精品解析：北京市昌平一中教育集团2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷

昌平一中教育集团2024-2025学年第一学期期中联合质量检测 初三数学试卷 2024.10 本试卷共4页，三道大题，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（ ） A. 黄金分割数 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 2. 将抛物线y=2x2平移后得到抛物线y=2x2+1，则平移方式为（　　） A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位 C. 向上平移1个单位 D. 向下平移1个单位 3. 下列各组种的四条线段成比例的是（　　） A. 3cm、5cm、6cm、9cm B. 3cm、5cm、8cm、9cm C. 3cm、9cm、10cm、30cm D. 3cm、6cm、7cm、9cm 4. 下列函数中，当时，随的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是某次小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：与交于点，，若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的自变量x的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于y轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，y随x的增大而减小； ④当时，关于x的方程有4个实数根； 其中正确的结论个数是．（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 10. 如图，点，分别在△的，边上．只需添加一个条件即可证明△∽△，这个条件可以是_____．(写出一个即可) 11. 已知，则_____． 12. 点，在抛物线上，则________．（填“”，“”或“”） 13. 如图，，点分别在上，如果，那么的长为____． 14. 如图，已知反比例函数的图像经过点，过点作轴，交轴于点．的面积小于，则的取值范围是______． 15. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 16. 平面直角坐标系中，已知抛物线与直线如图所示，有下面四个推断： ①二次函数有最大值； ②抛物线C关于直线对称； ③关于x的方程的两个实数根为，； ④若过动点垂直于x轴的直线与抛物线C和直线l分别交于点和，则当时，m的取值范围是． 其中所有正确推断的序号是___________． 三、解答题（共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分） 17. 如图，四边形∽四边形，求的值和的大小． 18. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的对称轴； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）当时，结合图象直接写出函数的最大值和最小值． 19. 如图，的高，相交于点O． （1）写出一个与相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是______； （2）请任选一对进行证明． 20. 已知：二次函数． （1）若图象经过原点，求二次函数的表达式； （2）求证：无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点． 21. 如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他与该塔的距离米．已知小明的身高为米，他的影长为2米．求信号发射塔的高度． 22. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中点的坐标为，点的横坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 23. 如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 24. 一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 25. “夏至”是二十四节气的第十个节气，《烙遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至，至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日． 某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午中午12时，在北半球不同纬度的地方，高的物体的影长和纬度的相关数据，记纬度为x（单位：度），影长为y（单位：），x与y的部分数据如下表： x 0 5 15 25 35 45 55 65 y 0 （1）通过分析上表数据，发现可以用函数刻画纬度x和影长y之间的关系，在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，高的物体的影长约为______（精确到）； （3）小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了高的物体的影长均为，那么他们生活的地区纬度差约是______度． 26. 在平面直角坐标系中，已知点和在二次函数的图象上，设抛物线的对称轴为． （1）当时，求b的值； （2）若，求t的取值范围． 27. 在等腰直角中，，，过点B作的垂线l．点P为直线上的一个动点（不与点A，B重合），将射线绕点P顺时针旋转交直线l于点D． （1）如图1，点P在线段上，依题意补全图形． ①求证：； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． （2）点P在线段的延长线上，直接写出线段，，之间的数量关系． 28. 定义：对于平面直角坐标系xOy中的两个图形，，图形上的任意一点与图形上的任意一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．若图形与图形的距离小于等于1，称这两个图形互为“近邻图形”． （1）已知点，点． ①如图1，在点，，中，与线段AB互为“近邻图形”的是______． ②如图2，将线段向下平移2个单位，得到线段，连接，，若直线与四边形互为“近邻图形”，求的取值范围； （2）如图3，在正方形EFGH中，已知点，点，若直线与正方形互为“近邻图形”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌平一中教育集团2024-2025学年第一学期期中联合质量检测 初三数学试卷 2024.10 本试卷共4页，三道大题，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（ ） A. 黄金分割数 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割比可进行求解． 【详解】解：0.618为黄金分割比，所以优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数； 故选A． 【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键． 2. 将抛物线y=2x2平移后得到抛物线y=2x2+1，则平移方式为（　　） A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位 C. 向上平移1个单位 D. 向下平移1个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”，将原抛物线以各个选项描述的平移方式进行平移可以获得不同的解析式，与题目中给出的解析式一致的选项即为正确选项. 【详解】A选项：将原抛物线向左平移1个单位，平移后的抛物线应为y=2(x+1)2，故A选项错误； B选项：将原抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线应为y=2(x-1)2，故B选项错误； C选项：将原抛物线向上平移1个单位，平移后的抛物线应为y=2x2+1，故C选项正确； D选项：将原抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线应为y=2x2-1，故D选项错误. 故答案为：C. 【点睛】本题考查了二次函数图象平移的相关知识. 二次函数图象向上或向下平移时，应将平移量以“上加下减”的方式作为常数项添加到原解析式中；二次函数图象向左或向右平移时，应先以“左加右减”的方式将自变量x和平移量组成一个代数式，再用该代数式替换原解析式中的自变量x. 要特别注意理解和记忆二次函数图象左右平移时其解析式的相关变化. 3. 下列各组种的四条线段成比例的是（　　） A. 3cm、5cm、6cm、9cm B. 3cm、5cm、8cm、9cm C. 3cm、9cm、10cm、30cm D. 3cm、6cm、7cm、9cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断． 【详解】解：A．，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意； B．，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意； C．，所以四条线段成比例，故C选项符合题意； D．，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段． 4. 下列函数中，当时，随的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、，故当图像的对称轴右侧，y随着x的增大而增大；B、正比例函数，k＞0，y随着x的增大而增大；C、，反比例函数，k＜0，故第四象限内y随着x的增大而增大；D、，反比例函数，k＞0，故第一象限内y随着x的增大而减小． 【详解】解：A、二次函数y＝x2的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（x＞0时），y随x的增大而增大；故本选项错误； B、正比例函数的图象，k＞0，y随x的增大而增大； 故本选项错误； C、正比例函数的图象在二、四象限内，当时，函数在第四象限y随x的增大而增大； 故本选项错误； D、反比例函数的图像在一、三象限内，当时，函数在第一象限y随x的增大而减小； 故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题综合考查了二次函数、正比例函数以及反比例函数的性质．解答此题时，应牢记函数图象的单调性． 5. 如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵， 和分别是和的高，，， 其相似比为， 与的面积的比为． 故选：A． 6. 已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和C选项，根据B选项和D选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，即可得出结果． 【详解】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上， ∴可以排除A选项和C选项； B选项和D选项中，抛物线的对称轴， ∵ ， ∴， ∴抛物线开口向下，可以排除B选项， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键． 7. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是某次小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：与交于点，，若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， 点到的距离为，点到的距离为， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 8. 函数的自变量x的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于y轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，y随x的增大而减小； ④当时，关于x的方程有4个实数根； 其中正确的结论个数是．（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题，根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题． 【详解】解：如图： ①如图所示：函数图象关于y轴对称，则正确； ②如图所示：函数没有最大值，只有最小值，则错误； ③如图所示：当时，y随x的增大而减小，则正确； ④如图所示：当时，关于x的方程有4个实数根，则正确； 则正确的个数有3个，故选C． 二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】. 【解析】 【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须. 10. 如图，点，分别在△的，边上．只需添加一个条件即可证明△∽△，这个条件可以是_____．(写出一个即可) 【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或 【解析】 【分析】由已知得到∠A是公共角，只需添加另一组角相等过夹角A的两条边成比例即可． 【详解】∵∠A=∠A， ∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时，∽△； 当时，∽△； 故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或． 【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记定理是解题的关键． 11. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得x、y的关系，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质和代数式求值，属于基本题型，掌握求解的方法是关键． 12. 点，在抛物线上，则________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】将A，B两点代入抛物线，求出对应的y值即可． 【详解】当时，； 当时，； ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握知识点是解题关键． 13. 如图，，点分别在上，如果，那么的长为____． 【答案】6． 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例、比例的基本性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为6． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例、比例的性质；解题的关键是由平行线分线段成比例定理得出比例式求出DF． 14. 如图，已知反比例函数的图像经过点，过点作轴，交轴于点．的面积小于，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．根据题意可得，再结合图像即可求解． 【详解】解：反比例函数的图像经过点，轴，的面积小于， ， 解得：， 由图可知，反比例函数的图像过一、三象限，故， ， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，若，则的长为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 16. 平面直角坐标系中，已知抛物线与直线如图所示，有下面四个推断： ①二次函数有最大值； ②抛物线C关于直线对称； ③关于x的方程的两个实数根为，； ④若过动点垂直于x轴的直线与抛物线C和直线l分别交于点和，则当时，m的取值范围是． 其中所有正确推断的序号是___________． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】根据函数的图象逐一判断即可得到结论． 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下， ∴二次函数有最大值，故①正确； 观察函数图象可知二次函数的图象的对称轴在和之间，不是关于直线对称，故②错误； 观察函数图象可知和的交点横坐标为：和，方程的两个实数根为，，故③正确； 当或时，直线在抛物线的上方， ∴m的取值范围为：或，故④错误． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次函数图象与一次函数综合，熟练运用函数图象上点的坐标特，掌握二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题（共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分） 17. 如图，四边形∽四边形，求的值和的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质， 根据相似多边形的对应角相等，对应边成比例得出答案． 【详解】解：∵四边形∽四边形 ∴． 解得， ∴． 18. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的对称轴； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）当时，结合图象直接写出函数的最大值和最小值． 【答案】（1）直线 （2） 函数图象如图所示； （3）函数最大值为0，最小值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴； （2）写出该函数图象上的五个点，即可画出函数图象； （3）根据（2）中画出的函数图象，即可写出最大值和最小值． 【小问1详解】 解：二次函数， 抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：， 该函数的顶点坐标为，与轴的交点为，，与轴交于点，过点 【小问3详解】 解：观察图象得，当自变量时， 当时，取最小值，此时，当时，取最大值，此时， 当时，． 即：函数最大值为0，最小值为． 19. 如图，的高，相交于点O． （1）写出一个与相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是______； （2）请任选一对进行证明． 【答案】（1），，（写出一个即可） （2） 证明：∵的高，相交于点O， ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由于是直角三角形，因此可观察图中的几个直角三角形，根据“两角对应相等，两三角形相似”即可找到与相似的三角形； （2）可选择与，根据“两角对应相等，两三角形相似”证明即可． 【小问1详解】 与相似的三角形有，，， 故答案为：，，（写出一个即可）． 【小问2详解】 略 20. 已知：二次函数． （1）若图象经过原点，求二次函数的表达式； （2）求证：无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点． 【答案】（1） （2） 证明：令，则． ． ． ． 方程有两个不相等的实数根． 无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式、利用二次函数与一元二次方程的关系判断抛物线与x轴的交点个数．注意二次函数与一元二次方程虽有联系但并不相同，要先将函数转化为方程再使用判别式 解决问题． （1）由抛物线经过原点，即可将原点坐标代入二次函数表达式求出参数m的值，再把m的值代入二次函数表达式，化简即可． （2）解决“无论为任何实数”的问题，考虑将函数问题转化为方程，即令，此时一元二次方程的根即为抛物线与轴交点的横坐标，故而通过判别式的值的正负性与无关，可得方程根的情况与无关，再转化为所对应的函数问题，即可得证． 【小问1详解】 解：抛物线经过原点 ． 把代入， 得：， 解得， 二次函数的表达式为． 【小问2详解】 略 21. 如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他与该塔的距离米．已知小明的身高为米，他的影长为2米．求信号发射塔的高度． 【答案】信号发射塔的高度为19.8米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，先证明，利用三角形相似的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ∴， ， ，，， ， ， （米）， ∴信号发射塔的高度为米． 22. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中点的坐标为，点的横坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）12 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数解析式求出的值，得到反比例函数的解析式，再将代入反比例函数解析式，求出的值，得到点的坐标，最后将，代入一次函数解析式得：，求出、的值即可； （2）在中，当时，，求出点的坐标，得出，最后根据三角形面积公式进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数解析式得：， 解得：， 反比例函数的解析式为：， 点在反比例函数图象上，且点的横坐标为， 当时，， ， 把，代入一次函数解析式得：， 解得：， 一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 解得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 23. 如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形 ， 沿直线将翻折，使得落在AD边上， ， ， ， ， ， ； （2）10 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠变换的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定和性质和折叠变换的性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）根据两个角相等可证明； （2）根据相似三角形的性质列比例式可得的长，再根据勾股定理列方程可得的值，从而可得答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 即， 解得． 四边形是矩形， ， 沿直线将翻折，使得点落在边上， ， ， ， ， 即， 解得， 24. 一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 【答案】（1）y关于x的函数表达式为； （2）运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【解析】 【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解； （2）令，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，， 设抛物线的表达式为， ∴，解得， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得（负值舍去）， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． 25. “夏至”是二十四节气的第十个节气，《烙遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至，至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日． 某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午中午12时，在北半球不同纬度的地方，高的物体的影长和纬度的相关数据，记纬度为x（单位：度），影长为y（单位：），x与y的部分数据如下表： x 0 5 15 25 35 45 55 65 y 0 （1）通过分析上表数据，发现可以用函数刻画纬度x和影长y之间的关系，在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，高的物体的影长约为______（精确到）； （3）小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了高的物体的影长均为，那么他们生活的地区纬度差约是______度． 【答案】（1） 解：函数的图象如下： （2） （3）44 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键； （1）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象； （2）结合函数图象找到时，的值即可； （3）结合函数图象找到时，的值，再作差即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据（1）中图象可得：当时，， 故答案为：（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：根据（1）中图象可得：当时，或， ， 故答案为：（答案不唯一）； 26. 在平面直角坐标系中，已知点和在二次函数的图象上，设抛物线的对称轴为． （1）当时，求b的值； （2）若，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出当和时的函数值，再根据建立关于b的方程即可解决问题； （2）根据，即可求出对称轴的取值范围． 【小问1详解】 解：将点和代入二次函数中， 得：， 当时， 则， 解得：； 【小问2详解】 解：，， ， 解得：， 抛物线的对称轴为， ， ， ． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握抛物线上的性质是解题的关键． 27. 在等腰直角中，，，过点B作的垂线l．点P为直线上的一个动点（不与点A，B重合），将射线绕点P顺时针旋转交直线l于点D． （1）如图1，点P在线段上，依题意补全图形． ①求证：； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． （2）点P在线段的延长线上，直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1） 解：①补全图形如图1， 证明：如图1，设与的交点为点E， 根据题意可知，， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②． 证明：如图2，过点P作交于点F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在等腰直角中，， 又， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解本题的关键．（1）①根据题意补全图形，由直角三角形的性质可得出答案； ②过点P作交于点F，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出结论； （2）过点P作交于点M，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 证明：如图3，过点P作交于点M， 由（1）可知， ∴， ∴，， 同（1）可得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 28. 定义：对于平面直角坐标系xOy中的两个图形，，图形上的任意一点与图形上的任意一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．若图形与图形的距离小于等于1，称这两个图形互为“近邻图形”． （1）已知点，点． ①如图1，在点，，中，与线段AB互为“近邻图形”的是______． ②如图2，将线段向下平移2个单位，得到线段，连接，，若直线与四边形互为“近邻图形”，求的取值范围； （2）如图3，在正方形EFGH中，已知点，点，若直线与正方形互为“近邻图形”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据两个图形之间的距离的定义，画出图形即可判断； ②当直线在点A的上方时，过点作直线，过点作，交BA的延长线于点，两个图形任意两点的距离中的最小值等于1时，直线解析式b的值，同理可求出当直线在点的下方时，直线解析式b的值，再结合图象即可得出结论； （2）当正方形EFGH在直线的左侧时，不妨假设点到直线的距离为时，当正方形EFGH在直线的左侧时，不妨假设点到直线的距离为1时，设直线交直线于点，可求，，进而求出，同理求出当正方形EFGH在直线y=-x+2的右侧时，求出，结合图象即可判断． 【小问1详解】 ①如图1中， 观察图形可知，与线段互为“近邻图形”的是，． 故答案为：，； ②如图②中， 当直线在点的上方时，过点作直线， 过点作，交BA的延长线于点． 不妨假设，则， ， ， ， 当直线在点的下方时，过点作直线， 不妨假设，同法可得， ， ， 观察图象可知，满足条件的的取值范围为； 【小问2详解】 如图3中， 当正方形在直线的左侧时，不妨假设点到直线的距离为1时， 设直线交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当正方形在直线的右侧时，且正方形与直线的距离为时， 同法可得， ∴， 观察图象可知，满足条件的m的值为． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，正方形的性质，两个图形之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $