重庆市荣昌中学校2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

荣昌中学高2025届高三上期半期检测数学试题 时间:120分钟 满分:150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数,则“是函数为偶函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知且,则( ) A. B. C. D. 3. 已知函数恒过定点,则函数的图象不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.已知a=(,b=lo,3c+c=0,则( ) A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b 5.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日( Day).历史上,求圆周率的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔 卡西的方法是:当正整数充分大时,计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形(各边均与圆相切的正边形)的周长,将它们的算术平均数作为的近似值.按照阿尔 卡西的方法,的近似值的表达式是( ). A. B. C. D. 6.设函数f(x)=sin x+sin( x+)( >0),已知f(x)在[0, ]上有且仅有3个极值点,则 的取值范围是( ) A.(, ] B. [, ) C. (,] D. [,) 7.已知函数-在(1,+∞)上有极值,则实数a的取值范围为( ) A. C. 8.已知函数 方程有两个不同的根,分别是则 ( ) A. B.3 C.6 D.9 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的的6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. 下列说法正确的是( ) A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为,则函数的定义域为 C. 已知命题p:,,则命题p的否定为, D. 定义在R上的偶函数满足,则函数的周期为2 10. 已知函数,则下列说法正确的是( ) A. 是函数的周期 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到 D. 函数的对称轴方程为 11. 已知函数,其中实数,则下列结论正确的是( ) A. 在上单调递增 B. 当有且仅有3个零点时,的取值范围是 C. 若直线与曲线有3个不同的交点,且,则 D. 当时,过点可以作曲线的3条切线 三、填空题;本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.若,则 . 13.定义在R上的函数f(x)满足以下两个性质: ①f(-x)+f(x)=0,②f(1+x)=f(2-x),则满足①②的一个函数是 . 14. 在三角函数部分,我们研究过二倍角公式,我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式.根据你的研究结果解决如下问题:在锐角 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则的取值范围是_. 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知、是方程的两个实数根. (1)求实数的值;(2)若,求的值. 16.(15分)已知函数. (1)当时,求曲线在点处的切线方程. (2)若函数有两个零点,求实数的取值范围. 17.(15分)在 ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足(c-2a)cos B+bcos C=0. (1)求角B的值; (2)已知D在边AC上,且AD=3DC,BD=3,求 ABC面积的最大值. 18.(17分)在一个系统中,每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度,而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度,为了增加系统的可靠度,人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉.系统就能正常工作.设三台设备的可靠度均为,它们之间相互不影响. (1)要使系统的可靠度不低于0.992,求的最小值; (2)当时,求能使系统正常工作的设备数的分布列; (3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7,根据以往经验可知,计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失,有以下两种方案: 方案1:更换部分设备的硬件,使得每台设备的可靠度维持在0.8,更换设备硬件总费用为0.8万元; 方案2:花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备,达到“一用三备”. 请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策?并说明理由. 19. (17分)定义:如果函数在定义域内,存在极大值和极小值,且存在一个常数,使成立,则称函数为极值可差比函数,常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. (1)当时,判断是否为极值可差比函数,并说明理由; (2)是否存在使的极值差比系数为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由; (3)若,求的极值差比系数的取值范围. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 荣昌中学高2025届高三上期半期检测数学试题解析 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则“是函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件的判定方法，结合余弦函数的奇偶性即可得解. 【详解】当时，，故函数为偶函数，即充分性成立； 当为偶函数时，，此时不一定成立，即必要性不成立； 所以“是函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 2．已知且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 故选：B 3. 已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质求解． 【详解】 ，恒过定点， ，，，其图象如图所示， 因此不经过第四象限， 故选：D． 4.已知a＝（，b＝lo，3c＋c＝0，则（　　） A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.c＜b＜a D.a＜c＜b 解析：B　（＞0，且（＜（）0＝1，故0＜a＜1，b＝lo＞lo＝1，即b＞1.因为f（x）＝3x＋x在R上单调递增，且f（－1）＝－＜0，f（0）＝1＞0，所以c∈（－1，0），所以c＜a＜b.故选B. 5．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ， 所以，单位圆的内接正边形的周长为， 单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为， ， 则. 故选：A. 6.设函数f（x）＝sin ωx＋sin（ωx＋）（ω＞0），已知f（x）在[0，π]上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围是（ ） A.(, ］ B. ［, ) C. （，］ D. ［，） 答案：C 解析：f（x）＝sin ωx＋sin（ωx＋）＝sin ωx＋sin ωxcos ＋cos ωxsin ＝sin ωx＋cos ωx＝（sin ωx＋cos ωx）＝sin（ωx＋），当x∈[0，π]时，ωx＋∈［，ωπ＋］，令t＝ωx＋，则t∈［，ωπ＋］，作出函数y＝sin t（≤t≤ωπ＋，ω＞0）的图象如图所示， 由于函数f（x）在[0，π]上有且仅有3个极值点， 则π＜ωπ＋≤π，解得＜ω≤. 7.已知函数－在（1，＋∞）上有极值，则实数a的取值范围为（　　） A. C. 解析：B　f'（x）＝－a，设g（x）＝＝－，∵函数f（x）在区间（1，＋∞）上有极值，∴f'（x）＝g（x）－a在（1，＋∞）上有变号零点，即g（x）＝a在（1，＋∞）上有解，令＝t，由x＞1可得ln x＞0，即t＞0，得到y＝t－t2＝－＋≤，解得a≤.又当a＝时，f'（x）＝－＝＝－≤0在（1，＋∞）上恒成立，则f（x）在（1，＋∞）上单调递减，无极值点，故舍去，所以a的取值范围是.故选B. 8．已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解析】由题意得：为R上的增函数，且 当时，，， 当时，，， 方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知与图象关于对称， 则两点关于对称，中点在图象上， 由，解得：. 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的的6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 已知命题p：，，则命题p的否定为， D. 定义在R上的偶函数满足，则函数的周期为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，两函数定义域不同；B选项，令，求出，得到函数定义域；C选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；D选项，根据函数为偶函数得到，故，得到函数周期. 【详解】A选项，的定义域为R，令，解得， 故的定义域为，定义域不同，A错误； B选项，令，解得，故函数的定义域为，B正确； C选项，命题p的否定为，，C正确； D选项，偶函数，故，又， 故，则函数的周期为2，D正确. 故选：BCD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的周期 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到 D. 函数的对称轴方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角函数图象与性质逐一判断选项即可. 【详解】因为，所以是函数的周期，故A正确； ∵，∴，又在上不单调，故B错误； ∵函数向左平移个单位长度得到，故C正确； 令，得，故D正确， 故选：ACD． 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 当有且仅有3个零点时，的取值范围是 C. 若直线与曲线有3个不同的交点，且，则 D. 当时，过点可以作曲线的3条切线 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A根据导函数及可判断单调性；选项B根据极大值极小值可得；选项C由三次函数对称中心可得；选项D，先求过点的切线方程，将切线个数转化为与图象交点个数，进而可得. 【详解】选项A：由题意可得， 令解得或， 因为，所以令解得或，令解得， 故在区间或上单调递增，在上单调递减，故A错误， 选项B：要使有且仅有3个零点时，只需即，解得，故B正确； 选项C：若直线与曲线有3个不同的交点，且， 则点是三次函数的对称中心， 设，则， 令，得，故的对称中心为，，故C正确； 选项D：，设切点为， 所以在点处的切线方程为：， 又因为切线过点，所以， 解得， 令， 过点可以作曲线的切线条数可转化为与图象交点个数， ， 因为，所以得或，得， 则在，上单调递增，在上单调递减， 且，，图象如图所示， 所以当时，与图象有3个交点， 即过点可以作曲线的3条切线，故D正确， 故选：BCD 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则 . 【答案】2 【解析】因为，所以，即，即， 因此. 故答案为：2. 13.定义在R上的函数f（x）满足以下两个性质： ①f（－x）＋f（x）＝0，②f（1＋x）＝f（2－x），则满足①②的一个函数是　　　　. 答案：f（x）＝sin x（答案不唯一） 解析：由①知f（－x）＝－f（x），即f（x）为奇函数，由②知f（x）＝f（3－x），即f（3＋x）＝f（－x）＝－f（x），所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），故f（x）是周期为6的周期函数，因此f（x）是定义在R上周期为6的奇函数，取f（x）＝sin x符合要求. 14. 在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用，再根据整体思想将转化为两角和的余弦值化简，再利用诱导公式可得，根据锐角三角形性质可得取值范围，从而得的取值范围，代入化简即可得出结论. 【详解】三倍角公式： ， 因为， 所以. 故，△ABC为锐角三角形，故解得， 故，． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知、是方程的两个实数根. (1)求实数的值；(2)若，求的值. 【解析】（1）因为、是方程的两个实数根， 由韦达定理得， 由， 则， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以， 因为 ， 所以，，， 所以. 16．（15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）转化为的图象有2个交点，令，利用导数求出值域，结合图象可得答案. 【详解】（1）当时，，所以, ，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 由得， 的图象有2个交点， 令， ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以， 且时，，， 所以时，，所以的大致图象如下， 所以若函数有两个零点， 则， 所以实数的取值范围为. 17.（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足（c－2a）cos B＋bcos C＝0. （1）求角B的值； （2）已知D在边AC上，且AD＝3DC，BD＝3，求△ABC面积的最大值. 解：（1）根据（c－2a）cos B＋bcos C＝0，由正弦定理可得（sin C－2sin A）cos B＋sin Bcos C＝0， sin Ccos B＋sin Bcos C－2sin Acos B＝0， 又sin（B＋C）＝sin A， 即sin A－2sin Acos B＝0， 又0＜A＜π，所以sin A＞0，所以cos B＝， 又0＜B＜π，所以B＝. （2）由AD＝3DC可得，＝＋＝＋＝＋（－）＝＋， 所以＝（＋）2＝＋·＋， 由B＝可得：9＝c2＋ac＋a2≥2＋ac＝ac ， 所以ac≤16，当且仅当c＝3a时取等号， 所以S△ABC＝acsin B≤×16×＝4， 所以△ABC面积的最大值为4. 18．（17分）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响． (1)要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值； (2)当时，求能使系统正常工作的设备数的分布列； (3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案： 方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元； 方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”． 请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由． 【答案】(1)0.8 (2)答案见解析 (3)决策部门应选择方案2，理由见解析 【分析】（1）先用表示出，结合题意即可求出的最小值； （2）由题意可知，满足二项分布，故易得能正常工作的设备数的分布列； （3）分别计算两种方案的损失期望值，即可做出决策. 【详解】（1）要使系统的可靠度不低于0.992，设能正常工作的设备数为， 则， 解得，故的最小值为0.8． （2）设为正常工作的设备数，由题意可知，， ， ， ， ， 从而的分布列为： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 （3）设方案1､方案2的总损失分别为，， 采用方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8， 可知计算机网络断掉的概率为：， 故万元． 采用方案2，花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”， 计算机网络断掉的概率为：， 故万元． 因此，从经济损失期望最小的角度，决策部门应选择方案2． 19. （17分）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数． （1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； （2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）若，求的极值差比系数的取值范围． 【答案】（1）是极值可差比函数，理由见解析； （2）不存在使的极值差比系数为，理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数的值，这样的值存在即可判断. （2）反证法，假设存在这样的，又“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可. （3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性即可得出函数取值范围. 【小问1详解】 当时，， 所以， 当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以极大值为，极小值为， 所以，因此是极值可差比函数． 【小问2详解】 的定义域为，即， 假设存在，使得的极值差比系数为，则是方程的两个不等正实根， ，解得，不妨设，则， 由于 所以，从而， 得 令， 所以在上单调递增，有， 因此式无解，即不存在使的极值差比系数为． 【小问3详解】 由（2）知极值差比系数为， 即，不妨设， 令，极值差比系数可化为， ， 又，解得， 令， 设 所以在上单调递减，当时，， 从而， 所以在上单调递增，所以， 即． 故的极值差比系数的取值范围为． 【点睛】思路点睛：合理利用导函数和“极值可差比函数”定义，在（2）利用极值点的性质找到几个变量间的基本关系，利用函数单调性判断方程无解。（3）中的需要重复利用（2）几个重要的数量关系，对变量进行转化，利用导函数求出单调区间，得出取值范围是关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$