精品解析：河南省南阳市桐柏县方树泉教育集团2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

桐柏县方树泉中学教育集团2024年秋期第二次学情调研 九年级数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 如图，矩形中，，点E、F是的三等分点，连接，，相交于点M，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6. 某超市一月份的营业额为万元，第一季度的营业额共35万元，如果平均每月增长率为，则所列方程为（    ） A. B. C. D. 7. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 8. 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（　　） A. B. 或 C. D. 或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程x2＋(m＋2) x－2＝0的一个根是1，则m的值为______. 12. 若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，的取值范围为_______． 13. 如果两个相似三角形的面积之比是，那么它们的对应中线之比是__________． 14. 已知，则________． 15. 如图，中边，高，正方形的四个顶点分别为三边上的点（点，为上的点，点为上的点，点为上的点），则正方形的边长为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） （3） 17. 解下列方程： （1） （2） （3） 18. 如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的； （2）点A的对应点D的坐标是______； （3） ______． 19. 已知，关于x的一元二次方程． （1）若是该方程的一个根，求k的值及另一个根； （2）若该方程有两个实数根，若，求k的值； 20. 如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，连接BD并延长，与∠ACF的角平分线交于点E． （1）求证：△ABD ∽△CED； （2）若AB=8，AD=2CD，求CE的长． 21. 某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题． （1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售利润； （2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ 22. 如图，在中，是边上的高，且 （1）求的度数； （2）若，，求的长． 23. 四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”． （1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB=AD，AD∥BC，当∠ADC=145°时． 求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”． （2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桐柏县方树泉中学教育集团2024年秋期第二次学情调研 九年级数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据二次根有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 2. 方程的解为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据直接开平方法可得，再求解即可．解题的关键是掌握形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得． 【详解】解：∵， ∴， 即或， ∴，． 故选：A． 3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． 4. 如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据AG=2，GB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案． 【详解】解：∵AG=2，GB=1， ∴AB=3， ∵ ， ∴ ， 故选D． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键． 5. 如图，矩形中，，点E、F是的三等分点，连接，，相交于点M，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．根据矩形的性质，得到，，勾股定理求出的长，证明，得到，进一步求出的长即可．解题的关键是证明． 【详解】解：∵矩形，， ∴，，， ∵点E、F是的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 6. 某超市一月份的营业额为万元，第一季度的营业额共35万元，如果平均每月增长率为，则所列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据增长率求出二月份的营业额为，三月份的营业额为，再根据第一季度的营业额共35万元，列出方程即可．找准数量关系，正确的列出方程是解题的关键． 【详解】解：∵平均每月增长率为， ∴二月份的营业额为，三月份的营业额为， 由题意，得：； 故选D． 7. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 8. 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解题的关键． 【详解】解：设道路的宽应为米，由题意得， ， 故选：C． 9. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，点A的坐标为， ∴点A的对应点A′的坐标为或，即或， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程x2＋(m＋2) x－2＝0的一个根是1，则m的值为______. 【答案】-1 【解析】 【分析】把x=1代入已知方程可以得到关于m的一元一次方程，解该一元一次方程即可． 【详解】解：把x=1代入x2+（m+2）x-2=0，得 12+（m+2）-2=0，即m+2-1=0， 解得m=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，掌握方程解的意义是解题的关键. 12. 若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，的取值范围为_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的值，掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根．”是解题的关键． 由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ∴， 解得：，且， 且． 故答案为：且． 13. 如果两个相似三角形的面积之比是，那么它们的对应中线之比是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平分，相似三角形对应中线，对应高，对应角平分线的比等于相似比. 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比是， ∴两个相似三角形的相似比是， ∴它们的对应中线之比是 故答案为：． 14. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质得到a=2b，再代入原式可得结果． 【详解】解：∵， ∴a=2b，代入， =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，解题的关键是掌握比例的基本性质，细心计算． 