精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段性考试数学试题

2024年下学期第一次阶段性考试 高一数学（试题卷） （命题人：林祖成 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简集合,即可根据交集的定义求解. 【详解】由可得，故， 故选：C 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断各选项即可. 【详解】由题意得，， 所以两边同时除以得，即，A不正确； 两边同时除以得，B不正确； 两边同时乘得，C正确； 由可得，两边同时除以得，D错误. 故选：C 3. 设，不等式的解集为或，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次不等式的解集端点是对应方程的两根，利用韦达定理得出的关系，从而得出结果. 【详解】由题意可知是方程的两根， 则，∴ ∴ 故选：D 4. “函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意求，进而根据必要不充分条件的概念可判断. 【详解】函数在区间上不单调，对称轴为， “函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件可以是． 故选：C． 5. 我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及定义域和取特值可排除得选项. 【详解】根据函数的图像可知，函数为偶函数，且定义域为， 判断四个选项，只有和符合， 又因为时，有的函数值是负数，例如不符合， 所以只有成立， 故选：B. 6. 已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（ ） A. B. C. D. 3，1 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由，得到，令， 则，对称轴， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值和最小值分别是. 故选：B． 7. 设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由，判断出在上是增函数，然后再根据函数的奇偶性以及单调性即可求出的解集. 【详解】 对任意的，都有 ， 在上是增函数， 令， 则， 为偶函数， 在上是减函数， 又，则， ， 当时，， 即，解得：， 当时，， 即，解得：， 综上所述：的解集为：. 故选：A. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“函数”的定义可得值域为，再求分段函数的值域，由集合的包含关系列出不等式组，求解即可. 【详解】由题意可知的定义域为，值域为， 而，，所以的值域为. 当时，单调递增，此时值域为； 当时，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 故此时单调递增，值域为. 因此，解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题、每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得的最大值可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D； 【详解】，且，， 对于A，利用基本不等式得，化简得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D， 利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增， ，，故D错误； 故选：BC 10. 说法正确的是（ ） A. 已知，则的定义域为 B. 若幂函数在区间上是减函数，则 C. 函数的值域为 D. 已知函数满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分式满足的关系即可求解A，利用幂函数的定义可得，或，即可根据单调性求解B，根据函数的单调性即可求解C，根据利用方程组的思想即可求解D. 【详解】对于A：因为，所以，又因为在中，，所以， 所以，所以的定义域为且，故A选项错误； 对于B：函数是幂函数， 所以，即，解得，或， 当时，在上单调递减，符合题意， 当时，，不符合题意，B选项正确； 对于C，由，可得函数的定义域为， 又函数均在上单调递增，故在上单调递增， 所以， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，因为①，所以②， ②－①得，解得，故D正确． 故选：BCD 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的函数值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用定义可知函数为奇函数，根据解析式可得，分三种情况讨论可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以，即， 因为，因为，，所以，所以，所以 即 当时，，所以，，此时， 当时，，所以，，此时， 当时，，此时，，此时， 所以函数的值域为. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式以及0次幂的性质即可列不等式求解. 【详解】由题意可得，解得且，所以函数的定义域是， 故答案为： 13. 已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】不等式等价于的解集是，分和两种情况讨论求实数的取值范围. 【详解】恒成立， 不等式等价于的解集是， 当时，不成立，解集是， 当时， ，解得：， 综上：. 故答案为： 14. 若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和______． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据得到是奇函数，进而可判断也是奇函数，进而可得. 【详解】在中，令得，即， 令得，即，是奇函数， 令，则， 故是奇函数， 在对称区间上， 当时，，. 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出，再根据集合的并集，交集的运算求解即可． （2）根据题意可得，再求得，列出方程组求出的取值范围即可得答案． 【小问1详解】 解：当时，，， ，． 【小问2详解】 解：是成立的充分不必要条件， ， ，，， 则，， 经检验知，当时，，不合题意， 实数的取值范围． 16. 计算下列各式的值： （1）； （2）若，求的值； （3）已知实数，满足，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质即可求解， （2）（3）根据指数与对数的互化，结合对数的运算性质即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ，又， 所以． 【小问3详解】 由，得．由， 所以，所以，解得：， 则，即， 所以，所以． 17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得； （2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元； 当时， 万元， 当且仅当时等号成立， 故当时，万元； 故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元. 18. 已知函数为奇函数. （1）利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增； （2）若正数满足，求的最小值； （3）解不等式. 【答案】（1）证明: 函数的定义域是，由题意得，解得：，则， ，为奇函数，故， 任取，且， 则， 因为，且，所以， 所以，故， 所以函数在上单调递增； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性得出，然后利用函数单调性的定义证明即可； （2）由已知条件求得，即，利用“1”的妙用和基本不等式求解即可； （3）令，易知是奇函数，且在上单调递增，又，不等式，从而，求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为为奇函数， 所以，又函数在上单调递增， 所以正实数满足，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【小问3详解】 令， 因为和都是奇函数，且在上单调递增，所以是奇函数，且在上单调递增. 又，不等式. 从而，解得或. 故不等式的解集为. 19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数 （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）4； （2）（ⅰ）， 故， 故函数的图像关于点对称； （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由对称性得到，故； （2）（ⅰ）计算得到，得到的图像关于点对称； （ⅱ）分离常数得到在上单调递增，求出的值域为，设在上的值域为，由题意得，分，和三种情况，结合对称性，得到的单调性，得到值域，结合得到不等式组，求出的取值范围. 【小问1详解】 函数的图像关于点对称， 故， 令得； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）， 故在上单调递增，其中， ， 故的值域为， 设在上的值域为，由题意得， 图象开口向上，对称轴为，且， 当时， 若，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，故在上单调递增， 因为，所以， 所以，由得，解得， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可知，或， 因为，所以， ， 又， 所以， 所以当时，满足； 当，即时，在上单调递减， 由对称性可知，在上单调递减，故在上单调递减， 因为，所以， 所以，由得，解得， 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法， 一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期第一次阶段性考试 高一数学（试题卷） （命题人：林祖成 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，不等式的解集为或，则（ ）． A. B. C. D. 4. “函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（ ） A. B. C. D. 3，1 7. 设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题、每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 10. 说法正确的是（ ） A. 已知，则的定义域为 B. 若幂函数在区间上是减函数，则 C. 函数的值域为 D. 已知函数满足，则 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的函数值可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______． 13. 已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是___________. 14. 若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 计算下列各式的值： （1）； （2）若，求的值； （3）已知实数，满足，求的值． 17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 18. 已知函数为奇函数. （1）利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增； （2）若正数满足，求的最小值； （3）解不等式. 19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数 （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $