第05讲 椭圆(讲义)- 2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第05讲 椭圆 1 定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆． 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 如图：是椭圆上一点.(三角形两边之和大于第三边) 注 点的轨迹是以、为焦点的椭圆； 点的轨迹是线段； 点P的轨迹是无轨迹. 2 几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 轴长 短轴长长轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 3 一些常见结论 ① 通径：过焦点且垂直于长轴的弦，其长度为； ② 最大角，是椭圆上一点，当运动到短轴端点时，为最大角； ③ 焦点三角形面积； ④ 焦半径，； ⑤ 椭圆的参数方程. 4直线与圆锥曲线的位置关系 设直线，圆锥曲线，把两者方程联立得到方程组，消元得到一个关于的方程. ① 当时， 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点相交; 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点相切; 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点相离. ② 当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 5 直线与圆锥曲线的弦长公式 (1)直线与圆锥曲线相交于，则 或 ， (，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) 【题型1】 椭圆的定义 角度1 焦点三角形问题 【典题1】 （2024·河南驻马店·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上但不在坐标轴上，且是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【巩固练习】 1. （2023·安徽·模拟预测）已知分别为椭圆的左右焦点，点P为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，则是（    ） A． B． C． D． 2（2024·四川成都·二模）设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C．2 D． 3（2025·全国·专练）如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接PM并延长交轴于点，且 . 角度2 最值问题 【典题1】 （2023·江苏南通·三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【巩固练习】 1. （2025·全国·专练）已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D．6 【题型2】 椭圆的标准方程 【典题1】 （2025·全国·专练）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 【典题2】（2024·福建南平·二模）已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（    ） A． B． C． D．   【巩固练习】 1. （2025·全国·专练）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2. （2025·全国·专练）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3（2023·陕西西安·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4（2023·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，在上，在轴上，，以为直径的圆过，且的面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3】 椭圆的简单几何性质 【典题1】 （2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典题2】已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 . 【巩固练习】 1. （2024·湖北武汉·三模）已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为 . 3（多选）已知是椭圆：（）位于第一象限上的一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，的平分线与轴交于点，为原点，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为 B．的离心率为 C．点到轴的距离为 D． 4（多选）（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，以为直径的圆与在第一象限交于点，延长线段交于点.若，则（    ） A． B．的面积为 C．椭圆的离心率为 D．直线的斜率为 5（多选）（2024·江西南昌·三模）将椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中正确的是（   ） A． B．椭圆的离心率为 C．是椭圆的一个焦点 D． 6（2024·河北·三模）已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为，玻璃杯高为（玻璃厚度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示，表示水平桌面．当玻璃杯倾斜时，瓶内水面为椭圆形，阴影部分为瓶内水的正视图．设，则下列结论正确的是（    ） A．当时，椭圆的离心率为 B．当椭圆的离心率最大时， C．当椭圆的焦距为4时， D．当时，椭圆的焦距为6 【题型4】 直线与椭圆的综合 【典题1】 （2024·广东·二模）已知椭圆的短轴长为，焦距为.过椭圆的上端点作圆的两条切线，与椭圆分别交于另外两点，.则的面积为（    ） A． B． C． D． 【典题2】 （2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【巩固练习】 1. （2024·上海·模拟预测）已知直线与椭圆，点分别为椭圆的左右焦点，直线，，垂足分别为点（不重合），那么“直线与椭圆相切”是“”的（    ） A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 2（2024·四川·模拟预测）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（   ） A． B． C．1 D． 3（多选）已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线与直线，及轴分别交于点，则（    ） A．的周长为 B．直线，，，的斜率之积为定值 C．当时，线段的中点到直线的距离为 D．