精品解析：广西壮族自治区钦州市浦北县2024-2025学年八年级上学期10月期中考试数学试题

2024年秋季学期期中学业质量监测 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是 （ ） A. 线段 B. 等边三角形 C. 正方形 D. 圆 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 3、3、7 B. 2、3、5 C. 3、4、5 D. 5、6、11 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 面积相等的两个图形是全等图形 B. 形状相等的两个图形是全等图形 C. 周长相等的两个图形是全等图形 D. 能够完全重合的两个图形是全等图形 4. 在中，若一个锐角等于，则另一个锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是等腰的顶角平分线，，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 7. 如图，把两根钢条的中点连在一心，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），若测得米，则槽宽为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 在与中，，，则添加下列选项中的条件仍不一定能证得这两个三角形全等的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 如图，和关于直线对称，交于点，若，，，则五边形的周长为　　 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 11. 如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　） A. 8.4 B. 9.6 C. 10 D. 10.8 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 三角形三条________（填写“高”、“中线”或“角平分线”）的交点叫做三角形的重心． 14. 等腰三角形的顶角为76°，则底角等于__________． 15. 如图，在和中，，则______． 16. 从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线． 17. 如图，中，，于点D，，，则的长是______． 18. 如图，D为内一点，平分，，若，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 在中，，． （1）求长度的取值范围； （2）若为等腰三角形，则它的周长为________． 20. 如图，在边长为1的正方形网格中，的各个顶点均在格点上． （1）画出关于轴对称的； （2）在轴上画出点，使的值最小． 21. 如图，已知点D在△ABC的边AB上，且AD＝CD， （1）用直尺和圆规作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，判断DE与AC的位置关系，并写出证明过程． 22. 货轮在海上以每小时40海里的速度沿南偏东的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测到灯塔A在其北偏东的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离． 23. 如图，在是等边三角形，是中线，过作，交延长线于点． （1）求的度数； （2）求证：是的中线． 24. 如图，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 25. 如图，是的角平分线，，分别是和的高． （1）求证：垂直平分； （2）若，，的面积是，求． 26. 小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE； （2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为　 　；线段BE与AD之间的数量关系是　 　； （3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期期中学业质量监测 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是 （ ） A. 线段 B. 等边三角形 C. 正方形 D. 圆 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：圆有无数条对称轴. 故选D. 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 3、3、7 B. 2、3、5 C. 3、4、5 D. 5、6、11 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条短边之和大于最长的边和两边之差小于第三边逐项进行判断即可． 【详解】A.3+3=6＜7，不能组成三角形，故A不符合题意； B.2+3=5，不能组成三角形，故B不符合题意； C.3+4=7＞5，5-3＜4，能组成三角形，故C符合题意； D.5+6=11，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键． 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 面积相等的两个图形是全等图形 B. 形状相等的两个图形是全等图形 C. 周长相等的两个图形是全等图形 D. 能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等形的概念，做题时一定要严格紧扣概念对选项逐个验证，这是一种很重要的方法，注意应用． 根据全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形不一定全等求解即可． 【详解】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误； B、形状相等的两个图形也不一定是全等形，说法错误； C、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误； D、符合全等形的概念，正确． 故选：D． 4. 在中，若一个锐角等于，则另一个锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余进行求解即可． 【详解】解：∵在中，一个锐角等于， ∴另一个锐角的度数为， 故选：C． 5. 如图，是等腰的顶角平分线，，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质． 根据等腰三角形的三线合一的性质即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰的顶角平分线， ∴． 故选：C． 6. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 7. 如图，把两根钢条的中点连在一心，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），若测得米，则槽宽为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】连接，交于O，证即可解决． 【详解】解：连接，交于O， 在与中 （米） 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用以及全等三角形的证明和对应边相等的性质，本题中求证三角形全等是解题的关键． 8. 在与中，，，则添加下列选项中的条件仍不一定能证得这两个三角形全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等．已知一组边和一组角，添加条件后判断是否满足，或即可． 【详解】解：A．添加后，结合已知，满足，能判定全等； B．添加后，结合已知，满足，不能判定全等； C．添加后，结合已知，满足，能判定全等； D．添加后，结合已知，满足，能判定全等； 故选：B． 9. 已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和外角综合，正多边形的一个内角度数与一个外角的度数之和为180度，据此可得这个多边形的每个外角的度数为，再根据外角和为即可求出边数． 【详解】解：∵一个多边形的每个内角都是， ∴这个多边形的每个外角的度数为， ∴这个多边形的边数为， 故选：D． 10. 如图，和关于直线对称，交于点，若，，，则五边形的周长为　　 A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，正确得出对应线段是解题关键．直接利用轴对称的性质得出，，，再用周长公式即可得出答案． 【详解】解：∵和关于直线对称，交于点， ∴，，， ∵，，， ∴，，， 五边形的周长为：． 故选：C． 11. 如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 12. 如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　） A. 8.4 B. 9.6 C. 10 D. 10.8 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图： 则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 三角形三条________（填写“高”、“中线”或“角平分线”）的交点叫做三角形的重心． 【答案】中线 【解析】 【分析】此题考查三角形重心的定义，熟记定义是解题的关键． 根据三角形重心的定义解答． 【详解】解：三角形的三条中线的交点叫三角形的重心． 故答案为：中线． 14. 等腰三角形的顶角为76°，则底角等于__________． 【答案】52° 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，进行计算即可. 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为76°， ∴底角为：， 故答案为52°. 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角计算角度. 15. 如图，在和中，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的两锐角互余得到，结合题意利用证明，根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 16. 从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线． 【答案】 【解析】 【分析】边形从一个顶点出发可以引条对角线，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴从七边形一个顶点出发，最多可引条对角线． 17. 如图，中，，于点D，，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含直角三角形的性质； 求出，然后利用两次含直角三角形的性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，D为内一点，平分，，若，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】延长与交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出，，根据，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 在中，，． （1）求长度的取值范围； （2）若为等腰三角形，则它的周长为________． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义等知识．掌握三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题关键． （1）根据三角形的三边关系得到，然后代数解出a的解集即可； （2）根据等腰三角形的定义可分类讨论：①当时和②当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴，即 ∴； 【小问2详解】 解：∵为等腰三角形， ①当时，，符合题意 ∴它的周长为； ②当时，，不能围成三角形，故不符合题意． 综上所述，它的周长为16． 20. 如图，在边长为1的正方形网格中，的各个顶点均在格点上． （1）画出关于轴对称的； （2）在轴上画出点，使的值最小． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）如图所示， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，轴对称最短路径问题： （1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接与y轴交于点Q，点Q即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解；作点A关于y轴的对称点，连接与y轴交于点Q，点Q即为所求． 21. 如图，已知点D在△ABC的边AB上，且AD＝CD， （1）用直尺和圆规作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，判断DE与AC的位置关系，并写出证明过程． 【答案】 解：（1）如图所示，DE即为所求． （2）DE∥AC． 理由如下： 因为AD＝CD， 所以∠A＝∠DCA， 所以∠BDC＝∠A+∠DCA＝2∠A， 因为DE平分∠BDC， 所以∠BDC＝2∠BDE， 所以∠BDE＝∠A， 所以DE∥AC． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图可得； （2）先由AD＝CD知∠A＝∠DCA，继而得∠BDC＝∠A+∠DCA＝2∠A，再由DE平分∠BDC知∠BDC＝2∠BDE，从而得∠BDE＝∠A，从而得证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的性质和平行线的判定，解题的关键是掌握尺规作图、角平分线的性质和平行线的判定. 22. 货轮在海上以每小时40海里的速度沿南偏东的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测到灯塔A在其北偏东的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离． 【答案】20海里 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形判定和性质，方向角，根据题意得出，进而根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， ， 又， ， 是等边三角形， （海里）， 答：货轮到达处时与灯塔的距离是20海里． 23. 如图，在是等边三角形，是中线，过作，交延长线于点． （1）求的度数； （2）求证：是的中线． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在等边三角形中，， ∴， ∴是的中线． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形的中线； （1）根据等边三角形的性质求出的度数，再根据平行线的性质可得的度数； （2）求出，可得，再根据等边三角形的性质得出即可． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形，是中线， ∴平分， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 24. 如图，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理． （1）根据判定即可； （2）根据题意可得，在中根据外角的性质即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，是的外角， ． 25. 如图，是的角平分线，，分别是和的高． （1）求证：垂直平分； （2）若，，的面积是，求． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，，分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）． 【解析】 【分析】（）由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论； （）根据三角形的面积，代入计算即可； 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴由， 则， ∵，， ∴， ∴， 26. 小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE； （2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为　 　；线段BE与AD之间的数量关系是　 　； （3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）60°，BE＝AD； （3）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由： 同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC， ∵△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝45°， ∴∠BEC＝∠ADC＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°， ∵CD＝CE，CM⊥DE， ∴DM＝ME， ∵∠DCE＝90°， ∴DM＝ME＝CM． ∴AE＝AD+DE＝BE+2CM． 【解析】 【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，最后用角的差，即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）∵△ABC和△ADE均是等边三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°， ∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC， ∵∠CDE＝60°， ∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°， ∵∠CED＝60°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°， 故答案为：60°，BE＝AD； （3）略 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $