第02讲 两条直线的位置关系(讲义) -2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第02讲 两条直线的位置关系 1两直线的位置关系 直线方程 位置关系 重合 且 相交 平行 且 垂直 PS 对于两条不重合的直线，其斜率存在时分别为， 则有或的斜率都不存在. 有的斜率不存在的斜率不存在. 2 线段的中点坐标公式 若的坐标分别是则线中点坐标为. 3 常见的直线系方程 平行于直线的直线系方程； 垂直于于直线的直线系方程； 过两条已知直交点的直线系方程 ； (这个直线系下不包括直线，解题时注意检是否满足题意) 4 对称性问题 点关于点的对称 点的对称点为； 点关于直线的对称 设点关于直线的对称点为， 则可求，从而得到点. (直线是线段的垂直平分线，，的中点在直线上) 直线关于直线的对称 若已知直线与对称轴相交于点，则与对称的直线过点，再求出直线上一点关于对称轴的对称，则由点与可求出直线的方程； 若已知直线与对称轴平行，求与已知直关于对称轴对称的直，利用直到直线的距离相等便可求.(方法其实多样，大致均可转化为点关于直线对称问题) 5两条直线的交点 设两条直线的方程是， 两条直线的交点坐标就是方程组的解. (1) 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2) 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； (3) 若方程组有无数个解，则两条直线重合. 6几种距离 (1) 两点距离公式 平面上的两点间的距离公式. (2) 点到直线的距离公式 点到直线的距离. (3) 两平行直线间的距离 两条平行线与间的距离. 【题型1】 两条直线的位置关系 角度1 判断两直线的位置关系 【典题1】 （2025·江苏·专题练习）【多选】已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于 C．与直线垂直 D．与直线平行 【巩固练习】 1. （2025·全国·专题练习）直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．不平行 C．平行或重合 D．既不平行也不重合 2已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 3 （2025·广东·专题练习）设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 4（2025·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 角度2 根据两直线位置关系求参数 【典题1】 （2025·湖南·专题练习）直线，直线与平行，且直线与垂直，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【巩固练习】 1. （2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 2（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3（2024·河南郑州·模拟预测）已知直线与直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4（2024·陕西西安·二模）已知直线过点和点，直线：，若，则 . 5 （2024·上海·三模）已知直线的倾斜角为，且直线与直线：垂直，则 角度3 由两直线位置关系求直线方程 【典题1】 （2024·福建三明·模拟预测）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 2. （2023·广东珠海·模拟预测）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为 ． 【题型2】 距离公式的运用 【典题1】 （多选）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2022·重庆·三模）已知直线上存在一点P，满足，其中O为坐标原点.则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 3（2023·江西上饶·模拟预测）已知，，则的最小值等于（   ） A． B．6 C． D． 4（2024·河南信阳·模拟预测）已知方程在实数范围内有解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型3】 对称问题 角度1 点关于直线对称问题 【典题1】 （2025·江苏·专题练习）圆：关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2021·浙江·模拟预测）点关于直线的对称点是（    ） A． B． C． D． 2（2022·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 角度2 直线关于直线对称问题 【典题1】 （2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 角度3对称问题的应用 【典题1】 （2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（   ） A．3 B． C． D． 2（2024·江苏·专题练习）已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 3（2023·贵州·模拟预测）已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 4如图已知，，，若光线从点射出，直线反射后到直线上，再经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 1（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 两条直线的位置关系 1两直线的位置关系 直线方程 位置关系 重合 且 相交 平行 且 垂直 PS 对于两条不重合的直线，其斜率存在时分别为， 则有或的斜率都不存在. 有的斜率不存在的斜率不存在. 2 线段的中点坐标公式 若的坐标分别是则线中点坐标为. 3 常见的直线系方程 平行于直线的直线系方程； 垂直于于直线的直线系方程； 过两条已知直交点的直线系方程 ； (这个直线系下不包括直线，解题时注意检是否满足题意) 4 对称性问题 点关于点的对称 点的对称点为； 点关于直线的对称 设点关于直线的对称点为， 则可求，从而得到点. (直线是线段的垂直平分线，，的中点在直线上) 直线关于直线的对称 若已知直线与对称轴相交于点，则与对称的直线过点，再求出直线上一点关于对称轴的对称，则由点与可求出直线的方程； 若已知直线与对称轴平行，求与已知直关于对称轴对称的直，利用直到直线的距离相等便可求.(方法其实多样，大致均可转化为点关于直线对称问题) 5两条直线的交点 设两条直线的方程是， 两条直线的交点坐标就是方程组的解. (1) 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2) 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； (3) 若方程组有无数个解，则两条直线重合. 