第06讲 双曲线(讲义) -2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第06讲 双曲线 1 定义 平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数(小于的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 如图，是双曲线上一点，|. PS 当时，轨迹仅表示双曲线的右支； 当时，轨迹仅表示双曲线的左支； 当|时，轨迹是一直线上以，为端点向外的两条射线； 当|时，轨迹不存在. 2 几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图象 标准方程 范围 或 或 顶点 轴长 虚轴长，实轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 渐近线 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 3 一些常用结论 ①通径：过焦点且垂直实轴的弦，其长度为； ②焦点到渐近线的距离是； ③焦点三角形面积； ④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 ⑤焦半径，(点在双曲线右支上) ⑥双曲线的参数方程. 4直线与圆锥曲线的位置关系 设直线，圆锥曲线，把两者方程联立得到方程组，消元得到一个关于的方程. ① 当时， 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点相交; 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点相切; 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点相离. ② 当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 5 直线与圆锥曲线的弦长公式 (1)直线与圆锥曲线相交于，则 或 ， (，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) 【题型1】 双曲线的定义 角度1 焦点三角形问题 【典题1】 （2024·四川·模拟预测）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线 的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2（2025·海南·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3（2024·陕西西安·模拟预测）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点），则的内切圆恒过定点（    ）． A． B． C． D． 角度2 最值问题 【典题1】 （2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2023·河南郑州·一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 2（2023·江西赣州·一模）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 【题型2】 双曲线的标准方程 【典题1】 （2025·全国·专练）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点为，，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2； (2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点； (3)经过点，. 【巩固练习】 1. （2024·山东济南·三模）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2（2023·全国·三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3（2024·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 4（2023·河南安阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（    ）． A． B． C． D． 【题型3】 双曲线的简单几何性质 【典题1】 （2022·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P在双曲线C的右支上，直线与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为H，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典题2】（多选）（2024·江苏常州·二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（    ） A．若直线的斜率存在，则的取值范围为 B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6 C．当时，的面积为12 D．当时， 【巩固练习】 1. （2024·内蒙古包头·三模）已知，分别为双曲线C：的左，右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于A，B两点．若，则C的离心率为（    ） A．3 B． C． D． 2（2024·广西桂林·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3（2025·全国·专练）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 4（多选）（2024·福建泉州·模拟预测）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（    ） A．C的方程为 B．C的离心率为2 C．若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为 【题型4】直线与双曲线的综合 【典题1】 （多选）（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是（    ） A．四边形ABCD一定是平行四边形 B．四边形ABCD可能为菱形 C．AB的中点可能为 D．的值可能为 【典题2】（2024·广东广州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值. 【巩固练习】 1（2024·河北·三模）如图，双曲线的左焦点为（其中），且，，直线FA分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2（2024·江苏苏州·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 3（多选）（2024·辽宁·三模）已知双曲线及直线，若与交于A，B两点，是坐标原点，且的面积为，则实数的值可能为（    ） A．0 B． C． D． 4（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点，的焦距为． (1)分别求和的方程； (2)如图，过点的直线（斜率大于0）与双曲线和的左、右两支依次相交于点、、、，证明． 5（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 6（2024·新疆喀什·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是直线：（其中是实半轴长，是半焦距）上不同于原点的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于，两点，斜率为的直线与双曲线交于，两点． (1)求的值； (2)若直线，，，的斜率分别为，，，，问是否存在点，满足，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 1（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 2（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 4（多选）（2022·全国·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5（2022·全国·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ． 6（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 7（2024·全国·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 双曲线 1 定义 平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数(小于的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 如图，是双曲线上一点，|. PS 当时，轨迹仅表示双曲线的右支； 当时，轨迹仅表示双曲线的左支； 当|时，轨迹是一直线上以，为端点向外的两条射线； 当|时，轨迹不存在. 2 几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图象 标准方程 范围 或 或 顶点 轴长 虚轴长，实轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 渐近线 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 3 一些常用结论 ①通径：过焦点且垂直实轴的弦，其长度为； ②焦点到渐近线的距离是； ③焦点三角形面积； ④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 ⑤焦半径，(点在双曲线右支上) ⑥双曲线的参数方程. 4直线与圆锥曲线的位置关系 设直线，圆锥曲线，把两者方程联立得到方程组，消元得到一个关于的方程. ① 当时， 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点相交; 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点相切; 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点相离. ② 当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 5 直线与圆锥曲线的弦长公式 (1)直线与圆锥曲线相交于，则 或 ， (，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) 【题型1】 双曲线的定义 角度1 焦点三角形问题 【典题1】 （2024·四川·模拟预测）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据双曲线的定义得到，即可表示出，，再在中利用余弦定理计算可得. 【详解】如图，由于，，且，， 设，则，故， 所以，即，则，，，， 在中由余弦定理. 故选：B 【巩固练习】 1. （2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线 的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得. 【详解】对于双曲线 ，则， 根据双曲线定义有， 又，，故． 故选：B    2（2025·海南·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义可得，又可得：，，结合，再利用余弦定理即可得解. 【详解】根据双曲线的定义得， 又因为，所以，． 又因为， 所以在中结合余弦定理的推论得： ， 因为，得的大小为． 故选：C 3（2024·陕西西安·模拟预测）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点），则的内切圆恒过定点（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的几何性质，圆的切线长定理，可得的内切圆与的切点为定点. 【详解】双曲线，，则长轴长为，焦距为， 为双曲线右支上的动点（非顶点），为双曲线的两个焦点， 设的内切圆与分别切于，如图所示，    则根据双曲线的定义及圆的性质可知：， 又，得，故为双曲线的右顶点. 同上分析，当双曲线方程为时， 为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点）， 设的内切圆与分别切于， 可知为双曲线的右顶点，此时双曲线长轴长为，右顶点坐标. 所以此时的内切圆恒过定点. 故选：B. 角度2 最值问题 【典题1】 （2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据双曲线的定义，判断点轨迹为双曲线的右支，并求出方程；再根据和把的周长转化为 的范围问题，利用三角形两边之和大于第三边求解. 【详解】由动点P到两定点，的距离之差为定值4， 结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 易得，，由得，则动点P的轨迹方程为， 如图： 又，则，且 故的周长为:， 当且仅当P，A，三点共线且点位于、之间时等号成立，故周长的最小值为． 故选：D 【巩固练习】 1. （2023·河南郑州·一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 结合双曲线定义数形结合判断取最小值时，三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q的坐标为，即可求解的值. 【详解】由双曲线定义得, 故 如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值， ，故方程为， 联立，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)， 故 故选：A 2（2023·江西赣州·一模）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义可以得出=，当三点共线时最小. 【详解】由双曲线得到,,，左焦点， 设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可. = ==. 故选：C. 【题型2】 双曲线的标准方程 【典题1】 （2025·全国·专练）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点为，，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2； (2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点； (3)经过点，. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）设出双曲线方程，根据，结合双曲线定义，即可求得结果； （2）设出双曲线方程，根据，即可求得结果； （3）设出双曲线方程，待定系数，即可求得双曲线方程. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，故可设方程为：， 又焦点为，，故可得， 又双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2，即，则， 又. 故双曲线方程为：. （2）因为双曲线焦点在轴上，故可设双曲线方程为， 又其焦距为10，故可得； 又该双曲线过点，则，故， 故双曲线方程为：. （3）不妨设双曲线方程为：， 因其过点，，故可得， 联立方程组可得：， 故所求双曲线方程为：. 【巩固练习】 1. （2024·山东济南·三模）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设双曲线的方程为，进而待定系数求解即可. 【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以，双曲线的标准方程是． 故选：A． 2（2023·全国·三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用待定系数法，分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，分别设出双曲线的标准方程，再利用条件建立方程，即可求出结果. 【详解】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点， 当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为， 若将点代入，得①， 又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为. 当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④， 联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为， 综上所述，双曲线的标准方程为或. 故选：C. 3（2024·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，由双曲线的定义可得，再由余弦定理，可得，，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】因为，由双曲线的定义可知， 所以， 由于过的直线斜率为， 所以在等腰三角形中，，则， 由余弦定理得：， 化简得，可得，即，， 可得，， 所以此双曲线的标准方程可能为：. 故选：C 4（2023·河南安阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，利用题干条件得到，，由双曲线定义得到方程，求出，进而得到，，求出双曲线方程. 【详解】设双曲线C的半焦距为．由题可知，即． 因为的中点为Q，为等边三角形， 所以，所以，， 故，所以，， 所以，所以，所以，． 所以双曲线C的方程为． 故选：A 【题型3】 双曲线的简单几何性质 【典题1】 （2022·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P在双曲线C的右支上，直线与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为H，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，由条件可证明，则，利用点到直线的距离求，在中，根据勾股定理可得，可得，即可求得双曲线的离心率. 【详解】     取的中点，连接，由条件可知， 是的中点， ， 又， ，， 根据双曲线的定义可知， ， 直线的方程是： ，即 ， 原点到直线的距离， 在中，根据勾股定理得，， 整理得 ，即 ， 解得 ，或（舍） 故选：B. 【典题2】（多选）（2024·江苏常州·二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（    ） A．若直线的斜率存在，则的取值范围为 B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6 C．当时，的面积为12 D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据双曲线的渐近线的斜率，可得判定A正确；根据双曲线的定义，求得由经过点到达点所经过的路程，可判定B正确；根据向量的数量积的运算，得到，得到，设，列出方程，求得，进而可判定C错误；在直角中，结合，可判定D正确． 【详解】如图所示，过点分别作的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为和， 对于A中，由图可知，当点均在的右支时，或，所以A正确； 对于B中，光线由经过点到达点所经过的路程为 ，所以B正确； 对于C中，由，得，即，所以， 设，则， 因为，所以，整理得， 解得或（舍去），所以，， 所以的面积，所以C错误； 对于D项，在直角中，， 所以，所以D正确． 故选：ABD． 【巩固练习】 1. （2024·内蒙古包头·三模）已知，分别为双曲线C：的左，右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于A，B两点．若，则C的离心率为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知四边形为菱形，从而求得，，再进行计算即可. 【详解】如图，连接交轴于. 根据题意易知点，关于轴对称，所以四边形为菱形，且， 故，且. 双曲线的渐近线方程为，令，得. 在中，，解得， 所以. 故选：. 2（2024·广西桂林·模拟预测）已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据点到直线得距离公式求出，在和中，求出，利用余弦相反构造的齐次式，即可得解. 【详解】，点到渐近线的距离为，即， 因为，所以，， 在中，由余弦定理得：. 在中，由余弦定理得：. 因为，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：D 3（2025·全国·专练）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式得到，再由双曲线的定义和向量的数量积为零得到，最后结合三角形的面积公式求出离心率即可. 【详解】设，则，即， 双曲线C的渐近线方程为， 所以， 又，平方后得， 又在中，由可得， 所以， 两式相减，整理得， 所以， 因为， 所以，解得． 故选：C. 4（多选）（2024·福建泉州·模拟预测）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（    ） A．C的方程为 B．C的离心率为2 C．若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为 【答案】BC 【分析】根据已知条件，结合双曲线的性质，以及内切圆的定义，即可依次计算判断. 【详解】对于A，双曲线C：的渐近线方程，则， 于是双曲线C的方程为，A错误； 对于B，双曲线C的离心率，B正确； 对于C，， ，当且仅当点为线段与双曲线上支的交点时取等号，C正确； 对于D，由点 在双曲线上支上，得，， 的周长， 设的内切圆半径为r，则，解得， 因此的内切圆面积为，D错误. 故选：BC 【题型4】直线与双曲线的综合 【典题1】 （多选）（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是（    ） A．四边形ABCD一定是平行四边形 B．四边形ABCD可能为菱形 C．AB的中点可能为 D．的值可能为 【答案】AD 【分析】根据双曲线的对称性和双曲线的结合性质，结合中点弦问题“点差法”，以及直线的夹角公式，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线的中心对称性可知，点A，B分别关于原点与C，D对称，故，， 所以四边形ABCD一定是平行四边形，而直线AC，BD斜率之积为，则AC与BD不垂直，所以四边形ABCD不可能为菱形，A正确，B错误； 设，，则，， 两式作差得， 若的中点为，可得， 代入上式，求得，故AB的方程为， 联立方程组，整理得，可得， 则，此时，故C错误； 当点A位于第一象限，点B位于第二象限， 设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为，结合双曲线渐近线， 易知，，可得， 又因为，所以的取值范围为； 当点A位于第四象限，点B位于第一象限，同理，可得的取值范围为． 综上的取值范围为，所以D正确． 故选：AD. 【典题2】（2024·广东广州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线上两点，代入方程解方程组即可得解； （2）利用“点差法”可得直线斜率与斜率关系，再由圆的性质可得斜率的关系，化简即可得证. 【详解】（1）代入双曲线上两点得，， 故，解得，， 故双曲线C标准方程为：. （2）如图， 设，， 由题知， 相减得， 又， 所以， 由为圆的一条非直径的弦，为中点得，故， 因此为定值. 【巩固练习】 1（2024·河北·三模）如图，双曲线的左焦点为（其中），且，，直线FA分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据已知条件提供的图形可知直线的斜率存在且不为零，将直线代入渐近线方程可得一元二次方程，利用根与系数的关系可求得线段MN的中点坐标，再利用等腰三角形中有，等价于两线段所在直线的斜率之积等于即可求解. 【详解】直线FA的方程为，双曲线的渐近线方程为， 此渐近线方程可以写成的形式， 联立并消去y得， 设，，由韦达定理得， 设线段MN的中点为，则，， 所以． 由得，故， 即化简得， 所以离心率为. 故选：A． 2（2024·江苏苏州·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，联立直线方程可得点坐标，再由可得，在中可得，从而得到，再由离心率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为双曲线，则其渐近线方程为， 且，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点， 则直线方程为，联立直线方程，解得， 所以，过点作轴的垂线，交轴于点， 因为，则， 则，且， 即，化简可得，则. 故选：C 3（多选）（2024·辽宁·三模）已知双曲线及直线，若与交于A，B两点，是坐标原点，且的面积为，则实数的值可能为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】AD 【分析】联立方程组，利用设而不求法，三角形面积公式表示的面积，列方程求的值． 【详解】联立，消去整理得：， 由已知，所以或， 设， 则，. 由题意，直线恒过点． ① 若，则， ② 若，则， 所以， 即， 解得或， 经检验，或均满足题意， 故或， 故选：AD. 4（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点，的焦距为． (1)分别求和的方程； (2)如图，过点的直线（斜率大于0）与双曲线和的左、右两支依次相交于点、、、，证明． 【答案】(1)：，， (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，列出等式求出的值，得到双曲线的方程，根据双曲线与双曲线渐近线相同，设出双曲线的方程，将点代入即可求出双曲线的方程； （2）设出直线的方程，将直线的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理得到与中点的横坐标为，结合在同一直线上，推出与中点重合，即可求解. 【详解】（1）由题意可知双曲线N的焦距为， 解得，即双曲线， 因为双曲线与双曲线渐近线相同， 不妨设双曲线的方程为， 因为双曲线经过点，所以， 解得， 则双曲线的方程为； （2）证明：不妨设直线的方程为 联立消去y并整理得， 此时， 当时，由韦达定理得， 当时，由韦达定理得， 所以与中点的横坐标为， 因为在同一直线上，所以与中点重合， 不妨设该点为， 此时， 则， 故 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、中点、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 5（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程； （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. 【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键. 6（2024·新疆喀什·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是直线：（其中是实半轴长，是半焦距）上不同于原点的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于，两点，斜率为的直线与双曲线交于，两点． (1)求的值； (2)若直线，，，的斜率分别为，，，，问是否存在点，满足，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)-3 (2)存在，，或 【分析】（1）设 ，利用斜率公式求解； （2）设，直线方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到 ，，结合求解. 【详解】（1）由题可得双曲线E：， 则， ∴左、右焦点分别为，，直线l的方程为： 设， ，同理可得． ∴； （2）设，如图， 直线方程为， 代入双曲线方程可得：， 所以，则， 则， ， ， ． 同理， 即， 即， ∴或， 又， 若．无解，舍去． ∴，解得，，或，， 若，，由A在直线上可得，， ∴．此时， 若，，由A在直线上可得，， ∴此时 ∴存在点，或，满足． 1（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 2（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】抛物线的准线方程为，则，则、， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 3（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 4（多选）（2022·全国·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论. 【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一   M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， 选A 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支， 所以，， ，设， 由，即，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率 选C 5（2022·全国·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ． 【答案】 【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可． 【详解】解：双曲线的渐近线为，即， 不妨取，圆，即，所以圆心为，半径， 依题意圆心到渐近线的距离， 解得或（舍去）． 故答案为：． 6（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以 ，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 7（2024·全国·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可； （2）思路一：根据等比数列的定义即可验证结论；思路二：利用点差法和合比性质即可证明； （3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路三：利用点差法得到，，再结合（2）中的结论得，最后证明出即可. 【详解】（1） 由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. （2）方法一：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根，相应的. 所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上. 所以. 这就得到，. 所以 . 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 方法二：因为，，，则， 由于，作差得， ，利用合比性质知， 因此是公比为的等比数列. （3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定） 证明： . 证毕，回到原题. 由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 而又有，， 故利用前面已经证明的结论即得 . 这就表明的取值是与无关的定值，所以. 方法二：由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 这就得到， 以及. 两式相减，即得. 移项得到. 故. 而，. 所以和平行，这就得到，即. 方法三：由于，作差得， 变形得①， 同理可得， 由（2）知是公比为的等比数列，令则②， 同时是公比为的等比数列，则③， 将②③代入①， 即，从而，即. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$