若，则的取值范围是 4 （2024·广东江苏·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 5 （2022·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 6. （2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 1（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 2（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 3（2022·全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 4（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 5（2024·全国·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 椭圆 1 定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆． 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 如图：是椭圆上一点.(三角形两边之和大于第三边) 注 点的轨迹是以、为焦点的椭圆； 点的轨迹是线段； 点P的轨迹是无轨迹. 2 几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 轴长 短轴长长轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 3 一些常见结论 ① 通径：过焦点且垂直于长轴的弦，其长度为； ② 最大角，是椭圆上一点，当运动到短轴端点时，为最大角； ③ 焦点三角形面积； ④ 焦半径，； ⑤ 椭圆的参数方程. 4直线与圆锥曲线的位置关系 设直线，圆锥曲线，把两者方程联立得到方程组，消元得到一个关于的方程. ① 当时， 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点相交; 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点相切; 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点相离. ② 当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 5 直线与圆锥曲线的弦长公式 (1)直线与圆锥曲线相交于，则 或 ， (，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) 【题型1】 椭圆的定义 角度1 焦点三角形问题 【典题1】 （2024·河南驻马店·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上但不在坐标轴上，且是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】，设，由是等腰三角形，利用余弦定理求出，可求的值. 【详解】依题意得，设， 不妨设点在第一象限，若，有， 故或， 解得或，又9，所以. 若，有，同理可得. 此时，，不符合点在第一象限， 所以. 故选：B. 【巩固练习】 1. （2023·安徽·模拟预测）已知分别为椭圆的左右焦点，点P为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义，设，得，结合圆的几何性质列方程，从而求得，然后求得. 【详解】依题意， 设，由椭圆定义得， 由于以为圆心的圆与直线恰好相切于点P， 所以，即， 整理得，得，得，所以． 故选：A 2（2024·四川成都·二模）设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义可得,再结合余弦定理可得，然后由向量数量积定义得解. 【详解】由椭圆的定义可得, 在 中，由余弦定理， 又 ,可得： ，即, 即，即， 则， 故选：A. 3（2025·全国·专练）如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点为圆与椭圆的焦点，可得，，结合条件，应用勾股定理即可得. 【详解】 连接、， 由在以为直径的圆上，故， 、在椭圆上，故有，， 设，则， 则有，， 即可得，解得， 故，则， 故. 故选：C. 4（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接PM并延长交轴于点，且 . 【答案】/ 【分析】连接，则由角平分线定理得，再结合等比性质和椭圆的定义可求得结果. 【详解】如图，连接，在和中， 因为为的内心，平分，平分， 因为， 所以利用角平分线定理可得， 所以由比例的等比性质可得，得， 因为，所以，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆定义的应用，考查解平分线定理的应用，解题的关键是根据题意利用角平分线定理得，考查数形结合的思想，属于较难题. 角度2 最值问题 【典题1】 （2023·江苏南通·三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】 利用椭圆的定义、点和圆的位置关系等知识确定正确答案. 【详解】依题意，设椭圆的左焦点为， 圆的圆心为，半径为， ， 当三点共线，且在之间时等号成立. 而， 所以， 当四点共线，且在之间，是的延长线与圆的交点时等号成立. 故选：D    【巩固练习】 1. （2025·全国·专练）已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记椭圆的右焦点为，由椭圆定义转化为，当是的延长线椭圆的交点时，可取得最大值． 【详解】，在椭圆内部，记椭圆的右焦点为，，椭圆中，在椭圆上， ，， ，当是的延长线椭圆的交点时，取等号， 所以的最大值为， 故选：B． 2（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D．6 【答案】B 【分析】由题意设椭圆的左焦点为，作出图形，结合图形和椭圆的定义可知当三点共线时取到最大值. 【详解】由题意知，，设椭圆的左焦点为， 如图，P为C上一点，Q为圆上一点，，半径为1， ， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B 【题型2】 椭圆的标准方程 【典题1】 （2025·全国·专练）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由共焦点求得，再通过点在椭圆上，列出方程即可求解； （2）通过待定系数法即可求解. 【详解】（1）因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在轴上，且． 设所求椭圆的标准方程为． 因为所求椭圆过点，所以有① 又，② 由①②解得． 故所求椭圆的标准方程为． （2）设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以，则椭圆方程. 【典题2】（2024·福建南平·二模）已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设椭圆的方程为：，由，，可求出或，代入椭圆方程化简即可得求出，即可得出答案. 【详解】因为椭圆的焦点为，， 所以设椭圆的方程为：, 设，，， 则，因为， 所以，所以， 所以，又因为， 所以，所以， 所以，所以或， 因为在上，所以，即， 解得：或，因为椭圆的焦点在轴上， 所以.故的方程为. 