第03讲 圆的方程(讲义) -2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第03讲 圆的方程 1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径. 2 圆的方程 标准方程 ，圆心，半径为. 一般方程 求圆方程的方法 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出；若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 3 点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为，圆半径为， .点在圆内； .点在圆上； 点在圆外. 给定点及圆 · 在圆内； · 在圆上； · 在圆外. 某点到圆上点的距离 若点在圆内，则，； 若点在圆外，则，； 【题型1】 圆的方程的认识 【典题1】 （2022·山西临汾·三模）已知直线l过圆的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为（    ） A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0 【巩固练习】 1. （2023·北京海淀·三模）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B．1 C． D． 2（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3（2024·广东佛山·模拟预测）已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4（多选）（2024·辽宁丹东·模拟预测）已知曲线:，则（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 5（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知为坐标原点，，为圆上一点且在第一象限，，则直线的方程为 ． 【题型2】 求圆的方程 【典题1】 （2024·江苏·一模）莱莫恩定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2025·山西·专练）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （   ） A． B． C． D． 3（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4（2024·江西南昌·三模）设圆心在轴的圆过点，且与直线相切，则圆的标准方程为 . 【题型3】 与圆有关的最值问题 角度1 定点到圆上点的最值（范围） 【典题1】 （2023·陕西榆林·模拟预测）已知，，，点P是圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2024·陕西铜川·三模）已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2（2024·辽宁葫芦岛·一模）光线从点射到轴上，经轴反射后经过圆上的点，则该光线从点A到点的路线长的最小值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3（2025·山西·专练）已知，若坐标原点在动直线上的投影为点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4（2024·浙江·三模）已知，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D．32 角度2圆上点到定直线上的最值（范围） 【典题1】 （2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【巩固练习】 1. （2024·山东济南·三模）圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 2（2024·湖北·模拟预测）已知A，B是直线：上的两点，且，P为圆：上任一点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知为直线上的动点，为圆上的动点，点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4（2025·广东·专练）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：．已知点M在圆上，点N在直线上，则的最小值为 ． 角度3 其他的最值（范围） 【典题1】 （2024·江西·模拟预测）已知点是圆上一点，点是圆上一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【典题2】（2025·全国·专练）已知，是实数，且． (1)求的最值；(2)求的取值范围；(3)求的最值． 【巩固练习】 1. （2023·广东佛山·模拟预测）已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．4 2（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3（2025·全国·专练）（多选）已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线被圆截得的弦最长时， C．直线被圆截得的弦最短时， D．直线被圆截得的弦最短弦长为 4（多选）（2022·湖北武汉·三模）已知圆M：，直线l：，直线l与圆M交于A，C两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．的最小值为4 C．的取值范围为 D．当最小时，其余弦值为 【题型4】 与圆有关的轨迹问题 【典题1】 （2025·山西·专练）设，过定点A的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典题2】（2023·河北·三模）已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 【巩固练习】 1. （2025·福建·专练）已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 2. （2024·湖北·模拟预测）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3（2024·广东茂名·模拟预测）已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4（2025·全国·专练）已知圆，过点的直线与圆交于两点，点满足，其中为坐标原点． (1)求点的轨迹方程； (2)若的面积为2，求． 5（2025·湖南·专练）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点Q满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若，从中任选一个值，求此时相应的弦长． 1（2022·全国·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 2（2022·全国·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 圆的方程 1 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径. 2 圆的方程 标准方程 ，圆心，半径为. 一般方程 求圆方程的方法 待定系数法 先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出；若利用一般方程，需要求出； 直接法 直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置. 3 点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为，圆半径为， .点在圆内； .点在圆上； 点在圆外. 给定点及圆 · 在圆内； · 在圆上； · 在圆外. 某点到圆上点的距离 若点在圆内，则，； 若点在圆外，则，； 【题型1】 圆的方程的认识 【典题1】 （2022·山西临汾·三模）已知直线l过圆的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为（    ） A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0 【答案】D 【分析】利用配方法求出圆心坐标，结合垂直直线之间斜率的关系进行求解即可. 【详解】由，所以圆心坐标为， 因为直线2x＋y－3＝0的斜率为， 所以与直线2x＋y－3＝0垂直的直线l的斜率为， 所以l的方程为：， 故选：D 【巩固练习】 1. （2023·北京海淀·三模）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值. 【详解】圆的圆心为，因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上，所以，解得. 故选：A 2（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 3（2024·广东佛山·模拟预测）已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，计算可得结论. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 又，所以， 所以， 因为，所以. 故选：A. 4（多选）（2024·辽宁丹东·模拟预测）已知曲线:，则（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 【答案】ABD 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图形，由图可得答案. 【详解】当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线为原点. 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，如图所示，因为原点在曲线上，所以最小值为0，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为.故D正确. 故选：ABD. 5（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知为坐标原点，，为圆上一点且在第一象限，，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】数形结合求得直线的倾斜角，进而即可求得直线方程. 【详解】根据题意，作图如下：    易知点在圆上，由可知，， 所以，又因为，所以， 则直线斜率，故直线的方程为． 故答案为：. 【题型2】 求圆的方程 【典题1】 （2024·江苏·一模）莱莫恩定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】待定系数法求出外接圆方程，从而得到外接圆在处的切线方程，进而求出的坐标，得到答案. 【详解】的外接圆设为， ，解得， 外接圆方程为，即， 易知外接圆在处切线方程为， 又，令得，，， 在处切线方程为， 又，令得，， 则三角形的线的方程为，即 故选：B. 【巩固练习】 1. （2025·山西·专练）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设圆心的坐标为，根据点在线上及两点间距离得出，再求出半径，得出圆的标准方程. 【详解】设圆心的坐标为. 因为圆心在直线上，所以①， 因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②， 由①②可得.所以圆心的坐标是），圆的半径. 所以，所求圆的标准方程是. 故选:C. 2（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设圆的标准方程，根据题意列出方程求解圆心和半径即可. 【详解】因为圆心在上，所以设圆心为, 因为圆的半径为， 所以设圆的标准方程为, 因为该圆过原点， 所以， 解得, 所以圆心为或, 当圆心为时，圆的标准方程为，D对; 当圆心为时，圆的标准方程为. 故选：D. 3（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案. 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 4（2024·江西南昌·三模）设圆心在轴的圆过点，且与直线相切，则圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】设圆的圆心为，根据已知条件得出半径为，再将代入即可解出，从而得到答案. 【详解】设圆的圆心为，则由于该点到直线的距离，结合圆与直线相切，知圆的半径为. 所以圆的方程是. 而圆过点，所以，解得. 所以圆的标准方程是. 故答案为：. 【题型3】 与圆有关的最值问题 角度1 定点到圆上点的最值（范围） 【典题1】 （2023·陕西榆林·模拟预测）已知，，，点P是圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，利用圆上的点到圆外一点距离最值的特征即可求解. 【详解】点，，，设， 则 ， 因为点P在圆上运动， 所以表示圆上的点到点的距离的平方， 所以的最小值为， 即的最小值为. 故选：D﹒ 【巩固练习】 1. （2024·陕西铜川·三模）已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由题意及圆的定义得圆心所在的轨迹方程，然后利用点与圆的位置关系求解最大值即可. 【详解】由圆经过点，可得， 即，故圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，所以圆心到原点的距离的最大值为. 