15. 如图，中边，高，正方形的四个顶点分别为三边上的点（点，为上的点，点为上的点，点为上的点），则正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．可设正方形边长为，由可得，再根据对应高的比等于边长的比列出比列关系即可． 【详解】如图，设与交于点 设正方形边长为 则 四边形是正方形 ， ． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂与负整数指数幂的计算； （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解； （3）根据零指数幂，负整数指数幂进行计算，化简绝对值，求算术平方根进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 17. 解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）先移项，再提取公因式即可解出方程； （2）利用配方法解方程即可； （3）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， 解得：． 18. 如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的； （2）点A的对应点D的坐标是______； （3） ______． 【答案】（1） 如图所示， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了位似作图，相似三角形的判定与性质，写出直角坐标系中点的坐标，准确画出位似图形是解题关键． （1）依据点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，即可画出放大后的； （2）依据点D的位置，即可得到点A的对应点D的坐标； （3）依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方，即可得到，进而得出． 【小问1详解】 解：位似中心为点，位似比，已知，，， ∴对应点的坐标分别是，，， 连接点， 【小问2详解】 解： 由（1）知， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，连接，， ， ， ， ∴， ∴设，则， ∴， 故答案为：． 19. 已知，关于x的一元二次方程． （1）若是该方程的一个根，求k的值及另一个根； （2）若该方程有两个实数根，若，求k的值； 【答案】（1），另一个根为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式； （1）把代入方程得到关于k的一次方程，然后解此一次方程即可； （2）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后根据，代入计算即可． 【小问1详解】 将代入得 解方程得： 故关于x的一元二次方程为： 则方程的另一个根为 故，另一个根为 【小问2详解】 ∵ ∴ ∵有两个实数根 ∴ 解之得： 故k的取值范围是且 ∵，， ∴ ∴， 或， ∵ 且， ∴不符合题意，舍去， ∴． 20. 如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，连接BD并延长，与∠ACF的角平分线交于点E． （1）求证：△ABD ∽△CED； （2）若AB=8，AD=2CD，求CE的长． 【答案】 （1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠ACB=60°，∠ACF=120°； ∵CE平分∠ACF，∴∠ACE=60°； ∴∠BAC=∠ACE； 又∵∠ADB=∠CDE， ∴△ABD∽△CED； （2）CE=4 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，则，根据角平分线的性质，得到，即可求证； （2）利用相似三角形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵△ABD∽△CED， ∴， ∵AD=2DC，AB=8； ∴ 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，涉及了等边三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 21. 某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题． （1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售利润； （2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）月销售量为千克，月利润为元 （2）销售单价应定为80元/千克 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，根据题意表示出销售数量，再根据利润（售价成本）销售量进行求解即可． （1）先求出销售量，再根据利润（售价成本）销售量进行求解即可； （2）根据设单价应定为x元，利润（售价成本）销售量列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，月销售量为千克， ∴月利润为元； 【小问2详解】 解：设单价应定为x元， 由题意得，， 整理得 解得：，． 当时，月销售成本为元，不合题意舍去； 当时，月销售成本为元，符合题意； ∴， 答：销售单价应定为80元/千克． 22. 如图，在中，是边上的高，且 （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是关键． （1）是边上的高，且，就可以得出，可得，由直角三角形的性质可求解； （2）证明，可得，再把，代入可得答案． 【小问1详解】 解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 23. 四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”． （1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB=AD，AD∥BC，当∠ADC=145°时． 求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”． （2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵AB=AD, ∴∠ABD=∠ADB ∵AD∥BC ∴∠ADC+∠BCD=180° ∴∠ADB =∠DBC ∴∠ABD=∠DBC ∵∠ABC=70°，∠ADC=145° ∴∠ADB=∠ABD=∠DBC=35° ∴∠BCD=180°-∠ADC=180°-145°=35 ∴ ∴对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线” （2）解：当时， 对角线 AC是四边形ABCD的“理想对角线” 理由如下：∵AC平分∠BCD ∴∠ACB=∠ACD ∵ ∴∠ACB+∠BAD=180° ∴∠ACB+∠BAC+∠CAD=180° ∵△ABC中，∠ACB+∠B+∠BAC=180° ∴∠CAD=∠B ∴△ABC∽△DAC ∴对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”． 【解析】 【分析】（1）根据AB=AD，AD∥BC和等量代换得到∠ABD=∠DBC，根据∠ABC和∠ADC的值，得到∠BCD的度数，然后可证明，根据题目中的定义即可证明； （2）根据角平分线的性质和得到∠ACB+∠BAC+∠CAD=180°，又根据三角形内角和得到∠ACB+∠B+∠BAC=180°，据此可以证明∠CAD=∠B，进而证明△ABC∽△DAC，根据题目中的定义即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，本题属于新定义题型，本类题目的关键是根据题目中的定义，结合已有知识点，进行证明或求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $