，则 或 ， (，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) (2) 抛物线的焦点弦长 为弦所在直线的倾斜角.(其他形式的抛物线类似) 【题型1】 抛物线的定义及其应用 【典题1】 （2024·四川·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线l的方程，联立其与抛物线方程可得韦达定理，再由可得，即可求得、，结合抛物线定义可得求解即可. 【详解】如图所示，    设，，不妨设，设直线l的方程：， 消去x得，， 所以，， 由可得， 所以由上边三式可解得，，， 所以由抛物线定义可知. 故选：D． 【巩固练习】 1. （2024·江西·模拟预测）若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的2倍．则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点到焦点的距离，根据题意得到关于的方程，求解即可． 【详解】已知拋物线的方程为，可得． 所以焦点为，准线为：． 抛物线上一点到焦点F的距离等于到准线的距离， 即， 又∵A到x轴的距离为， 由已知得，解得． 故选：D． 2（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】确定抛物线的焦点和准线，根据得到，计算面积得到答案. 【详解】 因为抛物线的焦点为，准线方程为， 所以，故， 不妨设在第一象限，故， 所以. 故选：C. 3已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据点P的位置以及切线长可解得点横坐标为5，再由焦半径公式可得结果. 【详解】设点，由圆的方程可知圆心，半径； 又切线长为，可得， 即，解得，可得； 再由抛物线定义可得点P到M的准线的距离为. 故选：C 4（2024·北京西城·三模）点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】设，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由可得为的重心，从而可求出，再根据抛物线的定义可求得结果. 【详解】设， 由，得，所以，准线方程为， 因为，所以为的重心， 所以，所以， 所以 ， 故选：C 【题型2】 抛物线的标准方程 【典题1】（2025·全国·专练） 求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点F关于准线的对称点为； (2)关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可知抛物线焦点在y轴上，设其方程为，根据焦点和准线求得，即可得方程； （2）设抛物线方程为，根据弦长列式求解即可. 【详解】（1）显然抛物线焦点在y轴上， 设其方程为，焦点，准线， 依题意，，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）设抛物线方程为，由，得， 于是，解得，即， 所以所求抛物线的标准方程为. 【巩固练习】 1. （2024·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可. 【详解】设抛物线的标准方程为， 将点点代入，得，解得， 所以抛物线的标准方程是. 故选：B 2（2024·河南·模拟预测）已知为坐标原点，为抛物线（）的焦点，点在上，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义得到，利用解得，进而求得抛物线方程. 【详解】由抛物线的定义，可知，又，， 所以，得. 由点在上，得，结合，解得. 所以的方程为. 故选：A. 3（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点A、B，交其准线于C，与准线垂直且垂足为，若，则此抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作准线的垂线，设，得到，结合抛物线的定义，求得，再由，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，分别过点作准线的垂线，垂足为， 设，则， 由抛物线的定义得 ， 在直角中，可得，所以， 在直角中，因为，可得， 由，所以，解得， 因为，所以，解得，所以抛物线方程为. 故选：C. . 4（2025·全国·专练）已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线交于，两点．若，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，利用和抛物线焦半径公式的形式可构造方程组求得，进而得到抛物线方程. 【详解】过点作，垂足为． 在抛物线上，则，则…①， 由抛物线的性质可知：． ，，即， 解得：…②； 由①②得：（舍去）或，抛物线的方程是． 故选：C． 【题型3】 抛物线的简单几何性质 【典题1】 （2024·湖南邵阳·三模）已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，点在上且位于第一象限，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点在抛物线 的准线上，可得 ，得出斜率关系求出点B,最后应用两点间距离结合勾股定理计算即可. 【详解】 由点在抛物线 的准线上，可得 ，即 ， 所以抛物线 C 的方程为，焦点 ，准线方程为 ， 设则，由 ，可得，即， 整理得，又，所以，解得或， 点B位于第一象限，所以， ，且，显然不满足垂直， 所以， 所以，所以. 故选:D. 【典题2】（多选）（2024·吉林长春·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A，B在C上（A在第一象限），点Q在l上，以为直径的圆过焦点F，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．，则 【答案】ACD 【分析】由题意，利用抛物线的定义以及相似即可判断AB；结合抛物线的定义及三角形全等即可判断BD. 【详解】设在上的投影为，与轴交于点， 因为，两点均在抛物线上， 所以，因为，,故, 所以，解得，故选项A正确； 对于B，时，，, 结合， ,, 所以，解得，故B错误； 对于C:设点在上的投影为，此时，， 所以，因为，所以， 即， 则为等腰直角三角形， 此时，故C正确； 对于D，设点在上的投影为， 此时，， 所以， 因为，所以， 即， 则为等边三角形， 此时，则,，故D正确； 故选：ACD．    【点睛】关键点点睛：以及垂直关系得. 【巩固练习】 1. （2024·山东泰安·二模）设抛物线的焦点为，过抛物线上点作准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，结合正切定义以及可得，进一步即可求解. 【详解】如图所示： 设 为准线与轴的交点， 因为，且，所以， 因为，所以， 而在中，， 所以. 故选：A. 2（2024·河南南阳·一模）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意不妨设点再第一象限，则点在第四象限，则可设，再根据两点都在抛物线上，将两点的坐标用表示，再根据三点共线即可得解. 【详解】由题意，不妨设点再第一象限，则点在第四象限， 设， 因为，，所以， 则， 又两点都在抛物线上， 则，所以， ，所以， 故， 又三点共线，所以，即， 所以，解得（舍去）. 故选：B. 3（2025·安徽·一模）抛物线的焦点为，准线与轴的交点为．过点作直线与抛物线交于两点，其中点A在点B的右边．若的面积为，则等于（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】先由题得直线斜率必存在且，故由对称性不妨设得A和B在第一象限，过作轴交于点，则根据题意可得结合点，然后利用结合条件条件即得. 【详解】由题可知，，直线斜率必存在，且， 由对称性不妨设，则A和B在第一象限， 因为，所以，过作轴交于点， 则，即， 又点在上，所以即， 代入得， 整理得，即， 所以或，此时或， 因为A和B在第一象限，所以，故，    所以 ， 所以即. 故选：D. 4（2024·湖南益阳·一模）已知抛物线，的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是等腰三角形 C．存在四边形是菱形 D．存在四边形是矩形 【答案】C 【分析】设出的坐标并求得，由此对选项进行分析，结合图象求得正确答案. 【详解】依题意，线段平行于轴，不妨设在第一象限，设， 则，焦点， A选项，当时，解得，所以， 则，是直角三角形，A选项正确. B选项，当时，解得，所以， 由于，所以关于直线对称，而， 所以此时是等腰三角形. 对于CD选项，先考虑四边形是平行四边形， 则，则， 此时，， 所以四边形是矩形，不是菱形，所以C选项错误，D选项正确. 故选：C 5（多选）（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某曲线C的方程为，下列说法正确的是（    ） A．曲线C关于对称 B．曲线C上的点的纵坐标的最大值是2 C．曲线C与直线交于A、B两点，则 D．点在曲线C上，则的取值范围为 【答案】AD 【分析】对A，交换，即可判断；对B，利用判断式法即可判断；对C，将直线方程与曲线C方程联立解出点坐标即可；对D，利用基本不等式将其转化为求的范围即可. 【详解】对于A：将，互换代入曲线， 得，方程不变，所以曲线关于对称，所以A选项正确： 对于B：，即， 将其看成关于的一元二次方程，根据判别式法得， 解得，若，则，此时，故B错误. 对于C：将代入方程， 可得，即，解得或， 所以， 则，所以C选项错误； 对于D：因为， 由题意可知，即， 又因为， 所以，则，当且仅当时等号成立； 因为，则，则，当且仅当时等号成立； 则，此时， 即，所以D选项正确. 故选:AD. 6（多选）（2023·山西·模拟预测）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B． C． D．的面积等于的面积 【答案】ABD 【分析】对于A：根据题意结合抛物线的定义分析判断；对于B：设直线的方程为，利用韦达定理可得，即可得结果；对于C：整理可得，进而分析判断；对于D：整理可得，，结合题意分析证明. 【详解】对于选项A：由几何性质可知，且， 可得，所以，故A正确： 对于选项B：设直线的方程为，， 联立方程，消去y可得， 则，即， 由条件知同号，所以. 则，可得， 因为，则， 同理可得，则，故B正确； 对于选项C：因为， 可得， 当且仅当时，，故C错误； 对于选项D：设， 由，可知直线关于直线对称， 所以. 因为 ， 可得. 则， ， 所以的面积等于的面积，故D正确. 故选：ABD. 【题型4】 最值与范围问题 【典题1】 （2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即，从而得到，三点共线时和最小；再由在圆上，得到最小值. 【详解】    由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为， 因为点在抛物线上，所以， 所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小， 又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以， 故选：C. 【巩固练习】 1. （2024·四川成都·模拟预测）设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，可得，从而转化为求的值，当三点共线时，取得最小值，即可求解. 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线的定义可得， 所以， 因为 所以. 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为 故选：D 2（2024·海南海口·模拟预测）已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合二次函数的最值可求得点到直线的距离的最小值. 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 当且仅当时，取最小值. 所以，点到直线的距离的最小值是. 故选：D. 3（2024·河南南阳·模拟预测）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先联立与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件. 【详解】由题得的焦点为，设倾斜角为的直线的方程为， 与的方程联立得， 设，则，故的方程为.      由抛物线定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离， 联立抛物线与直线，化简得， 由得与相离. 分别是过点向准线、直线以及过点向直线引垂线的垂足，连接， 所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和,等号成立当且仅当点为线段与抛物线的交点， 所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为点到直线0的距离，即. 故选：D. 4（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆，点，若点分别在上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的几何性质可得，则，设，得，，进而，结合换元法和二次函数的性质即可求解. 【详解】因为焦点到准线的距离为2，所以，所以抛物线， 所以圆的圆心恰好在焦点处，所以， 设，则 ， 所以， 令，则， 所以 ， 当，即时，取得最小值，最小值为. 故选：D.    【题型5】 直线与抛物线的综合 【典题1】 （多选）（2023·广东·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，为C上位于直线右侧的一个动点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（k表示斜率，S表示面积）（    ） A．若，，，则 B．若满足，则 C．若直线MF交C于另一点P，则 D．若直线l交C于A，B两点，且，则 【答案】ABC 【分析】对于A，由可得抛物线方程，即可用表示出，结合的范围即可得的范围；对于B，借助焦半径公式与三角函数定义计算即可得；对于C，设出直线MF的方程并联立曲线，消去x可得与交点纵坐标有关韦达定理，再借助面积公式计算即可得；对D：设出直线MA的方程并联立曲线，消去x可得与交点纵坐标有关韦达定理，再结合斜率计算即可得. 【详解】对于A，时，C：，， 由题可知，则，故A正确； 对于B，， 又，则，故B正确； 对于C，设直线MF的方程为，， 联立，消去x得，则，， ， 当时取等号，又，则，故C正确； 对于D，设，，， 设直线MA的方程为，联立可得， 则，同理，则， ∴，当且仅当时，， 而当时，，不满足题意，故，故D错误． 故选：ABC 【典题2】（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线的准线过点， (1)求抛物线的标准方程; (2)若角为锐角，以角为倾斜角的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A、B两点，作线段的垂直平分线交轴于点，证明:为定值，并求此定值. 【答案】(1)y2＝8x (2)证明见解析，8 【分析】（1）根据准线过点即可求出p，进而可知抛物线标准方程； （2）假设直线的方程，与抛物线联立，进而可以得到与其中垂线的交点坐标，进而可以表示出中垂线方程，进而求点的坐标，再求即可. 【详解】（1）解:(1)由题意得 ∴抛物线的方程为 （2）设，直线的斜率为 则直线方程为 将此式代入，得， 故 设的中垂线为直线m，设直线m与的交点为 则 故直线m的方程为 令得点P的横坐标为 故 ∴为定值8 【巩固练习】 1（2024·云南大理·模拟预测）已知抛物线：上存在两点，关于直线：对称，若，则（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】设直线为，联立抛物线可得与交点横坐标有关韦达定理，结合题目条件可计算出直线方程，再借助线段的中点在上计算即可得. 【详解】设直线为，代入抛物线得， 则，，∴， 直线为，线段的中点记为， 则，. 又中点在上，∴. 故选：B. 2（多选）（2024·河南周口·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．为定值 D．为钝角三角形 【答案】BCD 【分析】根据题意得到抛物线方程为，对于A，设过点的动直线的方程为，联立抛物线方程，由韦达定理有，，结合弦长公式判断即可；对于BC，由已知得的值，结合抛物线定义、韦达定理即可判断；对于D，只需判断是否成立即可. 【详解】由题意可知，，所以，则，其准线方程为.    对于A，设过点的动直线的方程为，代入得，，， 设，，则，， 则 ，当且仅当时等号成立，A错误； 对于B，由得，，解得， 所以 ，B正确； 对于C，为定值，C正确； 对于D， ，所以为钝角，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：判断BCD选项的关键在于利用韦达定理、抛物线定义进行适当转换，从而得到想要的结果. 3（多选）（2025·黑龙江大庆·一模）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（   ） A．的斜率为 B．是锐角三角形 C．四边形的面积是 D． 【答案】ABD 【分析】根据题意分析可知为等边三角形，即可得直线的倾斜角和斜率，进而判断A；可知直线的方程，联立方程求点的坐标，求相应长度，结合长度判断BD；根据面积关系判断C. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即，    设， 则，可得， 因为，即， 可知为等边三角形，即， 且∥x轴，可知直线的倾斜角为，斜率为，故A正确； 则直线， 联立方程，解得或， 即，，则， 可得， 在中，，且， 可知为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确； 四边形的面积为，故C错误； 因为，所以，故D正确； 故选：ABD. 4（2023·四川绵阳·三模）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点， 直线与交于两点， 则的最小值为 【答案】8 【分析】先设直线联立方程得出韦达定理，应用弦长公式得出，再结合垂直斜率关系得出，最后应用基本不等式得出弦长和的最小值即可. 【详解】由题意知，直线的斜率都存在且不为 0，， 设， 则直线的斜率为，联立方程得， 消去得，设， 则． 所以 同理，用替换可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为8． 故答案为：8. 5（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上． (1)证明：以R为切点的的切线的斜率为； (2)过外一点A（不在x轴上）作的切线AB、AC，点B、C为切点，作平行于BC的切线（切点为D），点、分别是与AB、AC的交点（如图）． （i）若直线AD与BC的交点为E，证明：D是AE的中点； （ii）设三角形△ABC面积为S，若将由过外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如．再由点、确定的切线三角形，，并依这样的方法不断作1，2，4，…，个切线三角形，证明：这些“切线三角形”的面积之和小于． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)（i）证明过程见解析；（ii）证明过程见解析 【分析】（1）设出切线方程并和抛物线联立，再由方程有唯一解得到结论； （2）使用（1）的结论即可直接得到（i）的结论；求出每次作的切线三角形的面积与前一次作的切线三角形的面积的比值，从而确定每个切线三角形的面积，然后即可证明（ii）. 【详解】（1）设是以为切点的的切线，则. 由于该直线和有唯一公共点，故联立后的方程组只有唯一解. 从而将第一个方程代入第二个，得到的方程只有唯一解. 此方程展开即为，从而，所以. （2）（i）设，，则. 根据上一小问的结论，可知在和处的切线分别是和. 联立两直线解得，所以. 由于不在轴上，所以，故，所以的纵坐标是，从而. 而，在外，在上，所以直线的方程是. 这表明该直线通过的中点，所以直线与的交点就是的中点，即. 而，，故的中点坐标为，这就是点的坐标，所以是的中点. （ii） 由于是的中点，和平行，故分别是的中点. 所以，. 首先有. 从而，. 而，故根据点的一般性可知对外的任意一点，该点确定的切线三角形的面积为. 再由，，可知，同理. 这就表明，不断作个切线三角形后，第次作的所有切线三角形的面积均为任意一个第次作的切线三角形的面积的. 而，所以第次作的切线三角形的面积均为. 设所有切线三角形的面积之和为，由于第次作的切线三角形的个数为，故. 从而，这就得到 ， 所以，即，结论得证. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对抛物线性质的使用和探究. 6（2024·吉林·模拟预测）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点且斜率存在的直线族，表示斜率为1的直线族.直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)若直线族的包络曲线是圆，求满足的关系式； (2)若点不在直线族的任意一条直线上，对于给定的实数，求的取值范围和直线族的包络曲线； (3)在（2）的条件下，过直线上一个动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线距离的最大值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据包络曲线的定义求解即可； （2）依题意可得，方程无解，根据判别式即可得到，的关系式，进而求解即可； （3）根据（2）的结论可以得到曲线的两条切线，进而可以得到过切点的直线方程，进而可以知道直线过定点，进而求得原点到直线距离的最大值. 【详解】（1）由题可知，直线族与圆 相切即圆心到直线族的距离为4 满足的关系式为. （2）点不在直线族的任意一条直线上 则对，方程无解 即的取值范围为. 猜想：直线族的包络曲线为. 证明如下： ①设曲线上任意一点 曲线在点处的切线斜率为 曲线在点处的切线方程为， 即 令，则切线方程为 即曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. ②，直线族中的每条直线都是曲线在点处的切线. 综上①②，直线族的包络曲线为. （3）法一： 设 由（2）知，直线的方程为① 直线的方程为② 由①②得： 设直线的方程为 由得 在直线上即 直线的方程过定点 当时，原点到直线距离的最大值为. 法二： 设 由（2）知，直线的方程为，直线的方程为设，则 两点满足上述方程 直线的方程为 又在直线上 即直线过定点 当时，原点到直线距离的最大值为. 法三： 设点，则 由题意可知，过点与曲线相切的直线斜率存在， 故可设直线方程为 由联立得 且 设直线的斜率分别为，则是方程的根 则 由题意可知，直线的斜率一定存在， 设直线的方程为， 设，则 由联立得： 则 则 即 直线的方程为过定点 当时，原点到直线距离的最大值为 1（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解. 【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 2（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 3（2022·全国·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案. 【详解】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 4（多选）（2024·全国·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 5（多选） （2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项. 【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 6（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 【答案】 【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解； 【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法 令的中点为，设，，利用点差法得到， 设直线，，，求出、的坐标， 再根据求出、，即可得解； 解：令的中点为，因为，所以， 设，，则，， 所以，即 所以，即，设直线，，， 令得，令得，即，， 所以， 即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即； 故答案为： 7（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解； （2）设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解. 【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时，所以， 所以抛物线C的方程为； （2 ）设，直线， 由可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 所以 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以， 若要使最大，则，设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得， ，所以， 所以直线. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$