故选：C 2（2024·辽宁葫芦岛·一模）光线从点射到轴上，经轴反射后经过圆上的点，则该光线从点A到点的路线长的最小值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】求出点关于x轴的对称点，则最短路径的长为减去圆的半径，计算求得结果 【详解】由题意可得圆心，半径点关于x轴的对称点 ， 所以 ， 该光线从点A到点的路线长的最小值为， 故选：A 3（2025·山西·专练）已知，若坐标原点在动直线上的投影为点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出动直线恒过定点，依题意可得在以为直径的圆上，求出圆心，半径，再求出，即可求出的取值范围. 【详解】直线，即， 令，解得，所以动直线恒过定点， 坐标原点在动直线上的投影为点， 故，所以在以为直径的圆上， 则圆的圆心为，半径， 又，所以， 即的取值范围是. 故选：B. 4（2024·浙江·三模）已知，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D．32 【答案】C 【分析】设，根据两点间的距离公式结合三角函数的性质即可得解. 【详解】设， 则 ， 当时，取得最大值. 故选：C. 角度2圆上点到定直线上的最值（范围） 【典题1】 （2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 【巩固练习】 1. （2024·山东济南·三模）圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故选：C. 2（2024·湖北·模拟预测）已知A，B是直线：上的两点，且，P为圆：上任一点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得圆心到直线的距离，得到，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 设点到直线的距离为，圆心到直线l的距离为， 可得，则， 又由，所以面积的最大值为. 故选：B. 3（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知为直线上的动点，为圆上的动点，点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，不妨令，根据两点间的距离公式求出点的坐标，则要使最小，即最小，求出的最小值即可得解. 【详解】设，不妨令， 则， 整理得 ， 又，所以， 则，解得， 所以存在定点，使得， 要使最小，即最小， 则，B，D三点共线，且DA垂直于直线时取得最小值，如图所示， 所以的最小值为． 故选：C. 【点睛】关键点点睛：设，令，将所求转化为求的最小值，是解决本题的关键. 4（2025·广东·专练）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：．已知点M在圆上，点N在直线上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作平行于轴的直线，过点作，得到表示的长度，根据，求得，得到，进而化简得到，得出垂直直线时，最小，利用圆的性质，求得的值，结合，即可求解. 【详解】如图（1）所示，过点作平行于轴的直线交直线于点， 过点作于点，表示的长度， 因为直线的方程为，即直线的斜率，则， 又因为，所以， 所以，可得，即， 所以， 当固定点时，且平行轴时，此时点与点重合， 此时为定值，此时为0时，最小，如图（2）所示， 过点作直线的垂线，垂足为，交圆于点， 可得， 又由直线的斜率，可得， 在直角中，可得. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：利用直线斜率，结合新定义将所求转化为点到直线的距离问题求解即可. 角度3 其他的最值（范围） 【典题1】 （2024·江西·模拟预测）已知点是圆上一点，点是圆上一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的最值问题和正弦定理即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心， 半径， 在三角形中，， 根据正弦定理可得，，即， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以是锐角， 所以的最大值为. 故选：B. 【典题2】（2025·全国·专练）已知，是实数，且． (1)求的最值；(2)求的取值范围；(3)求的最值． 【答案】(1)21 (2) (3)最小值为，最大值为 【分析】（1）首先设，利用直线与圆有交点，列式求的最值； （2）首先设，转化为直线与圆有交点，列不等式求的取值范围； （3）根据的几何意义，转化为圆上的点与原点距离的最值. 【详解】（1）设，化为， 可知直线与圆有交点，圆心，半径为2， 有，解得， 可得的最小值为1，最大值为21； （2）设，化为， 可知直线与圆有交点， 有，解得或， 故的取值范围为； （3）的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离， 圆的圆心到坐标原点的距离为， 故的最小值为，最大值为． 【巩固练习】 1. （2023·广东佛山·模拟预测）已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】由四边形是矩形，应用勾股定理可求，再利用基本不等式可得答案. 【详解】过圆心C分别作直线，的垂线，垂足分别为，． ，互相垂直，所以四边形为矩形． 由圆C：，可得，又， ， 所以，当且仅当时取等号，即的最大值为1， 故选：B.    2（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【详解】设，变形可得， 则的几何意义为直线的斜率， 圆化为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为是圆上任意一点， 所以圆与直线有公共点，即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径， 所以，解得， 即的最大为. 故选:D. 3（2025·全国·专练）（多选）已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线被圆截得的弦最长时， C．直线被圆截得的弦最短时， D．直线被圆截得的弦最短弦长为 【答案】ABC 【分析】对于A：根据直线过定点分析判断；对于B、C、D：根据题意结合圆的性质运算求解. 【详解】对于选项A：直线的方程可化为， 令，解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于选项B：因为，即点在圆内， 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长， 此时，解得，故B正确； 对于选项C：当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 直线的斜率为，， 由，解得，故C正确； 对于选项D：此时直线的方程是， 圆心到直线的距离为， 可得， 所以最短弦长是，故D错误． 故选：ABC． 4（多选）（2022·湖北武汉·三模）已知圆M：，直线l：，直线l与圆M交于A，C两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．的最小值为4 C．的取值范围为 D．当最小时，其余弦值为 【答案】ABC 【分析】A.直线方程变形为，即可判断定点坐标；B.根据定点是弦的中点时，此时最短；C.根据向量数量积公式，转化为求的最值；D.根据C即可判断. 【详解】A.直线，即，直线恒过点，故A正确； B.当定点是弦的中点时，此时最短，圆心和定点的距离时，此时，故B正确； C.当最小时，最小，此时，此时，当是直径时，此时最大，，此时，所以的取值范围为，故C正确； D.根据C可知当最小时，其余弦值为，故D错误. 故选：ABC 【题型4】 与圆有关的轨迹问题 【典题1】 （2025·山西·专练）设，过定点A的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，，且点的轨迹是以为直径的圆，设，结合三角知识求的取值范围. 【详解】对于动直线可知其过定点， 动直线，即，可知其过定点， 且，可知两条动直线相互垂直， 可知点的轨迹是以为直径的圆，且， 若点与或重合，则； 若点与，不重合，设， 则， 可得， 因为，则，可得， 所以， 综上所述：的取值范围是. 故选：D. 【典题2】（2023·河北·三模）已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）法一：由确定点M与点P坐标满足的等式，再结合（1）中轨迹方程，可求得l的方程，进而求弦长、圆心到直线的距离，即可求面积； 法二：由确定点M与点P坐标满足的等式，求得坐标，确定直线方程，后同法一. 【详解】（1）设点，当点不与点重合时，即当且时， 由垂径定理可知,即 又圆的圆心为， 则， ∴，即 当点与点重合时，点的坐标也满足方程 故点的轨迹方程为圆：. （2）当时，点与点满足圆的方程 又点与点在圆：上 ∴直线为圆和圆的交线，圆与圆的方程相减得， 直线的方程为，即 ∴的方程为： 点到直线的距离， 又圆的半径， ∴弦长， ∴的面积； 法二：设 由题意可得，解得，即点 又， ∴直线的方程为 ，则直线的方程为，且 点到直线的距离为 故的面积 【巩固练习】 1. （2025·福建·专练）已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据得到，代入圆中，得到轨迹方程. 【详解】设，因为，所以， 又在圆：上， 故，即的方程为． 故选：C 2. （2024·湖北·模拟预测）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意建立直角坐标系，设，写出坐标，可得点的轨迹方程，进而可求出的最大值. 【详解】根据题意，建立如图所示的直角坐标系， 设 ， 则， 故， ， 即； 故点在以点为圆心，1为半径的圆周上运动， 所以的最大值为. 故选：D. 3（2024·广东茂名·模拟预测）已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合已知，求出交点的轨迹方程，再结合切线的性质即可求解. 【详解】 直线即直线，过定点， 直线即直线，过定点， 又由斜率关系可得两直线垂直，所以交点的轨迹是以为直径的圆， 即轨迹方程为，圆心， 因为Q是圆C上一点，且PQ与C相切， 所以问题转化为圆上任意一点作直线与圆相切，求切线的范围. 设设圆的半径为， 因为圆的圆心，半径为定值，当取得最小值和最大值时，切线取得最小值和最大值， ， 又因为，即， 即， 所以，即， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：结合已知直线过定点，求出交点的轨迹方程是关键. 4（2025·全国·专练）已知圆，过点的直线与圆交于两点，点满足，其中为坐标原点． (1)求点的轨迹方程； (2)若的面积为2，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，求出圆心坐标，利用的数量积为零求出轨迹方程即可； （2）设圆心到直线的距离为，由三角形面积公式求出，再利用弦长公式求解即可； 【详解】（1）    由可得点为线段的中点，设， 圆方程化为标准方程为，所以圆心，半径， 所以， 因为，所以， 整理可得， 所以点的轨迹方程为， （2）设圆心到直线的距离为， 因为为的中点，且，的面积为2，， 所以，即，解得， 由弦长公式可得. 5（2025·湖南·专练）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点Q满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若，从中任选一个值，求此时相应的弦长． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设，由距离公式得到，整理即可得解； （2）根据所选的值确定直线的方程，再求出圆心到直线的距离，最后由弦长公式计算可得. 【详解】（1）设， 由，得， 整理得， 即曲线的方程为. （2）①如果选，此时直线的方程为 而圆的半径，圆心到直线的距离为， 故弦长， ②如果选，此时直线的方程为， 由，解得或， 则直线与圆的两个交点坐标为，， 故弦长. ③如果选，此时直线的方程为， 可知直线经过圆心，圆的半径， 所以弦长. 1（2022·全国·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 【答案】或或或． 【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【详解】[方法一]：圆的一般方程 依题意设圆的方程为， （1）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （2）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （3）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即； 故答案为：或 或 或． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设 （1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为； （2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为； （3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为； （4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为． 故答案为：或 或 或． 2（2022·全国·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 【答案】 【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程. 【详解】[方法一]：三点共圆 ∵点M在直线上， ∴设点M为，又因为点和均在上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴， ，解得， ∴，， 的方程为. 故答案为： [方法二]：圆的几何性质 由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为. 故答案为： 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$