第01讲 直线方程(讲义) -2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第01讲 直线方程 一 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 特别地，当直线与轴平行或重合时，规定. 范围 与轴垂直时，. 直线的斜率 定义 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作. 当直线与轴平行或重合时，， 当直线与轴垂直时，不存在. 倾斜角与斜率之间的关系 ，， 斜率公式 经过两点的直线的斜率公式是 使用斜率公式的时候要注意的前提条件. (4)求斜率的方法 已知直线上两点，根据斜率公式求斜率； 已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率. (5) 利用斜率证明三点共线的方法 已知， 若 或，则有三点共线. 二 直线的方程 1 直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点 为斜率 不包括垂直于轴的直线 斜截式 为斜率 是直线在轴上的截距 不包括垂直于轴的直线 两点式 经过两点 且 不包括垂直于轴和轴的直线 截距式 是直线在轴上的非零截距 是直线在轴上的非零截距 不包括垂直于轴和轴或原点的直线 一般式 为系数 无限制，可表示任何 位置的直线 【题型1】 直线的倾斜角与斜率 【典题1】 （2022·四川绵阳·二模）已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2023·广东江门·一模）如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ） A． B． C． D． 2. （24-25·全国·专题练习）已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3. (2025·全国·专练)直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. （2024·江苏盐城·模拟预测）直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型2】 求直线的方程 【典题1】 (2025·全国·专练) （1）经过点，且与直线垂直的直线一般式方程. （2）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程； （3）求过点，且在轴上的截距与在轴上的截距之和为2的直线斜率. 【巩固练习】 1. （24-25全国·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2. （多选）（2025·浙江·模拟预测）已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（ ） A． B． C． D． 3（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 4(2025·全国·专练)如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标如图，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高线所在直线的方程. (3)边上的垂直平分线所在直线的方程. 【题型3】 直线方程的综合应用 角度1 直线过定点问题 【典题1】(2025·广东·专练) 直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．4 【巩固练习】 1. (2025·全国·专练)过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 2（2024·辽宁大连·模拟预测）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（    ） A． B．5 C． D． 3（2025·四川巴中·模拟预测）已知函数的图象与直线有两个交点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4（2023·四川绵阳·模拟预测）已知直线过定点A，直线过定点，与相交于点，则 ． 角度2 与基本不等式相结合的最值问题 【典题1】(2025·全国·专练)已知直线过定点P： (1)求过P且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)l与x轴，y轴正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点： （i）求三角形OAB面积取最小值时直线l的方程； （ⅱ）求取最小值时直线l的方程． 【巩固练习】 1. （2023·河南·模拟预测）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点． (1)若直线过定点M，且M是线段AB的中点，求实数的值； (2)求的最小值． 2(2025·湖南·专练)过点作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点． (1)求面积的最小值及此时直线l的方程； (2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程； (3)求的最小值及此时直线l的方程． 角度3 与圆相结合的直线方程问题 【典题1】 （2024·浙江宁波·模拟预测）已知圆C：，点P是圆C上的动点，点，当最大时，所在直线的方程是 . 【巩固练习】 1. （2022·内蒙古呼和浩特·二模）已知直线与圆交于，两点，若该圆的一条直径过弦的中点，则这条直径所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2（2024·江西上饶·一模）作圆一个内接正十二边形，使该正十二边形中的4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正十二边形的一条边所在直线的为（    ） A． B． C． D． 3已知点是直线上一动点，直线是圆的两条切线，为切点，则直线必过的定点是（    ） A． B． C． D． 1（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 直线方程 一 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 特别地，当直线与轴平行或重合时，规定. 范围 与轴垂直时，. 直线的斜率 定义 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作. 当直线与轴平行或重合时，， 当直线与轴垂直时，不存在. 倾斜角与斜率之间的关系 ，， 斜率公式 经过两点的直线的斜率公式是 使用斜率公式的时候要注意的前提条件. (4)求斜率的方法 已知直线上两点，根据斜率公式求斜率； 已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率. (5) 利用斜率证明三点共线的方法 已知， 若 或，则有三点共线. 