故选：D.    【巩固练习】 1. （2025·全国·专练）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将与椭圆焦点相同的椭圆的方程设为，再将点代入，求得的值，即可得出椭圆标准方程. 【详解】设所求椭圆方程为， 将点代入，可得，解得（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了求与已知椭圆方程有相同焦点的椭圆的标准方程，属于基础题. 2. （2025·全国·专练）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的对称性、勾股定理、椭圆的定义求得，再求得后可得标准方程． 【详解】由对称性，又， 则， 所以，，又，则， 椭圆标准方程为． 故选：B． 3（2023·陕西西安·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的周长可得，由的中点坐标求得M坐标，代入椭圆方程可得关系式，解方程可得的值，即可求得答案 【详解】因为的周长为，所以，则， 又,的中点为 ，所以M的坐标为， 故，则， 结合，，解得， 所以椭圆C的标准方程为， 故选：A 4（2023·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，在上，在轴上，，以为直径的圆过，且的面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设,表示出的面积，结合向量关系以及垂直关系，求出点，借助椭圆的定义求解即可. 【详解】 结合题意可得：，，设， 则由的面积为，得①， 由，得②． 连接以为直径的圆过，③． 由②③得， 结合①得， ， ，故椭圆的标准方程为， 故选：B． 【题型3】 椭圆的简单几何性质 【典题1】 （2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用椭圆的定义，求得的面积为，结合，求得，进而得到，代入椭圆的方程，得到，转化为，即可求解. 【详解】由椭圆，可得， 不妨设点在第一象限，由椭圆的定义知， 因为，可得，即， 可得，所以， 所以的面积为，可得，解得， 又因为，可得，即， 将点代入椭圆的方程，可得，整理得， 因为，可得，即， 解得和（舍去），即椭圆的离心率为. 故选：D. 【典题2】已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】结合题目条件可得四边形是矩形，设，由可得，又，化简计算即可得解. 【详解】如图，， 显然四边形是矩形，所以， 由题意，，所以， 设，则，所以， 又点P在第一象限，所以， 故，即，所以， 椭圆C的离心率 ， 由可得， 又， 所以， 故. 故答案为：. 【巩固练习】 1. （2024·湖北武汉·三模）已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取弦的中点D，连接，求出，结合椭圆定义即可求解． 【详解】如图，取弦的中点D，连接，则，即，因为， 所以，因为O为的中点，所以D是的中点，所以， 因为，所以OD垂直平分弦，因为，， 所以，所以， 由椭圆定义可得，， 所以，解得，， 所以离心率为， 故选：A． 2已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为 . 【答案】 【分析】先根据长轴及离心率列式求出得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点P的坐标，最后计算面积即可. 【详解】因为, 所以, 所以椭圆方程为, 设,椭圆的上、下顶点, 所以且， 所以， 所以 即得. 故答案为：. 3（多选）已知是椭圆：（）位于第一象限上的一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，的平分线与轴交于点，为原点，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的面积为 B．的离心率为 C．点到轴的距离为 D． 【答案】ACD 【分析】根据中位线及椭圆的定义，利用等边三角可求出，，再由余弦定理可得关系，即可判断B，再由三角形面积公式判断A，利用等面积法判断C，由角平分线定理求出即可判断D. 【详解】如图，设，，延长交于点.    由题意知，为的中点，则为的中点， 又，所以是等边三角形， 则化简得即 在中，由余弦定理得， 所以，即. 因为，所以，，所以，，故B错误. 的面积为，故A正确. 设点到轴的距离为，所以，则，故C正确. 因为是的平分线，所以， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD 4（多选）（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，以为直径的圆与在第一象限交于点，延长线段交于点.若，则（    ） A． B．的面积为 C．椭圆的离心率为 D．直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】对于A，结合椭圆的定义即可得解；对于B，设，结合椭圆定义，和直角三角形中勾股定理，得出，从而得出面积；对于C，在中，利用勾股定理得出a与c的齐次方程，从而得解；对于D，在中，求得，在中，求得，结合两角差的正切公式可以求得，从而得到直线的斜率. 【详解】 对于A，由椭圆的定义可得，，，又，所以，故A正确； 对于B，如图，连接，，设（），则. 因为，， 所以，. 因为为圆的直径，所以，在中，， 即，整理得， 所以，故B错误； 对于C，在中，，. 所以，即， 解得；，即，故C正确； 对于D，在中， 在中， 所以， 所以直线的斜率为．故D正确； 故选：ACD 5（多选）（2024·江西南昌·三模）将椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中正确的是（   ） A． B．椭圆的离心率为 C．是椭圆的一个焦点 D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，由椭圆的对称性，求解顶点坐标，从而可得，再由椭圆的性质对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】椭圆上所有的点绕原点旋转角， 得到椭圆的方程：， 设点在该椭圆上，则其关于的对称点代入椭圆方程有 ，即，则该对称点位于椭圆方程上， 同理其关于的对称点代入椭圆方程有 ，即，则该对称点位于椭圆方程上， 则关于对称， 所以，故D正确； 将代入可得， 可得椭圆长轴的顶点为，所以，故A正确； 将代入可得， 可得椭圆长轴的顶点为，所以， 则，则，故B错误； 所以焦点坐标为或，所以C正确； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键通过证明该非标准椭圆的对称性，从而得到的值，再按照普通椭圆的定义计算即可，也可将该过程想象成坐标系的旋转. 6（2024·河北·三模）已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为，玻璃杯高为（玻璃厚度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示，表示水平桌面．当玻璃杯倾斜时，瓶内水面为椭圆形，阴影部分为瓶内水的正视图．设，则下列结论正确的是（    ） A．当时，椭圆的离心率为 B．当椭圆的离心率最大时， C．当椭圆的焦距为4时， D．当时，椭圆的焦距为6 【答案】AD 【分析】根据，椭圆长轴为，短轴长为，求离心率判断A，由离心率最大知长轴最长可得求解判断B，由离心率求出即可判断C，由求出，再得出焦距判断D. 【详解】过作于，如图， 由，当时，在中，， 所以椭圆中，，故A正确； 因为椭圆的短轴长为定值6，，所以当椭圆的长轴最长时，椭圆的离心率最大， 由图可知，椭圆长轴为时，椭圆的长轴最长，此时，故B错误； 当椭圆的焦距为4时，，即， 所以，所以，故C错误； 当时，，所以， 由勾股定理可得，即，， 所以，所以焦距，故D正确. 故选：AD 【题型4】 直线与椭圆的综合 【典题1】 （2024·广东·二模）已知椭圆的短轴长为，焦距为.过椭圆的上端点作圆的两条切线，与椭圆分别交于另外两点，.则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的短轴长为，焦距为，求得椭圆方程，再设直线BN的方程，利用直线与圆相切，求得直线方程，与椭圆方程联立，求得M，N的坐标即可. 【详解】因为椭圆的短轴长为，焦距为， ， 所以椭圆方程为， 如图所示： 设直线BN的方程为， 则原点到直线BN的距离为， 又因为直线BN与圆相切， 所以，解得， 则直线BN的方程为， 由，解得，即， 同理求得， 所以的面积为， 故选：B 【典题2】 （2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点.    【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 【巩固练习】 1. （2024·上海·模拟预测）已知直线与椭圆，点分别为椭圆的左右焦点，直线，，垂足分别为点（不重合），那么“直线与椭圆相切”是“”的（    ） A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立，利用判别式和点到直线的距离公式求出与的关系，再根据充分性和必要性的概念求解即可. 【详解】根据题意可知直线斜率存在，设直线方程为， 联立得 当直线与椭圆相切时，，化简得， 由题意， 因为，，所以， 所以当时，， 解得或（舍去）， 所以“直线与椭圆相切”是“”的充要条件. 故选：C 2（2024·四川·模拟预测）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，即可求出椭圆方程，当直线的斜率存在时，设其方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由，可得，及，从而得到，从而得到，在根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，又， 所以，解得，所以，则椭圆方程为， 当直线的斜率存在时，设其方程为，，， 由，消去整理得， 在的条件下，可知，， 又，所以，即， 即，即， 所以， 所以，所以， 当直线的斜率不存在时，则为与轴的交点， 又，根据对称性可知， 设，则（或）， 所以，则，所以， 又，，所以，， 所以. 故选：D 3（多选）已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线与直线，及轴分别交于点，则（    ） A．的周长为 B．直线，，，的斜率之积为定值 C．当时，线段的中点到直线的距离为 D．若，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，将的周长转化为椭圆上两点到两焦点的距离即可；对于B，设，且，，结合斜率两点公式判断；对于C，直线与椭圆联立，应用韦达定理，再通过计算线段中点到直线的距离即可；对于D，由C选项的结论，设，，通过共线得，同理由共线得，结合韦达定理则，且，即可计算. 【详解】椭圆，长轴长，短轴长， 对于A，直线过椭圆的左焦点，为右焦点， 的周长为，故A错误； 对于B，设，则，， 所以，同理， 所以直线，，，的斜率之积为，故B正确； 对于C，直线与联立得， 设，则，， 线段的中点到直线的距离为， 当时，故C正确； 设，，由共线得，， 同理由共线得， 所以， 而， 则， 所以， 又，则，故D正确. 故选：BCD． 4 （2024·广东江苏·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程。 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2），则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 5 （2022·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可； （2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解. 【详解】（1）解：设椭圆E的方程为，过， 则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. （2），所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到.求得HN方程： ，过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， 可得，， 且 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得 显然成立， 综上，可得直线HN过定点 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 6. （2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合题意得到，，再结合，解之即可； （2）依题意求得直线、与的方程，从而求得点的坐标，进而求得，再根据题意求得，得到，由此得解. 【详解】（1）依题意，得，则， 又分别为椭圆上下顶点，，所以，即， 所以，即，则， 所以椭圆的方程为. （2）因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则，        易得，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立，解得，即， 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即， 又，则，， 所以 ， 又，即， 显然，与不重合，所以. 1（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 2（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 3（2022·全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解. 【详解】解：因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B. 4（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出； 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 方法二： 因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 5（2024·全国·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据的坐标及 轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴. 【详解】（1）设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$