6几种距离 (1) 两点距离公式 平面上的两点间的距离公式. (2) 点到直线的距离公式 点到直线的距离. (3) 两平行直线间的距离 两条平行线与间的距离. 【题型1】 两条直线的位置关系 角度1 判断两直线的位置关系 【典题1】 （2025·江苏·专题练习）【多选】已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于 C．与直线垂直 D．与直线平行 【答案】CD 【分析】 根据题意求出直线的方程，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为， 因为直线经过点， 所以直线的方程为，即 对于A，设直线的倾斜角为，则， 因为，所以，所以A错误， 对于B，当时，，得， 所以直线在轴上的截距等于，所以B错误， 对于C，因为直线的斜率为，且， 所以直线与直线垂直，所以C正确， 对于D，因为直线的斜率为，且在轴上的截距为， 而直线的斜率为，且在轴上的截距为， 所以直线与直线平行，所以D正确， 故选：CD 【巩固练习】 1. （2025·全国·专题练习）直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．不平行 C．平行或重合 D．既不平行也不重合 【答案】C 【分析】根据题意，由两直线位置关系的判断方法，代入计算，即可求解. 【详解】因为直线和， 当时，即，此时两直线重合， 当时，即，此时两直线平行， 所以直线和的位置关系是平行或重合. 故选：C 2已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】根据直线的斜率来进行判断. 【详解】， 由图可知不共线，所以． 故选：B    3 （2025·广东·专题练习）设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】根据直线方程确定斜率，利用三角形边角关系及直线垂直的判定判断两直线的位置关系即可. 【详解】由题设，的斜率为，的斜率为， 又，则，即两直线垂直. 故选：C 4（2025·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 【答案】四边形OPQR为矩形. 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式计算判断即可. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率，直线的斜率， 显然，，在四边形中，，， 因此四边形为平行四边形，又，则， 所以四边形为矩形. 角度2 根据两直线位置关系求参数 【典题1】 （2025·湖南·专题练习）直线，直线与平行，且直线与垂直，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据求出的值，即可得出答案. 【详解】因为直线与平行， 并且直线，所以，. 又因为直线与垂直，所以，. 所以. 故选：B. 【巩固练习】 1. （2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线垂直的充要条件即可列式得解. 【详解】直线的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线的斜率为， 即且，，所以. 故选：D. 2（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得. 【详解】当时，直线，则， 当时，，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3（2024·河南郑州·模拟预测）已知直线与直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由，计算得或，即可判断. 【详解】因为， 所以， 解得或， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 4（2024·陕西西安·二模）已知直线过点和点，直线：，若，则 . 【答案】 【分析】由斜率公式得到，再利用点斜式得到直线的方程，最后利用两直线平行的充要条件解出即可. 【详解】直线的斜率，所以直线方程为，即， 因为，所以， 故答案为：. 5 （2024·上海·三模）已知直线的倾斜角为，且直线与直线：垂直，则 【答案】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合直线、互相垂直算出的斜率，进而求出倾斜角的大小． 【详解】直线即，斜率， 因为直线、互相垂直，所以直线的斜率， 直线的倾斜角为，则，结合，可知． 故答案为：． 角度3 由两直线位置关系求直线方程 【典题1】 （2024·福建三明·模拟预测）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出直线交点，根据垂直求出直线斜率，即可求出直线方程. 【详解】联立，解得，即交点为， 又所求直线与直线垂直，则所求直线斜率为2， 则所求直线方程为，即. 故选：C. 【巩固练习】 1. （2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解. 【详解】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C 2. （2023·广东珠海·模拟预测）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】直线的斜率为，故所求直线的斜率为， 所以，过点且与直线垂直的直线方程是， 即. 故选：C. 3若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为 ． 【答案】x＋3y－3＝0 【详解】 解析：（解法1）在直线上取点（1，0），其绕原点按逆时针方向旋转90°后得到点（0，1），按逆时针方向旋转90°，倾斜角增加90°，故所得直线斜率为－，从而所求直线方程为x＋3y－3＝0. （解法2）在直线上取两点（1，0）和（0，－3），它们绕原点按逆时针方向旋转90°后分别得到点（0，1）和（3，0），进而可得所求直线方程为x＋3y－3＝0. 【题型2】 距离公式的运用 【典题1】 （多选）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】当直线的斜率不存在时不满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等列方程求解即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，显然不满足题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 由已知得， 所以或， 所以直线的方程为或. 故选：AC. 【巩固练习】 1. （2022·重庆·三模）已知直线上存在一点P，满足，其中O为坐标原点.则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得原点O到直线l的距离小于等于1，利用点到直线的距离公式可得关于k的不等式，即可求解k的范围. 