第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系(讲义) -2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 1直线、圆的位置关系 三种位置关系 根据与的关系判断(为圆心到直线的距离，为圆的半径.) · 相离没有公共点 ; · 相切只有一个公共点 · 相交有两个公共点 联立方程求判别式的方法 联立直线方程与圆的方程求解，通过解的个数来判断： · 当 时，直线与圆有个交点，直线与圆相交； · 当时，直线与圆只有个交点，直线与圆相切； · 当 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. 圆上一点到圆外一直线的距离 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 2 弦长 弦长公式：(是圆的半径，是圆心到直线的距离). 利用垂径定理及勾股定理可以得到. 【题型1】 直线与圆的位置关系 【典题1】 （2024·重庆·三模）已知从点发出的光线经轴反射，反射光线与圆相切，其反射光线的斜率为（    ） A． B．2 C．或2 D．或 【巩固练习】 1. （2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 2. （2024·山东烟台·三模）若圆与轴没有交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3 3（2023·上海宝山·三模）已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为 . 【题型2】 圆的切线方程问题 【典题1】 （2024·河北邢台·一模）已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则 ，该直线的方程为 ． 【巩固练习】 1. （2024·广西玉林·二模）直线是圆在处的切线，点是圆上的动点，则到的距离的最小值等于（    ） A． B． C． D． 2. 作圆上一点处的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 3（2025·全国·专练）已知圆O：x2＋y2＝1，设点P（t，4）为直线y＝4上一点，过点P作圆O的切线，切点分别为M，N，则直线MN所过定点的坐标为 . 【题型3】 圆的切线长 【典题1】 （2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【巩固练习】 1（2024·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆，为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点为点，当最小时，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D．3 2（2024·浙江绍兴·二模）过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3（2024·上海普陀·二模）直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（    ） A．3 B．5 C．10 D．12 4（2023·四川绵阳·二模）已知，点A为直线上的动点，过点作直线与相切于点，若，则最小值为（    ） A． B． C． D．4 【题型4】 圆的弦长问题 【典题1】 （2025·全国·专练）在直角坐标系中，曲线与轴交于两点，点的坐标为. （1）若点在点的右边，曲线上存在一点，使得，求曲线的表达式； （2）证明过三点的圆在轴上截得的弦长为定值. 【巩固练习】 1. （2024·天津武清·模拟预测）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 . 2（2023·江西上饶·模拟预测）直线被圆截得最大弦长为 ． 【题型5】 直线与圆中的角度问题 【典题1】 （2022·黑龙江哈尔滨·三模）设圆与y轴的正半轴交于点A，过点A作圆O的切线为l，对于切线l上的点B和圆O上的点C，下列命题中正确的是（    ） A．若，则点B的坐标为 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【巩固练习】 1. （2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2（2021·安徽黄山·一模）已知直线与圆交于A，B两点.且A，B在x轴同侧，过A，B分别作x轴的垂线交x轴于C，D两点，O是坐标原点，若，则（    ） A． B． C． D． 3（2024·全国·模拟预测）过点引圆：的两条切线，切点分别为，．若，则过，，三点的圆的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型6】 直线与圆的综合问题 【典题1】（多选）（2024·辽宁丹东·一模）已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（    ） A．弦有最小值为 B．有最小值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为9 【巩固练习】 1. （2024·福建厦门·模拟预测）如图，的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点O，此时直线与这两段弧有4个交点，则m的可能取值为（    ） A． B． C． D．1 2（多选） （2023·安徽·二模）若圆与圆的公共弦AB的长为，则下列结论正确的有（    ） A． B．直线AB的方程为 C．AB中点的轨迹方程为 D．四边形的面积为 3（多选）（2024·河南信阳·模拟预测）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（    ） A．对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； B．函数是圆的一个太极函数； C．存在圆，使得是圆的太极函数； D．直线所对应的函数一定是圆的太极函数． 4（多选）（2024·山西太原·二模）已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．取值范围是 B．当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6 C．当直线l斜率时，AB平分 D．最大值为 【题型7】 圆与圆的位置关系 【典题1】 （2024·山东菏泽·一模）已知圆与圆相交于A、B两点，直线交轴于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2024·山东聊城·二模）若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（    ） A． B． C． D． 2（2023·全国·模拟预测）设点P是圆上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最大值为 . 3（多选）（2025·全国·模拟预测）已知，，，则下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时，P有1个元素 C．若P有2个元素，则 D．若P有4个元素，则m无整数解 1（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 2（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 5（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 6（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 1直线、圆的位置关系 三种位置关系 根据与的关系判断(为圆心到直线的距离，为圆的半径.) · 相离没有公共点 ; · 相切只有一个公共点 · 相交有两个公共点 联立方程求判别式的方法 联立直线方程与圆的方程求解，通过解的个数来判断： · 当 时，直线与圆有个交点，直线与圆相交； · 当时，直线与圆只有个交点，直线与圆相切； · 当 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离. 圆上一点到圆外一直线的距离 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 2 弦长 弦长公式：(是圆的半径，是圆心到直线的距离). 利用垂径定理及勾股定理可以得到. 【题型1】 直线与圆的位置关系 【典题1】 （2024·重庆·三模）已知从点发出的光线经轴反射，反射光线与圆相切，其反射光线的斜率为（    ） A． B．2 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】先求点关于轴的对称点，由反射光线性质知反射光线即为圆C的切线，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，由此即可求解. 【详解】点关于轴的对称点，由反射光线性质知， 反射光线即为过点作圆：的切线， 设切线的斜率为，则切线， 由得，解得或2. 故选：C 【巩固练习】 1. （2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据已知直线与圆的方程，得到直线过定点，结合点与圆的位置关系，即可判定. 【详解】由直线，可得直线过定点， 又由圆：，可得点在圆C上， 因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2. 故选：C. 2. （2024·山东烟台·三模）若圆与轴没有交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心坐标利用几何法得到不等式，解出即可. 【详解】即， ，解得或， 且其圆心坐标为，若该圆与轴没有交点， 则，解得 故选：C. 3 3（2023·上海宝山·三模）已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】 根据与的位置关系分析可得. 【详解】   如图：与轴焦点为， 当点在圆外， 则表示的两条射线与圆相切与相切时恰有两个公共点， 联立得， 由， 得， 因，所以， 故， 当点在圆上，    如图，此时与有3个或1个交点不符合题意， 当点在圆内，    如图，此时与有2个交点符合题意， 此时，， 得 综上的取值范围为：. 故答案为：. 【题型2】 圆的切线方程问题 【典题1】 （2024·河北邢台·一模）已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则 ，该直线的方程为 ． 【答案】 1 【分析】利用点在圆上求解参数解决第一空，利用得到的垂直关系求出需要求的斜率，结合直线上的已知点得到直线方程，求解第二空即可. 【详解】若过点恰好只有一条直线与圆E：相切， 则一定在圆上，可得， 解得(其它根舍去)，故，而易知圆心为，半径为， 又直线斜率为，设该直线的斜率为， 显然两直线必定垂直，故得，则直线方程为， 化简得直线方程为， 故答案为：1； 【巩固练习】 1. （2024·广西玉林·二模）直线是圆在处的切线，点是圆上的动点，则到的距离的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得切线方程，然后用点到直线距离减去半径可得结果． 【详解】圆的圆心与点的连线的斜率为， 圆在点处的切线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 点是圆上的动点，圆心到直线的距离， 点到直线的距离的最小值等于． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的切线方程，点到直线的距离，属于中档题． 2. 作圆上一点处的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】判断点在圆上，求出直线的斜率，确定出切线的斜率，求出的方程，得出，根据直线与直线平行，利用平行线的距离公式求出与的距离即可. 【详解】将点代入圆的方程：，所以点在圆上， 因为：圆心，所以直线的斜率：， 所以：切线的斜率为：，的方程为：，即：， 又因为：直线与直线平行， 所以：. 所以：直线与直线的距离：，故A项正确. 故选：A. 3（2025·全国·专练）已知圆O：x2＋y2＝1，设点P（t，4）为直线y＝4上一点，过点P作圆O的切线，切点分别为M，N，则直线MN所过定点的坐标为 . 【答案】/ 【分析】求出分别以点M、N为切点的切线方程，因为P在切线上，得tx＋4y＝1可得答案. 【详解】设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则，过点的切线斜率为， 所以以点M为切点的切线方程为x1x＋y1y＝1， 因为P（t，4）在切线PM上，所以tx1＋4y1＝1， 所以切点M（x1，y1）在直线tx＋4y＝1上， 同理，切点N（x2，y2）也在直线tx＋4y＝1上， 所以直线MN的方程为tx＋4y＝1， 因为， 故直线MN过定点. 故答案为：. 【题型3】 圆的切线长 【典题1】 （2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，求得，由此可知时，取得最小值，由此即可求解. 【详解】 由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为， 设点到圆心的距离为，则有，所以， 所以取最小值时，取得最小值， 因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离， 所以，故的最小值为. 故选：B 【巩固练习】 1（2024·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆，为直线上的一个动点，过点作圆的切线，切点为点，当最小时，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】判断出最小时点的位置，进而求得此时的值. 【详解】由于是圆的切线，所以，所以， 当时，最小，此时最小. 到直线的距离为， 则时，，， 所以此时三角形是等腰直角三角形， 所以当最小时，则的值为. 故选：A 2（2024·浙江绍兴·二模）过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，三角换元令，，，利用三角恒变换求出最大值. 【详解】根据题意，设圆的圆心为，则， ，令，，， 则，其中， 所以的最大值为. 故选：D. 3（2024·上海普陀·二模）直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（    ） A．3 B．5 C．10 D．12 【答案】C 【分析】先设动圆的圆心坐标为，，，结合直线与圆相切的性质可得，当圆与直线相切于点处时，圆半径最小，结合两点间距离公式即可求解． 【详解】设动圆的圆心坐标为， 即圆半径，由题意， 设，，圆与直线相切于点，则，， 所以， 即的周长为， 所以的周长最小即为圆半径最小，因为， 则，整理得， 解得或, 当时，圆心在内，不合题意； 当时，符合题意，即圆半径的最小值为，周长的最小值为． 故选：C． 4（2023·四川绵阳·二模）已知，点A为直线上的动点，过点作直线与相切于点，若，则最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】设，由切线长公式、两点间距离公式计算，转化为点到和的距离之和，即，利用关于直线的对称点，得最小值为，此时共线． 【详解】设，由已知，圆半径为， 由切线长公式得 ， 所以，它表示点到和的距离之和，即， 设关于直线的对称点为, ， 易知当三点共线时，取得最小值． 故选：C． 【题型4】 圆的弦长问题 【典题1】 （2025·全国·专练）在直角坐标系中，曲线与轴交于两点，点的坐标为. （1）若点在点的右边，曲线上存在一点，使得，求曲线的表达式； （2）证明过三点的圆在轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）设出坐标并得到对应韦达定理形式，根据向量关系求解出点坐标，结合在曲线上求解出坐标满足的关系，再结合韦达定理可求解出的值，由此可求曲线的表达式； （2）先求解出的中垂线方程，联立中垂直线方程可得圆心坐标并求出圆的半径，最后表示出圆在轴上截得的弦长，并证明其为定值. 【详解】解析（1）设，，则，满足，所以， 由得点 因为D在曲线E上， 所以或 当时，又，及得 当时，又，及知m不存在 综上E： （2）证明：的中点坐标为，可得的中垂线方程为. 由（1）可得，所以的中垂线方程为. 联立，得， 又由，可得， 所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径. 故圆在y轴上截得的弦长为， 即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 【巩固练习】 1. （2024·天津武清·模拟预测）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 . 【答案】 【分析】利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可. 【详解】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有，解可得：. 故答案为：. 2（2023·江西上饶·模拟预测）直线被圆截得最大弦长为 ． 【答案】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理与勾股定理建立关系即可得到答案. 【详解】由已知，圆的标准方程为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离，解得， 所以弦长为，因为， 所以，所以弦长， 当即时，弦长有最大值. 故答案为：. 【题型5】 直线与圆中的角度问题 【典题1】 （2022·黑龙江哈尔滨·三模）设圆与y轴的正半轴交于点A，过点A作圆O的切线为l，对于切线l上的点B和圆O上的点C，下列命题中正确的是（    ） A．若，则点B的坐标为 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于A，通过计算可知，A不正确；对于B，当与圆相切时，取得最大值为，可判断B正确；对于C，当与重合时，可判断C不正确；对于D，根据，可判断D不正确. 【详解】对于A，若，则点B的坐标为或，故A不正确； 对于B，若，则，当与圆相切时，取得最大值为，所以，故B正确； 对于C，若，当与重合时，，故C不正确； 对于D，若，因为，所以，所以，所以，故D不正确. 故选：B 【巩固练习】 1. （2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，可知当OP最小时，最大，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离， 因为，且， 当最小时，则最大，可得最大，即最大， 又因为的最小值即为圆心到直线的距离为， 此时，所以取得最大值． 故选：C． 2（2021·安徽黄山·一模）已知直线与圆交于A，B两点.且A，B在x轴同侧，过A，B分别作x轴的垂线交x轴于C，D两点，O是坐标原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据恒等式的思想得出直线恒过点，且点在圆上，可求得点A，B，求得是等边三角形，由此可得选项． 【详解】因为直线的方程化为，所以直线恒过点， 而点满足，所以点在圆上， 不妨设点，又，所以点， 所以，又圆的半径为， 所以是等边三角形，所以 ． 故选：B． 3（2024·全国·模拟预测）过点引圆：的两条切线，切点分别为，．若，则过，，三点的圆的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】求出圆心，半径，根据得到，进而求出，得到点坐标，得到圆心和半径，得到圆的方程. 【详解】由，得，可得圆心，半径． 由，得，所以， 故，即， 解得或，则或， 根据 ， ，故四点共圆，且为直径， 所以线段的中点为或，且， 所以过，，三点的圆的方程为或． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用四点共圆确定，，三点的圆的几何性质，从而得解. 【题型6】 直线与圆的综合问题 【典题1】（多选）（2024·辽宁丹东·一模）已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（    ） A．弦有最小值为 B．有最小值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为9 【答案】BCD 【分析】易得直线过定点，根据点为弦的中点时，最小，即可判断A；根据点为弦的中点，可得，进而可得出点的轨迹是以为直径的圆，即可判断B；要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可，进而可判断C；设，联立，利用韦达定理求出，进而可求出的坐标，再根据数量积的坐标公式结合基本不等式即可判断D. 【详解】圆的圆心，半径， 直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以直线与圆一定相交， 当点为弦的中点时，有最小值， 此时直线的斜率不存在，而直线的斜率一定存在， 所以，故A错误； 因为点为弦的中点，所以，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆(去除），圆心为，半径为， 所以轨迹方程为， 因为，所以点在圆外， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，， 要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离最大值为， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，设， 联立，得， 则，故， 所以点的坐标为， 则， 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，取等号， 综上所述的最大值为9，故D正确.    故选：BCD. 【巩固练习】 1. （2024·福建厦门·模拟预测）如图，的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点O，此时直线与这两段弧有4个交点，则m的可能取值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题意，分别求出直线过点以及与劣弧相切时的值，再结合图形，即可得. 【详解】因为圆的劣弧关于弦对称的图形恰好经过坐标原点， 所以，，当直线过时，将代入中， 所以，由对称性可知，圆弧对应的圆的圆心在轴上， 设为，则，所以， 解得，且劣弧对应的圆的半径为， 故劣弧对应的圆方程为， 当直线与劣弧相切时得， 所以， 结合图形可知当时直线与两段弧有个交点. 故选：B. 关键点点睛：本题关键在于求出直线过点以及与劣弧相切时的值. 2（多选） （2023·安徽·二模）若圆与圆的公共弦AB的长为，则下列结论正确的有（    ） A． B．直线AB的方程为 C．AB中点的轨迹方程为 D．四边形的面积为 【答案】AB 【分析】先求得直线的方程，根据弦的长求得的关系式，由此确定AB选项的正确性，根据轨迹方程、四边形的面积等知识确定CD选项的正确性. 【详解】两圆方程相减可得直线AB的方程为， 因为圆的圆心为，半径为2，且公共弦AB的长为， 则到直线的距离为1， 所以，解得， 所以直线AB的方程为，故A，B正确； 由圆的性质可知直线垂直平分线段AB， 所以到直线的距离即为AB中点与点的距离， 设AB中点的坐标为，则，即，故C错误； 易得四边形为菱形，且，， 则四边形的面积为，故D错误． 故选：AB 3（多选）（2024·河南信阳·模拟预测）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（    ） A．对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； B．函数是圆的一个太极函数； C．存在圆，使得是圆的太极函数； D．直线所对应的函数一定是圆的太极函数． 【答案】BD 【分析】举出反例判断A；说明的图象关于点成中心对称，结合太极函数定义判断B；说明图象关于对称，不在函数图象上，结合太极函数定义判断C；求出直线过的定点，恰为圆心，即可判断D. 【详解】对于A，如图折线形成的函数是偶函数，满足，    显然函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，A错误； 对于B，将正弦函数的图象向上平移1个单位即得的图象， 即的图象关于点成中心对称，而圆也关于点中心对称， 因此函数的图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分，B正确； 对于C，的定义域为，且， 即为奇函数，图象关于对称，    若是圆的太极函数，则圆的圆心应为，但是不在的图象上， 因此函数不能将圆的周长和面积同时等分成两部分，C错误； 对于D，直线，即， 由，解得，则直线恒过定点， 显然直线经过圆的圆心， 该直线能将圆的周长和面积同时等分成两部分，D正确， 故选：BD 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 4（多选）（2024·山西太原·二模）已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．取值范围是 B．当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6 C．当直线l斜率时，AB平分 D．最大值为 【答案】ACD 【分析】分析可知曲线C是以为圆心，半径的圆.对于A：根据圆的性质分析求解；对于B：设，联立方程，利用韦达定理可得，即可得面积最大值；对于C：利用韦达定理可得，进而分析角度关系即可；对于D：根据AB平分，结合切线分析求解即可. 【详解】设， 因为，即，整理可得， 可知曲线C是以为圆心，半径的圆. 对于选项A：因为，可知点B在曲线C内，且直线l与曲线C必相交， 且，则的最大值为，最小值为， 所以取值范围是，故A正确； 设， 联立方程，消去x可得， 则. 对于选项B：可得， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，则的最小值为， 即，则， 可得的面积， 所以面积的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为 ， 又因为， 则， 即，可知，所以AB平分，故C正确； 对于选项D：因为AB平分，则， 可知当与曲线C相切时，取到最大值， 此时，且为锐角，则， 即的最大值为，则的最大值为， 所以最大值为，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：根据题意结合两点间距离公式分析可知曲线C是以为圆心，半径的圆，结合圆的性质逐项分析判断. 【题型7】 圆与圆的位置关系 【典题1】 （2024·山东菏泽·一模）已知圆与圆相交于A、B两点，直线交轴于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据两圆相交求出的范围，然后两圆方程相减求得直线的方程，进而可求得点的坐标，从而可得出答案. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为两圆相交，则， 即，解得， 两圆的方程相减得， 即直线的方程为， 当时，直线的方程为， 此时轴，与轴没有交点，不符题意， 当时，令，得， 即， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 【巩固练习】 1. （2024·山东聊城·二模）若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆公切线条数确定两圆位置关系，从而可得圆心所满足的轨迹方程，从而逐项判段直线与圆位置关系，确定直线是否过点即可. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 若圆与圆恰有一条公切线，则两圆内切， 所以，即，所以点的轨迹为圆， 对于A，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故A不符合； 对于B，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故B不符合； 对于C，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故C不符合； 对于D，圆心到直线的距离为，则该直线不过点，故D符合； 故选：D. 2（2023·全国·模拟预测）设点P是圆上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最大值为 . 【答案】 【分析】将四边形PACB的面积表示为，当点P是线段CO的延长线与圆O的交点时，最大，计算求出即可. 【详解】圆C的方程可化为，则圆心为，半径为2， 连接PC，则在中，， 所以四边形PACB的面积， （由切线长定理知，故） 连接CO并延长，当点P是线段CO的延长线与圆O的交点时，最大， 此时， 所以四边形PACB面积的最大值为. 故答案为：.    3（多选）（2025·全国·模拟预测）已知，，，则下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时，P有1个元素 C．若P有2个元素，则 D．若P有4个元素，则m无整数解 【答案】ABD 【分析】A选项，画出表示的部分图形，求出与轴的交点坐标，即可判断；B选项，得到此时为，由圆心到的距离等于半径得到有1个交点，求出答案；C选项，举出反例；D选项，画出表示的部分图形，结合点到直线距离，数形结合得到答案. 【详解】A选项，时，表示圆心为， 半径为1的圆位于轴上方的部分（包括轴上的两点）， 由得或，故， 表示圆心为， 半径为1的圆位于轴上方的部分（包括轴上的两点）， 由，解得或， 同理可得， 故表示的部分如图所示， 表示轴，故，A正确； B选项，当时，， 由于圆心到轴的距离等于，大于1，整个圆位于轴上方， ，由于圆心到轴的距离等于，大于1， 整个圆位于轴下方，故表示的部分如图所示， 由于圆心到的距离， 故直线与圆相切，有1个公共点，有1个元素，B正确； C选项，当时，此时两圆圆心相同，半径相等，此时表示的部分如图所示， 此时直线与有两个交点，而，，C错误； D选项，若P有4个元素，则直线分别与两圆交于两点，共4个交点， 画出表示的部分如图所示， 当时，， 由于圆心到的距离为，解得； 当时，， 由于圆心到的距离为，解得； 综上，所以m无整数解，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：有关直线与圆的位置关系判断，可利用代数法或几何法进行求解，代数法即联立直线与圆的方程，根据根的判别式进行判断；几何法则使用点到直线距离，数形结合进行求解. 1（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 2（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 3（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得 ，或 然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 4（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      5（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【答案】 【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 故答案为：. 6（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】或或 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$