二 直线的方程 1 直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点 为斜率 不包括垂直于轴的直线 斜截式 为斜率 是直线在轴上的截距 不包括垂直于轴的直线 两点式 经过两点 且 不包括垂直于轴和轴的直线 截距式 是直线在轴上的非零截距 是直线在轴上的非零截距 不包括垂直于轴和轴或原点的直线 一般式 为系数 无限制，可表示任何 位置的直线 【题型1】 直线的倾斜角与斜率 【典题1】 （2022·四川绵阳·二模）已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算，再考虑和两种情况，得到倾斜角范围. 【详解】，则， 设直线的倾斜角为，故， 所以当时，直线的倾斜角； 当时，直线的倾斜角； 综上所述：直线的倾斜角 故选：B 【巩固练习】 1. （2023·广东江门·一模）如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】由题可得， 又，得，，得， . 故选：C. 2. （24-25·全国·专题练习）已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用斜率公式求出，再由倾斜角斜率的取值图象数形结合求得即可. 【详解】 由图象结合题意可知：， 观察到直线过点与线段有公共点时倾斜角为钝角时逐渐增大， 斜率大于或等于直线的斜率； 为锐角时倾斜角逐渐减小，斜率小于或等于直线的斜率； 所以直线的斜率的取值范围是． 3. (2025·全国·专练)直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意知,若 a = 0  ,则倾斜角为, 若,则, ①当时，(当且仅当时，取“”)， ②当时，(当且仅当时，取“”)， ，故， 综上，， 故选：C. 4. （2024·江苏盐城·模拟预测）直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线的一般方程转化为直线的斜截式方程，根据的范围求出的范围，进而求出范围即可求解. 【详解】当时，直线的斜率为， 因为，所以时，或， 由得， 当即时，直线的斜率为. 因为，所以或，即或. 所以直线的斜率的取值范围为. 综上所述，直线的斜率的取值范围为. 故选：A. 【题型2】 求直线的方程 【典题1】 (2025·全国·专练) （1）经过点，且与直线垂直的直线一般式方程. （2）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程； （3）求过点，且在轴上的截距与在轴上的截距之和为2的直线斜率. 【答案】（1）；（2）；（3）或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，设出直线方程，再利用待定系数法求出直线方程. （3）根据给定条件，利用直线方程的截距式，再利用待定系数法求出直线的横纵截距，进而求出直线的斜率. 【详解】（1）设与直线垂直的直线方程为，又该直线过点， 则，解得， 所以所求直线方程为. （2）设与直线平行的直线方程为， 又该直线过点，则，解得， 所以所求直线方程为. （3）显然直线不过原点，设其方程为，则， 整理得，即，因此，解得， 而直线，即，其斜率为， 所以所求直线的斜率为或. 【巩固练习】 1. （24-25全国·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0，截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方程后带点即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则 ①，则直线过原点，则直线方程为： ②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为： 综上所述：该直线方程为或 故选：D 2. （多选）（2025·浙江·模拟预测）已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由正方形的特征可知，直线与直线夹角为，由直线斜率利用两角差的正切公式求出直线的斜率，对照选项即可判断. 【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 直线斜率为2，有，则. 依题意有或， 当时，，即， 解得，即直线的斜率为-3，C选项中的直线斜率符合； 当时，，即， 解得，即直线的斜率为，B选项中的直线斜率符合. 故选：BC 3（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 【答案】 【分析】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】联立与可得， 故交点为，倾斜角为，所以斜率为1， 故直线方程为，即， 故答案为： 4(2025·全国·专练)如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标如图，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高线所在直线的方程. (3)边上的垂直平分线所在直线的方程. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）求出边的中点，再求出中线所在直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解. （2）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. （3）由（1）（2），直线的点斜式方程求解. 【详解】（1）依题意，边的中点，则边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）直线的斜率，则边上的高线所在直线的斜率， 所以边上的高线所在直线的方程，即. （3）由（2）知，边上的垂直平分线所在直线的斜率为1， 由（1）知，边上的垂直平分线所在直线过点， 所以边上的垂直平分线所在直线的方程为，即. 【题型3】 直线方程的综合应用 角度1 直线过定点问题 【典题1】(2025·广东·专练) 直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】求得、，再根据两直线的位置关系的判断可得，即有,从而得,再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，即， 由，解得，所以直线过定点； 同理可得直线过定点； 又因为，所以， 即有，所以， 所以， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为4. 故选：D. 【巩固练习】 1. (2025·全国·专练)过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 有， 故,当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选: 2（2024·辽宁大连·模拟预测）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式及三角形面积公式即得． 【详解】由题意直线过定点， 直线可变为，所以该直线过定点， 所以， 又， 所以直线与直线互相垂直， 所以， 所以即， 当且仅当时取等号, 所以，，即面积的最大值是. 故选：D. 3（2025·四川巴中·模拟预测）已知函数的图象与直线有两个交点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】由直线过定点和函数图像的对称性结合即可； 【详解】由题意可得直线恒过点，且无论取何值，直线与函数都有两个交点， 所以分析函数的对称中心为， 所以，， 所以， 故选：C. 4（2023·四川绵阳·模拟预测）已知直线过定点A，直线过定点，与相交于点，则 ． 【答案】13 【分析】 根据题意求点的坐标，再结合垂直关系运算求解. 【详解】对于直线，即， 令，则，则，可得直线过定点， 对于直线，即， 令，则，则，可得直线过定点， 因为，则，即， 所以. 故答案为：13.    角度2 与基本不等式相结合的最值问题 【典题1】(2025·全国·专练)已知直线过定点P： (1)求过P且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)l与x轴，y轴正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点： （i）求三角形OAB面积取最小值时直线l的方程； （ⅱ）求取最小值时直线l的方程． 【答案】(1)或. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）首先求出其所过定点，再分类讨论是否过原点即可. （2）（i）由题意设，，由条件结合基本不等式求取得最小值时和的值即可求解； （ii）结合（i），利用基本不等式计算取得最小值时和 【详解】（1），即， 则，解得，则定点， 当直线过原点时，此时直线方程为，即直线方程为， 当直线不过原点时，若截距相等，则，则直线方程为，即. 综上所述，直线方程为或. （2）（i）由题意设，，其中，为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当即时，取得最小值， 所以面积， 所以当，时，面积最小， 此时直线的方程为，即，即时得到上述直线方程. （ii）因为，， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以当，时，的值最小， 此时直线的方程为，即，即得到上述直线方程. 【巩固练习】 1. （2023·河南·模拟预测）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点． (1)若直线过定点M，且M是线段AB的中点，求实数的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，所以可以求出，由此即可求解. （2）把坐标代入两点式方程，由乘“1”法以及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意易得直线AB过定点， 由M为AB的中点， 故， 故． （2）设，，其中，，则直线AB的方程可写成， 将代入得，， 故， 当且仅当时取等号， 故的最小值为． 2(2025·湖南·专练)过点作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点． (1)求面积的最小值及此时直线l的方程； (2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程； (3)求的最小值及此时直线l的方程． 【答案】(1)4； (2)， (3)最小值为4，线l的方程为， 【分析】（1）方法一：设直线l的方程为，可得，，利用基本不等式运算求解；方法二：设，可得，利用基本不等式运算求解； （2）方法一：由（1）可知，，利用基本不等式运算求解；方法二：由（1）可知，利用基本不等式运算求解； （3）由（1）可知，，可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】（1）方法一：由题意可知：直线l的斜率存在，且为负数， 设直线l的方程为，可得，， 则， 当且仅当，即时，面积有最小值为4， 此时直线l的方程为，即； 方法二：设， 则所求直线l的方程为，可得． 则，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以面积有最小值为4， 此时直线l的方程是，即. （2）方法一：因为，（）， 则截距之和为． 当且仅当，即时，等号成立， 所以截距之和的最小值为， 此时l的方程为，即； 方法二：因为， 则截距之和， 当且仅当，时，等号成立． 此时，直线l的方程为，即． （3）因为，（）， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4，此时，直线l的方程为. 角度3 与圆相结合的直线方程问题 【典题1】 （2024·浙江宁波·模拟预测）已知圆C：，点P是圆C上的动点，点，当最大时，所在直线的方程是 . 【答案】 【分析】设，在中，由余弦定理，得 ，利用基本不等式可以找到PM，易得此时，可得PM的斜率，从而求得PM的方程. 【详解】设，则，在中，由余弦定理，得 ，当且仅当时，等号成立，此时最大，且， 故，又，所以，故所在直线的方程为 ，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查点斜式求直线的方程，涉及到余弦定理、基本不等式、圆等知识，考查学生的计算能力以及逻辑推理能力，是一道中档题. 【巩固练习】 1. （2022·内蒙古呼和浩特·二模）已知直线与圆交于，两点，若该圆的一条直径过弦的中点，则这条直径所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意得这条直径所在的直线与直线垂直，又经过原点即可求解直线方程． 【详解】若该圆的一条直径过弦的中点，则这条直径所在的直线与直线垂直， 故这条直径所在的直线的斜率为，圆的圆心为 所以这条直径所在的直线方程为，化为． 故选：C 2（2024·江西上饶·一模）作圆一个内接正十二边形，使该正十二边形中的4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正十二边形的一条边所在直线的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意画出图形，把正十二边形的各点表示出来，结合选项一一判断即可. 【详解】如图： 可知， ， 直线的方程，即，A正确； 直线的方程，即，B正确； 直线的方程为，即，D正确. 经检验直线不符合, 故选：C. 3已知点是直线上一动点，直线是圆的两条切线，为切点，则直线必过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，写出直线的方程，利用相交直线系来求解直线恒过的定点. 【详解】设点，因为点P在直线上， 故：，解得：；① 又过点P，作圆的两条切线，切点为A、B，故： 直线AB的方程为：；② 将①代入②可得： 故直线AB恒过定点为直线与的交点， 即：，解得 故选：D. 【点睛】本题综合考查直线与圆，涉及切线问题，直线恒过定点问题，属中档题. 1（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$