【详解】因为直线上存在一点P，使得， 所以原点O到直线l的距离小于等于1，即，解得：， 即k的取值范围是. 故选：C 2（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解. 【详解】直线l：， 整理得， 由，可得， 故直线恒过点， 点到的距离， 故； 直线l：的斜率， 故，解得 故选：B. 3（2023·江西上饶·模拟预测）已知，，则的最小值等于（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】令，，得到点，分别在直线，上，设线段的中点为，则，且点在直线上，将所求问题，转化为点到原点的距离的倍，根据点到直线距离公式，即可求出结果. 【详解】令，，由已知可得点，分别在直线，上， 设线段的中点为，则， 到原点的距离， 依题意点在直线上， 所以点到原点的最小距离即为原点到直线的距离，为， 因此的最小值为，因此的最小值等于. 故选：D. 4（2024·河南信阳·模拟预测）已知方程在实数范围内有解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程中的看成主元，看成系数可得，表示一条直线，直线上的点为，根据的几何意义确定点到点的距离不小于到直线的距离，结合点到直线的距离公式和二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意知，将方程中的看成主元，看成系数， 则变成二元一次方程， 该方程可以表示直角坐标系中的一条直线，直线上的点为， 的几何意义是点与的距离， 所以直线上的点到点的距离不小于到直线的距离， 到直线的距离为 ， 即，所以， 又，是开口向上的抛物线， 当时，，所以， 即的最小值为. 故选：A 【题型3】 对称问题 角度1 点关于直线对称问题 【典题1】 （2025·江苏·专题练习）圆：关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算圆心关于直线对称的点是，得到圆方程. 【详解】因为圆，即， 所以圆的圆心坐标为，半径为. 圆心关于直线对称的点是，则，解得. 则所求圆的方程为. 故选：. 【点睛】本题考查了圆关于直线对称问题，意在考查学生的计算能力. 【巩固练习】 1. （2021·浙江·模拟预测）点关于直线的对称点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解. 【详解】解：设点关于直线的对称点是， 则有，解得，， 故点关于直线的对称点是. 故选：B. 【点睛】方法点睛：关于轴对称问题： （1）点关于直线的对称点，则有； （2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 2（2022·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求直线上任一点为，则求出其关于点对称的点，代入直线中化简可得答案 【详解】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为， 因为点在直线上， 所以，化简得， 所以所求直线方程为， 故选：B 角度2 直线关于直线对称问题 【典题1】 （2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解. 【详解】联立，得， 取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：. 故选：A 【巩固练习】 1. 直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 2若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解. 【详解】因为直线：与：， 所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得 即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得， 故所求直线方程为， 故选：A 角度3对称问题的应用 【典题1】 （2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得. 【详解】 如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B. 【巩固练习】 1. 如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程． 【详解】依题意，直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ，光线所经过的路程即的周长， 而的周长为， 所以光线所经过的路程是． 故选：B 2（2024·江苏·专题练习）已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，入射光线和反射光线都经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接､交与点，连接､分别交为点､，则，之间即为点的变动范围.再求出直线，的斜率即可. 【详解】∵，，， ∴直线方程为，直线方程为， 如图，作关于的对称点， ∵，∴，再作关于的对称点，则， 连接､交与点，则直线ME方程为，∴， 连接､分别交为点､， 则直线方程为，直线方程为， ∴，. 连接，，则，之间即为点的变动范围.    ∵直线方程为，直线FH的斜率为， ∴斜率的范围为. 故选：D. 3（2023·贵州·模拟预测）已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先求出点关于线段的对称点的坐标，且有.根据几何意义，结合图象，即可得出取最小值时，点的位置，进而得出答案. 【详解】 如图，过点作点关于线段的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设，则，所以， 又，所以点到轴的距离为， 所以，可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，过点作轴，显然有，当且仅当三点共线时，和有最小值. 则即为最小值，与线段的交点，即为最小值时的位置. 因为，所以的最小值为. 故选：B． 4如图已知，，，若光线从点射出，直线反射后到直线上，再经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点关于轴的对称点，设点关于直线的对称点列方程组求出，，从而求出直线，联立，得点坐标，由此能求出光线所在的直线方程． 【详解】由题意知，过点和点的直线为，且点， 设光线分别射在上的处， 由于光线从点经两次反射后又回到点， 根据反射规律，则 作出点关于的对称点，作出点关于的对称点， 则 所以共线， 因为，所以， 点关于轴的对称点 设点关于直线的对称点 所以，解得， 所以直线，即 联立，得， 所以直线，即光线L所在的直线方程为 故选：C． 1（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$